Reprise du message précédent :
 
en effet

 
Ben par contraposée, parce que si l'une était polynôme de l'autre, elles commuteraient  

une autre preuve?

C'est toujours le fil term/sup ?
 
Sinon GG, y a des cadors ici

 
Roooh, t'en as une, chipote pas      
 
Sinon je dirais qu'une est triangulaire supérieur, qu'une puissance de triangulaire supérieure est triangulaire supérieur, qu'une combinaison de triang sup est triang sup, donc qu'un polynome en une triang sup peut pas donner une triang inf...

Ouais, au niveau des transvections, en gros ça revient à dire qu'on ne peut effectuer une opération de matrice en faisant plusieurs opérations d'une autre type, nan ?

Y a pas un bug dans ton énoncé ?
Par que si tu fait tendre N vers +oo, t'as 0<=e^(-e)<=0, c'est qui n'est pas possible

EDIT : Mea culpa, j'avais mal lu, je croyais que c'était e^(-[somme des 1/k! pour k=0,..,N])
En effet, je vois comment ça se fait, par contre, ce qu'on est censé en conclure

Mais si il faut c'est e (le nombre) - la somme

Et la somme tend vers e

Donc t'as e-e et pas e(-e) non ?

EDIT:

Hfr c'est l'élite

 
Un taupin ne connait pas le répit  
 
D'ailleurs, je bloque sur l'exo suivant, calculer
Ce sont les coefficients binomiaux

Soient A,B deux matrices symétriques réelles positives (de taille n).
Montrer que det(A+B) >= det(A) + det(B).
cas d'égalité?

On pose An=A+xn*Id, avec xn une suite de réels positifs qui tend vers 0 de façon à ce que tout les An soit inversible.
Pour tout n, An est symétrique réelle définie positive.
Th de réduction simultanée :
Il existe Pn suite de matrice inversibles tq :
An=tPn*Id*Pn et B=tPn*D*Pn ou D est diagonale.
det(An+B)=det(tPn)*det(Id+D)*det(Pn)=det(tPn)*∏(1+λi)*det(Pn)>=det(tPn)*(1+∏λi)*det(Pn)=det(tPn)*(det(Id)+det(D))*det(Pn)=det(An)+det(B)

D'ou par continuité du det, det(A+B)>=det(A)+det(B)

Pour l'inégalité ∏(1+λi) > 1+∏λi, ça vient du fait que les λi sont positifs.
Soit Y vecteur propre de D pour λi, on pose X = P^-1*Y, alors BX=tP*D*Y=tP*λi*Y=λi*tP*P*X
Donc tX*BX=λi*tX*tP*P*X=λi*tX*An*X,
tX*An*X > 0  (An est symétrique réelle définie positive, donc définie un produit scalaire).
et tX*BX > 0 (car B positive).
Donc λi > 0.

(La deuxième partie m'a fait plus chier que la première, je pense que c'est juste, mais j'attends l'avis d'un expert).

De toute façon, dès qu'on te parle de deux matrices symétrique positives, faut penser réduction simultanée.

Et j'ai la flemme de chercher le cas d'égalité pour le moment

Lambda_i c'est les valeurs propres de B?! Donc lambda_i>=0 et l'inegalité est directe.
 
J'avais jamais utilisé la "double diagonalisation" avant cet exo ... Ça vient de tXAnX un produit scalaire et tXBX une forme bili. symétrique?!

Justement non, pas forcément, l'égalité B=tP*D*P est complètement différente de B=P^-1*D*P
(Car P n'est pas forcément orthogonal).
B et D ne représente pas le même endomorphisme, n'ont donc pas forcément les mêmes valeurs propres, c'est une erreur à éviter mais que pas mal font.

Exact, ça revient en fait à appliquer le th spectral à B pour le produit scalaire définie par An, qui donne donc une base An-orthogonal (cad qui est orthogonal pour le produit scalaire An) où la matrice de la forme quadratique associé à B est diagonale.
P est la matrice de passage vers cette base.

 
Je me trompe peut être mais ce théorème n'est pas au programme.  

On a des endomorphismes symétriques réels donc on peut les diagonaliser en utilisant une matrice de passage orthogonale ...

+1, mais ça découle d'un theoreme au programme

Possible, de toute façon, c'est juste une application du th spectrale.

Oui mais pas forcément dans la même base.
Du coup, impossible de s'en servir pour avoir des calculs simples de déterminants.

Dracs : jte redige ce que j'ai fait ce soir, tu me diras ce que t'en penses
édit : ok j'ai compris la nuance, j'avais pas fait exactement pareil

 
Ca fait partie de ces trucs à connaitre officieusement (comme Césaro)

 
Pour quel exo, det(A+B) ou la somme des coef binomiaux ?

Et dans le cas ou B n'est pas inversible ?

EDIT :
Et même si B est inversible, tu fais comment sans le th de réduction simultanée ?

EDIT 2 :
J'avais pas vu ton edit

EDIT :
J'ai l'impression que l'inversible d'une matrice symétrique est symétrique
Après en effet, le produit de deux symétriques n'est symétrique que si elles commutent

EDIT 2 :
Oui, bien sur que l'inverse d'une symétrique est symétrique, vu qu'elle peut s'écrire A^-1 = tP*Diag(1/lamba_i)*P avec P appartenant à O(n)...

plus basiquement avec t(AB)=t(B)t(A) appliqué avec B=1/A

j'ai posté une solution entre les pages 1750 et 1752 s'il y en a que ça intéresse

 
Je n'aime pas trop la solution proposée...

Pour les bons:    
 
 
Soient  q une forme quadratique non nulle sur M2(C) telle que
 
Pour tout  A,B € M2(C),  q(AB)=q(A)q(B)
 
Montrer que  q s'annule sur le complémentaire de GL2(C) puis que q est le déterminant.
 
BN

en attendant c'est la seule pour l'instant

 
Pour une lecture plus agréable en Latex.  
 

 
Selon moi l'inégalité est stricte sauf si n=1. On aurait une réponse plus compliquée si  A et B étaient semi-définies positives.  
 
En attendant vos remarques...

Sans prendre A ou B nulle :
 
A=(1  0)  B=(0  1)
    (0  1)     (1  0)
 

 
Pour l'instant aucune preuve    

D'où tu sors qu'elles sont définies positives ?
Elles sont juste positives à priori...