Reprise du message précédent :
Faut utiliser des relations coefficients/racine d'un polynôme bien choisi

Soit E IR-ev muni de la norme euclidienne de dim finie.
 
Soit F sev de E.
 
Montrer que F est fermé.

 
Il manque une hypothèse, à savoir F de dim finie.
Dans ce cas, il est isomorphe à R^n, donc est complet, donc est fermé.

 
Tu peux détailler stp ?  

Toute partie bornée de R^n est compact.(Th de BW)
Toute suite de Cauchy à valeurs dans R^n est bornée (suffit de prendre epsilon=1, et il existe m tq qqsoit n>m, |Un-Um|<1).
Donc admet une valeur d'adhérence l dans R^n, et à partir de là, on peut montrer qu'elle est convergente vers l (c'est du cours, je détaille pas).
Toute suite de F peut s'écrire comme suite de R^n en considérant une base, donc toute suite de Cauchy de F y est convergente.
Donc toute suite convergente de F converge dans F, cqfd.
(Ca revient à dire que R^n est complet, et que F, par isomorphie, l'est aussi, et complet => fermé).

un contre-exemple classique en dimension infinie: l'ensemble des suites qui convergent vers 0 dans l'ensemble des suites munies de la norme infinie.
 
Le contre-exemple c'est la suite (de suites donc) dont le p-ème élément est la suite u_p telle que les p 1ers éléments valent 1 et les suivants 0, u_p est bien dans le sev.
Cette suite (u_p) converge vers u la suite dont tous les termes valent 1, qui n'est pas dans le sev

Je pensais à un autre contre-exemple, mais je suis pas sur qu'il marche
L'ensemble des fonctions en escaliers de [0,1] dans R.

EDIT :
Sauf que dans ce cas précis, il parle de norme euclidienne, non ?

On peut toujours prendre pour E = l^2(IR) et F = ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang pour trouver un contre exemple.

Bonsoir ,
 
pourquoi toute partie bornée de R^n est-elle compacte ?
 

Bolzano Weierstrass.
La démo pour R est connu.
Pour R^n, récurrence sur n et double extraction (on prend une suite de R^n, on extrait une suite tq les n-1 premiers termes cvg par HR, puis on extrait une suite tq que le dernier converge, et les n-1 premiers termes convergent tjrs car la suite extraite d'une suite cvgte et cvgte)

Ma démo a rien de compliqué, c'est celle que les profs attendent en général  
(D'ailleurs, la démo est simple pour peu qu'on connaisse son cours, c'est juste R^n complet => F complet par isomorphie => F fermé).
 
 
 
Ben ouais
En dim infinie, f linéaire =/=> f continue.  
 
 
 
Bande d'emmerdeurs  
Ouais, les parties fermées et bornées (de toute façon, si elle n'est que bornée, suffit de prendre l'adhérence, stoo )

 
Euh, ta fonction est pas très linéaire.  

 
Encore faut il que ça converge dans ta partie.

Ça fait peur....

 
J'avais même pas fait gaffe    
(Le pire, c'est qu'elle n'est même pas définie partout ).
 

 
On s'en tape, ça converge dans R^n.

 
Ouais mais là t'as juste démontré BW.

 
Ca tombe bien, c'est exactement ce que je voulais faire  

 
T'es trop pourri  

 
T'es qui ?

 
Celui avec qui ton pipo ne fonctionne pas
 
 

 
Quel pipo ?

 
La puissance du pipo se mérite

 
T'es exaspérant  
 

 
EDIT : mais tu m'amuse avec tes maigres connaissances

 
Quelles maigres connaissances ?

 
Est-ce que l'image d'un fermé par isomorphie est fermé ?
 
Parce que sinon on peut juste dire que R^n est fermé

Honnêtement, je suis pas sur (vu que l'isomorphie n'est pas liée à la norme utilisée), mais en l'occurence, ça n'a pas d'importance, puisqu'il est question de complet et non de fermé.
(Et oui, en dim finie, l'image d'un complet par une isomorphie est complet).

 
ok    
 
 
 
   
C'est dur à démontrer ça ?

En dim finie, un isomorphisme est continue et sa réciproque aussi.
A partir de là, l'image réciproque xn d'une suite de Cauchy yn est une suite de Cauchy, donc xn est convergente, donc yn aussi.
Le tout à valeur ou il faut

EDIT :
Grillaid...

 
 

 
Bah donc en dim finie l'image d'un fermé par un isomorphisme est fermé
 
Merci à vous deux  

 
     
De rien sinon

 
C'est pas vrai ?
 

 
Si si , c'est bien pour ça que je  

@System211, t'étais dans quelle MPSI au faites à LLG?
J'étais à LLG aujourd'hui, j'ai vu la classe des MPSI4 et ya des sacrés tètes de

 
Ouais je viens de me démontrer tout ça c'est trivial en fait
 

 
HX3, what else
 
La HX4 ya des mais c'est rien par rapport aux HX1
 
Je dirais HX1<HX2<HX4<HX3
 
En plus les HX4 et HX2 sont d'accord sur ce classement