Reprise du message précédent :

Va dire ça a 3/4 des taupins de France.  
Surtout qu'il existe sûrement des topologies pour lesquelles cette suite de converge pas dans R-barre, donc bon...  

Ok  
 

 
On peut trouver sa valeur (Pi^2 / 8) en remplaçant  Arctg(x) par Arctg(k.x) et dériver sous le signe "intégrale" mais l'énoncé précise bien un calcul direct.
 
L'intégration par parties est bien sûr la première chose à laquelle on pense, mais après ...
 
Résoudre avec les méthodes classiques, sans dérivation sous le signe "intégrale", sans intégration par la méthode des résidus, sans transformation de Laplace ...
 
Toutes les idées seront les bienvenues.

ben décomposition éléments simples, intégrations par parties
mais c'est tellemnt plus simple avec les résidus !!

 
J'aimerai voir. Je ne suis pas convaincu.  
 
Ou est-ce du pipo ?
 

 
Pas la géométrie

 
Je passe mon tour aussi

Et mon exo il est passé à la trappe ????
 

 
Désolé mais j'ai pas d'idée

 
Sachant que la fonction est paire, et avec un changement de variable u = 1/x, sachant que arctan(x) + arctan(1/x) = Pi/2 on peut ptet virer le arctan et se ramener à l'intégrale d'une fraction rationnelle. Mais j'ai la flemme d'essayer là.

 
Evidemment.  

 
Oui son idée marche même très bien  
 
C'est la solution que j'avais trouvé, bravo    
 
Sinon il y avait aussi le changement de variable x=tg(u) ou le cheminement est un peu plus technique.

 

 
Je pose x=1/u
 

 
Soit
 

 
 

 
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Sérieusement, ça intéresse quelqu'un la géométrie?

 
Surtout certains examinateurs de Centrale apparemment...

 
Si je fais 5/2 et qu'à l'oral je tombe sur de la géométrie, je pète un cable.  

Un exo sympa
 

 
A première vue je dirais que c'est SLn(K) tout entier.

 
Ouais
 
Tu peux le démontrer ?  

Bah tout élément A de Sln(K) est limite de (1+1/k)*A qui n'est pas dans Sln(K).

 
C'est plus joli que ce que je faisais (A - I/n).

C'est vrai que la géométrie peut rebuter ; aujourd'hui très peu présente dans le secondaire ses jours sont comptés.
 
Une façon de s'y mettre est la Géométrie Algébrique ou plutôt "Algèbre Géométrique" ; c'est un module qui m'avait passionné.

 
Oui.

Puisque vous êtes chaud, voici un petit exo sympa pour les tueurs de X/Mines  
 

 
Désolé mais je te suis pas  

 
Bah si un élément x de E est limite d'une suite qui n'est pas ultimement à valeur dans E, ça veut dire que qqsoit la boule que tu prends autour de x, y aura un élément qui n'appartient pas à E dedans, donc x n'est pas dans l'intérieur de E, donc il est sur la frontière.

 
Certes

 
 
Un peu tiré par les cheveux

 
Ouais voilà moi j'attendais plutôt une vrai démo par l'absurde qui aboutissait à 1=0 mais bon

 
Tu l'expliquerais comment ?

Pourtant c'est difficile de faire plus court et plus élégant.  

 
Ce n'est pas le "cheminement"  proposé qui me pose problème, c'est sa rigueur    
 
Ma solution se rapproche de ce que tu as proposé plus haut (Je n'ai pas vu de démonstration par contre), donc voici une démonstration possible :  
 

 
C'est un fermé d'intérieur vide. Donc il est sa propre frontière.
 
- Fermé : c'est l'image réciproque de {1} par l'application déterminant, continue.
 
- D'intérieur vide : le polynôme caractéristique X d'une matrice A est non constant. Donc si  A appartient à SLn(R), alors pour tout  € > 0 il existe  x  appartenant à [0;€] tel que X(x) # 1.  D'où A - x.In n'appartient pas à  SLn(R).  
 
Or la distance entre A et A - x.In est x, donc inférieur à €