Reprise du message précédent :

 
Ce n'est pas le "cheminement"  proposé qui me pose problème, c'est sa rigueur    
 
Ma solution se rapproche de ce que tu as proposé plus haut (Je n'ai pas vu de démonstration par contre), donc voici une démonstration possible :  
 

 
C'est un fermé d'intérieur vide. Donc il est sa propre frontière.
 
- Fermé : c'est l'image réciproque de {1} par l'application déterminant, continue.
 
- D'intérieur vide : le polynôme caractéristique X d'une matrice A est non constant. Donc si  A appartient à SLn(R), alors pour tout  € > 0 il existe  x  appartenant à [0;€] tel que X(x) # 1.  D'où A - x.In n'appartient pas à  SLn(R).  
 
Or la distance entre A et A - x.In est x, donc inférieur à €

 
Ah je suis d'accord, il y a un problème de rigueur. Ici tu considères que K = R, mais si tu prends pour K un corps fini hein?    
Donc bon, la démo de dracs est tout autant rigoureuse que la tienne.  

 
Ma preuve marche pour  K=R ou  C, par contre... Sur les autres corps, il n'y a pas à ma connaissance de topologie "naturelle", donc je ne vois pas ce que veut dire la question.
 
 
Quitte à dire une connerie, il me semble qu'en prépa MPSI-MP, il n'y a officiellement au programme que la topologie d'un R-espace vectoriel normé (et peut être d'un C-ev normé, je ne suis pas sûr). Donc je ne vois pas pourquoi on  poserait une question pareille, à part si  K=R ou C. D'autant plus que je ne vois pas de topologie naturelle sur un corps fini...
 
...  
 
Merci quand même!  

 
La démo de Dracs était correcte et tu te ramène pour dire que ça va pas. Je fais juste pareil.    
 

 
Sinon la topologie des C-ev est au programme.  

 
Je n'ai pas dit que c'était faux, mais que ca manquait de rigueur, enfin bref, enculer des mouches ce n'est pas mon truc
 
Sinon,  
 

 
Des idées ?
 

 
Pour le moment, j'en suis à  
 

 
mais je n'ai pas beaucoup cherché...  
 
Soit M un point de la courbe, K le centre de courbure, i un vecteur unitaire porté par OM.
 
Je dis que,  
 

 
avec
 

 
Et  
 

 
Avec  
 

 
Ce n'est qu'une première approche, dès que j'ai le temps je post un truc complet
 
Mookid ?

 
Va faire du sport au lieu de faire des maths    

 
Wow!  
 
J'ai pas tout vérifié mais ça semble être correct..Je voyais la chose plus simplement

Soit f : N->N telle que pour tout n € N, f(n+1) > f[f(n)]
 
Montrer que f(n) = n pour tout n € N

©

 
Tu l'a choppé d'où cet exo ??  
 
Définissons  N_1=f(N) (c'est l'image de f) et  N_2=f(N_1).  
 
Soit A , le plus petit élément de N_2.  
 
On a évidemment  A < ou = f(f(n))<f(n+1), pour tout n donc A < f(n), Pour tout n>0.  
 
Mais A doit bien être l'image d'un certain n par  f , et le seul possible est 0, donc   A = f(0).
 
Ceci montre que 0 € N_1 , donc qu'il existe un   x € N  tel que   f(x)=0 .  
 
 
Supposons d'abord   x>0  et montrons que cela conduit à une contradiction :   x>0  implique que  f  est définie en   x-1 ,  
 
Et on peut donc écrire :   f(f(x-1))<f(x)=0 , ce qui est absurde.  
 
On a donc x=0  :   f(0)=0  et   x=0  est le seul nombre pour lequel   f(x)=0 .  
 
Définissons une fonction g  de N dans N par  g(n)=f(n+1)-1 .  
 
Cette fonction est définie sur N puisque  f(n)>0  si  n>0 .  
 
Il est clair que g  vérifie la même propriété que  f :   g(g(n)) = f(f(n+1))-1 < f(n+2)-1 = g(n+1) .  
 
On a donc les implications :   g(0)=0 =>  f(1)=1 => g(1)=1 => f(2)=2 => ...

 
Amélioration de ma précédente démonstration
 
 
 
Il suffit de montrer que :
 
   1.  f(0)=0
   2.  f(N*) est inclus dans  N*
 
 
Le point 2. est évident et démontré précédemment.  
 
Montrons le point 1. :  
 
Soit  m € N  la plus petite valeur prise par  f . Soit  x € N  un entier naturel tel que   f(x)=m .  
 
Si   x # 0 , alors   f(f(x-1))<f(x)=m , absurde. Conclusion : l'équation   f(x)=m  a pour unique solution  x=0 .
 
Soit   x' € N  tel que  f(x')  soit la "deuxième valeur prise par  f " ( f  n'étant pas constante...).  
 
On a  x' # 0  d'après ce qui précède, donc  f(f(x'-1))<f(x') . Donc  f(f(x'-1))=m . Donc, d'après ce qui avait été dit,   f(x'-1)=0 .  
 
Donc   m=0 . Et   f(0)=0 .
 
 
OuF!    
 
 

Copie pas tout non plus si c'est pour ton dm...
 
Je ne savais pas non plus qu'à LLG on donnait des exos aussi facile.

soit P€Rn[X] de degré effectif n.
(a_i)i€[0,n] des entiers 2 à 2 distincts.
Montrer que la famille {P(a_i+X)} (i€[0,n]) est une base de Rn[X].

 
Tu veux la  démo ou  une aide progressive ?
 

 
 
On a
 

 
 
On obtient donc facilement la matrice de passage de la base  1,x,...,x^n aux  p(x+a_i). Il suffit de vérifier qu'elle est non singulière.
Pour cela, il suffit que  a_1,...,a_n soient deux à deux distincts. Peu importe qu'ils soient entiers.
 
Tout revient donc à voir que si cette hypothèse est vérifiée, alors  
 

 
sachant de plus que(*)  
 

 
C'est très facile. A un coefficient numérique non nul près, ce déterminant est en effet le déterminant de Vandermonde  
 

 
En effet, en utilisant les colonnes de numéro 2 à n, on élimine de la première toutes les puissances  < n des a_i ; avec celles de numéros 3 à n, on enlève les puissances  < n-1 de la seconde, etc.
 
==========
(*) On ne change rien à la conclusion si on divise  p  par son coefficient de degré  n , supposé non nul.

 
C'est ça
mais encore plus simple/rapide :  
P(x+a)somme(k=0..n,a^k/k!*P^(k)(x))
Et la famille F={p^(k)/k!} est une base de Rn[X] (famille de degré échelonné toussa) donc le determinant associé à la famille (a_i) dans la base F est directement un déterminant de Vandermonde

 
Niveau simplicité/rapidité je pense que c'est kiff kiff    

 
J'ai pas trop le temps de regarder ta solution mais c'est un exo des IMO.  

 
Des IMO ?

 
Oui, olympiades internationales de maths

 
International Mathematical Olympiad  

Je ne savais pas que ct un exercice des "IMO". En tout les cas, ca ne m'a pas empêché de le résoudre

Soit n € N*
 
Montrer que R^n et R sont équipotents.

Salut ,
 
j'ai dans un tiroir l'expression d'une bijection de R^2 vers R que je sors dans ce genre d'occasion; seul pb je la retrouve pas !

 
Il y a des preuves élémentaires, mais on peut aller plus vite en utilisant un peu "d'arithmétique sur les cardinaux"  
 
Par exemple en utilisant le fait que si a et  b sont deux cardinaux tels que  
 

 
et  
 

 
Alors a = b
 
On peut même démontrer beaucoup mieux.
 
Montrons par exemple que R^N et R sont équipotents.
 
Notons a le cardinal de N. On sait que le cardinal de R est 2^a.
 
On sait aussi (?) que a^2=a.  
 
On a donc  
 

 
Ce qui est le résultat annoncé.

 
Je pensais à l'idée d'associer à tout couple (x,y) de réels
le réel f(x,y) défini comme ayant une écriture décimale obtenue en alternant les chiffres de x et les chiffres de y (j'espère que c'est clair).
 
 La "fonction f est clairement bijective", le problème c'est qu'elle n'est pas bien définie et que c'est un peu technique de le faire proprement.

 
Ma preuve avec un peu  "d'arithmétique sur les cardinaux" ne te suffit pas ?
 
Nous sommes ici face à un problème récurrent auquel nous sommes confrontés régulièrement : où est la frontière entre le particulier et le général?
 
Il y a un résultat selon lequel si le cardinal de A est infini, alors il est égal à celui des puissances entières de A. Faut-il alors se creuser les méninges pour établir un cas particulier de cette propriété, en exploitant les particularités, forts particulières dans le cas concerné, d'un exemple spécifique?

Je bloque sur une question dans mon DM, si c'est possible d'avoir un petit peu d'aide
On considère une fonction f:[a,b]->R de classe C-infini.
On se donne (n+1) élements a0,...,an appartenant tous à [a,b]
On veut trouver les fonctions polynomiales qui interpolent f aux points a0,...an avec une contrainte au niveau des dérivées.
On introduit le polynome A=Produit((X-ai),i=0..n)

Soit r>0. J'ai déjà montré qu'il existe un unique polynome Pr vérifiant :
pour tout (i,p) appartenant à [0,n]x[0,r] :
(Pr(ai))^(p)=(f(ai))^(p)  (le ^(p) signifie dérivée p-ième)

J'ai également montrer l'existence d'un polynome Qr de Rn[X] vérifiant :
Pr+1=Qr*A^(r+1)+Pr (cette fois le ^(r+1) c'est puissance r+1)

Je dois dériver r+1 fois cette relation et montrer que Qr est le polynome interpolateur d'une certaine fonction aux points a0,...,an . Le truc c'est que j'arrive pas à avoir quelque chose de concluant.

Ton problème est sûrement intéressant mais il n'est pas posté sur le bon fil.Donc il vaudrait mieux en créer un!

 
 
Why ??    

 
   
C'est un peu le topic maths ici et il me semble avoir posté des maths

 
A quel niveau tu bloque exactement ?  

En dérivant r+1 fois la relation, en utilisant la formule de Leibniz,en évaluant en aj puis en simplifiant tous les termes nuls j'obtiens un truc du style :

Déjà je suis pas sur que ce soit juste et j'arrive pas à en déduire que Qr est le polynome interpolateur d'une certaine fonctions aux points a0,...,an

Désolé j'ai du sniffer autant que Jean-Luc.

 
Je reviens à ton exercice. Désolé, mais ton message n'est pas très clair. Serait-il possible d'avoir un énoncé clair... (?)

 
Oué l'énoncé est long. D'autant plus que c'est l'une des dernières questions du sujet et que j'ai pas tout détaillé. Mais c'est pas grave, j'ai réussi à trouver entre temps