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Auteur Sujet :

Comment gagner au loto

n°3148049
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 18:56:42  profilanswer
 

Reprise du message précédent :

alberich a écrit :

euh...non moi je suis pas d'accord (on dit 14M pour simplifier) car celà impliquerait que toutes les combinaisons possibles sont sorties une fois et une seule dans un nombre équivalent de tirages  :??:


 
ben on parle d au moins une fois. C'est un C(n;p) 1 tirage bon parmi n tirage. Fait un schema simple pour te le prouver :
 
note toutes les combinaisons de deux lancer de dés : et compte le nombre de combinaison comportant au moins 1 "6". T as onze combinaison qui comporte un 6. 36 combinaisons au total. proba en gros 1/3. 1 6 sur 1 lancer de dé : 1/6.


---------------
http://fr.ulule.com/hyacinthe-m/ > un projet très sympa. A vot' bon coeur Msieurs Dames !
mood
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Posté le 06-07-2004 à 18:56:42  profilanswer
 

n°3148052
jonas
c'est mon identité
Posté le 06-07-2004 à 18:57:19  profilanswer
 

depz a écrit :

ben on parle d au moins une fois. C'est un C(n;p) 1 tirage bon parmi n tirage. Fait un schema simple pour te le prouver :
 
note toutes les combinaisons de deux lancer de dés : et compte le nombre de combinaison comportant au moins 1 "6". T as onze combinaison qui comporte un 6. 36 combinaisons au total. proba en gros 1/3. 1 6 sur 1 lancer de dé : 1/6.


 
[:le kneu]


---------------
et voilà
n°3148053
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 18:57:26  profilanswer
 

alberich a écrit :

on a pas de limites... :D  
 
donc poussons le raisonnement s'il joue 14 000 000 de fois il est à peu près sûr de gagner alors  :??:

Archi faux. Ca ne t'es jamais arrivé de lancer 6 des, et pourtant de n'avoir aucun 6?

n°3148061
Shaad
Posté le 06-07-2004 à 18:58:27  profilanswer
 

depz a écrit :

Ton exemple des dés. Selon toi si j ai pas eu un tirage de 6 j ai plus de chanche d en avoir la foi suivante. Excuse moi de penser que c'est faux.
 
EDIT : (j ai eu du mal a retrouver le post)
 
http://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] 0#t3146928
 
 
si on te suit, a l infini on fait plus que des six. Respect.


 
Mais ça va vraiment pas hien...  :ouch:  
 
Au début je pensais vraiment que tu avais mal interprété, mais là c'est plus grave... tu comprends rien du tout !!!
 
Tout ce que j'ai dit, c'est qu'en faisaint un grand nombres de tirages, tu auras très probablement plus de 6 qu'en en faisant qu'un seul !!!
 
Et qui te parle de ne faire que des 6 ??!!  :heink:
Tu sors ça d'où ?
 
Quelqu'un dans l'assistance peut m'aider ?

n°3148062
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 18:58:33  profilanswer
 


 
ya koi de faux ? tu m expliques la ?


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n°3148077
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 18:59:53  profilanswer
 

babou et jonas vous avez validé des grilles ce soir ? car samedi vos chances sont doublés.


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n°3148084
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:00:39  answer
 

Il est où le problème alors depz ? :D

n°3148087
Shaad
Posté le 06-07-2004 à 19:00:56  profilanswer
 

depz a écrit :

babou et jonas vous avez validé des grilles ce soir ? car samedi vos chances sont doublés.


 
Mais arrete, t'es casse-couille tu sais !!!
 
ON N'A JAMAIS RIEN DIT DE TEL !! c'est clair çà.. tu comprends maintenant ?!


Message édité par Shaad le 06-07-2004 à 19:01:15
n°3148092
jonas
c'est mon identité
Posté le 06-07-2004 à 19:01:36  profilanswer
 

bon, je vais manger chez des amis mais je reviens pas tard. vous restez là hein? [:ddr555]


---------------
et voilà
n°3148100
HamerFowl
Posté le 06-07-2004 à 19:02:35  profilanswer
 

alberich a écrit :

bah il s'est planté , son calcul vaut pour quelqu'un qui a joué 10000 fois au même tirage et effectivement il a 10000 fois plus de chances de gagner :sleep:


j'ai pas dis que fallait multiplier la probabilité p par n ! j'y peux rien si c'est tombé environ sur 10 000, comme n...
Mais par exemple, si tu prends n=14M, et bien ça ne fait pas une probabilité de 1 mais de 0,37 (voir formule théorique de mon message précédent) !


Message édité par HamerFowl le 06-07-2004 à 19:03:43
mood
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Posté le 06-07-2004 à 19:02:35  profilanswer
 

n°3148113
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:04:02  profilanswer
 

la probabilité de gagner au moins une fois est très exactement
1- (13999999/14000000)^14000000
 
Par contre pour la valeur approchée même mapple n'y arrive pas chez moi
 
Edit : qui a delete son post ? [:meganne]


Message édité par zurman le 06-07-2004 à 19:07:00
n°3148136
Shaad
Posté le 06-07-2004 à 19:08:05  profilanswer
 

Jonas a écrit :

bon, je vais manger chez des amis mais je reviens pas tard. vous restez là hein? [:ddr555]


 
Non surement pas... marre de parler avec un mur qui n'arrête pas d'inventer les propos des autres pour les descendre derrière...
 
Au fait, depz, c'est bien toi qui soutenait en début de topic que l'actuel président de notre république s'appelait Charlemagne, hein, et ben sache que c'est faux... il s'appelle Chirac... tu ne connais vraiment rien !
 
Ah ?!! tu veux que je te trouve l'endroit où tu as dit çà ?
 
Bah, j'ai pas très envie, mais on s'en fout, puisque je sais que tu l'as dit... et je me permets donc de te traiter d'idiot à cause de celà !!!  :kaola:


Message édité par Shaad le 06-07-2004 à 19:08:45
n°3148143
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:09:07  profilanswer
 

babou a écrit :

Mais arrete, t'es casse-couille tu sais !!!
 
ON N'A JAMAIS RIEN DIT DE TEL !! c'est clair çà.. tu comprends maintenant ?!


 
au lieu de crier,  t as bien validé tes grilles ?
 
Tu sais 60 % des francais croient a l horoscope donc le pourcentage de mecs qui pensent qu'en jouant le mercredi on a plus de chance de gagner samedi doit etre du meme ordre. C'est comme ca que marche la Francaise des Jeux.
 
Je vais pas me battre contre les murs. On est d accord sur le "au moins une fois" on l'est pas sur l influence des tirages respectifs les uns sur les autres. Tant pis, on en restera la.


Message édité par DepZ le 06-07-2004 à 19:10:29

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n°3148153
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:10:29  profilanswer
 

depz a écrit :

au lieu de crier,  t as bien validé t es grilles ?
 
Tu sais 60 % des francais croient a l horoscope donc le pourcenatge de mec qui pensent qu en jouant le mercredi on a plus de chance de gagner samedi doit etre du meme ordre.  
 
Je vais pas me battre contre les murs. On est d accord sur le "au moins une fois" on l'est pas sur l influence des tirages respectifs les uns sur les autres. Tant pis, on en restera la.

Je crois plutot que tout le monde est d'accord, si tu joues mercredi et samedi tu n'as pas plus de chances de gagner samedi qu'un gars qui ne jouerait que samedi, par contre tu as plus de chances que lui de gagner cette semaine la


Message édité par zurman le 06-07-2004 à 19:10:52
n°3148158
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:12:05  profilanswer
 

zurman a écrit :

Je crois plutot que tout le monde est d'accord, si tu joues mercredi et samedi tu n'as pas plus de chances de gagner samedi qu'un gars qui ne jouerait que samedi, par contre tu as plus de chances que lui de gagner cette semaine la


 
Non, jonas a ecrit qu a l infini tu finis par gagner... (page 4/5/6 je trouve plus le post)


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n°3148159
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:12:07  answer
 

depz a écrit :

on l'est pas sur l influence des tirages respectifs les uns sur les autres.


 
Ben si, vous l'êtes ou alors cite (+ lien vers le post) un passage où babou ou Jonas contredit le fait que les tirages sont indépendants. [:spamafote]

n°3148166
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:13:33  profilanswer
 

depz a écrit :

Non, jonas a ecrit qu a l infini tu finis par gagner... (page 4/5/6 je trouve plus le post)

Y'a ptet une raison a ca...

n°3148171
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:13:53  profilanswer
 
n°3148176
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:15:08  profilanswer
 

alerim a écrit :

Ben si, vous l'êtes ou alors cite (+ lien vers le post) un passage où babou ou Jonas contredit le fait que les tirages sont indépendants. [:spamafote]


 
http://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] 0#t3146854
 
 
la, il nous envoie vers ce post quand on lui dit que les evenements sont independants. Pour lui, ils ne le sont pas. (ptit smiley qui signifiat "vous etres debiles" )


Message édité par DepZ le 06-07-2004 à 19:19:23

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n°3148191
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:18:39  profilanswer
 


 
 
non de celui la :
 
http://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] 0#t3146666
 
je ne suis pas de mauvaise foi,  
 
1) le forum rame.  
 
2) il me sort des 404 quand je rafraichis.
 
pour etre clair, je pense sincrement que Jonas et babou ont pensé que les tirages etaient pas indépendants.
 
ce post de Jonas, les theories de reussite au jeu de babou qui ferait fortune en faisant que des six me l'ont laissé penser.


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n°3148205
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:21:36  profilanswer
 

zurman a écrit :

Y'a ptet une raison a ca...


 
Ca ne sert a rien d'envenimer le debat, je ne suis pas demauvaise foi, je dis ce que j ai compris...  
 
Chui pas dans leur tetes, je n ai que leurs mots pour essayer de comprendre ce qu ils pensent.  
 
Apres c'est chacun en son ame et conscience. S'ils ont pensé que les tirages n'etaient pas indépendants ben c'est dommage (et encore plus dommage de ne pas dire "ouais j ai tort" ) apres si j ai mal compris / s ils se sont mal exprimés et bien tant mieux !  
 
Le ptit truc c'est qu en gros y avait qu en meme masse d emonde qui n etait pas d accord avec eux et brutalement tout le monde est d accord en se raliant a "mes" (je ne cherche pas a m appropier hein..) positions... et nous sortant "mais j ai jamais dit ca"...
 
J ai raison mathematiquement sur le fond du probleme ca me rassure, j ai pas touché de maths depuis 7 ans ^^.


Message édité par DepZ le 06-07-2004 à 19:25:38

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n°3148212
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:22:28  profilanswer
 

depz a écrit :

non de celui la :
 
http://forum.hardware.fr/forum2.ph [...] 0#t3146666
 
je ne suis pas de mauvaise foi,  
 
1) le forum rame.  
 
2) il me sort des 404 quand je rafraichis.
 
pour etre clair, je pense sincrement que Jonas et babou ont pensé que les tirages etaient pas indépendants.
 
ce post de Jonas, les theories de reussite au jeu de babou qui ferait fortune en faisant que des six me l'ont laissé penser.

Ils ont pourtant raison... Et tu as tort. Un gars qui joue une infinité de fois est certain de gagner au loto. Il est même certain de gagner une infinité de fois.


Message édité par zurman le 06-07-2004 à 19:23:15
n°3148223
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:24:18  answer
 

C'est sûr que parler de quelqu'un qui jouerait indéfiniment, c'est assez maladroit. Mais l'idée qui se cachait derrière était simplement que la limite de la probabilité de gagner au loto ([edit] je précise : sur l'ensemble des essais ;)[/edit]) quand le nombre d'essais tend vers l'infini, tend vers 1.
 
Le fait que les tirages soient indépendants ne contredit absolument en rien tout cela (et justement alberich avançait ce point comme un contre-argument, alors que ça n'en est pas un).


Message édité par Profil supprimé le 06-07-2004 à 19:28:33
n°3148225
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:25:16  answer
 

depz a écrit :

ca sert a rien d'envenimer le debat, je ne suis pas d emauvaise foi, je dis ce que j ai compris... Chui pas dans leur tetes, je n ai que leurs mots pour essayer de comprendre ce qu ils pensent. Apres c'est chacun en son ame et conscience. J ai raison mathematiquement sur le fond du probleme ca me rassure, j ai pas touché de maths depuis 7 ans ^^.


 
oui et non, tu peux comme l'a fait quelqu'un coller une loi de probas sur une série de tirages avec remise comme au loto.
 
mais dans le cas du loto le nombre de tirages nécessaire pour obtenir une variation de proba de ganer est tellement grannd et la proba tellement faible que c'en devient un exercice un peu périlleux.  :)  

n°3148237
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:28:04  profilanswer
 

alerim a écrit :

C'est sûr que parler de quelqu'un qui jouerait indéfiniment, c'est assez maladroit. Mais l'idée qui se cachait derrière était simplement que la limite de la probabilité de gagner au loto quand le nombre d'essais tend vers l'infini, tend vers 1.
 
Le fait que les tirages soient indépendants ne contredit absolument en rien tout cela (et justement alberich avançait ce point comme un contre-argument, alors que ça n'en est pas un).

Ca n'est pas maladroit, c'est simplement déroutant pour qq1 qui n'en a pas l'habitude.
 
Mais on peut traduire ca assez simplemenet : Quelque soit le nombre de fois que tu me demandes de gagner au loto (1, 2 ou 9999999999), en me laissant suffisamment de tirages, je suis certain d'y arriver (en considérant que je vive indéfiniment)

n°3148247
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:30:07  profilanswer
 

zurman a écrit :

Ils ont pourtant raison... Et tu as tort. Un gars qui joue une infinité de fois est certain de gagner au loto. Il est même certain de gagner une infinité de fois.


 
que veux tu repondre a ca ????
Si tu pense que j ai tort, c'est que tu penses que les tirages ne sont pas independants. Bien je ne chercherai plus a convaincre personne. A l infini au loto, on gagne toujours. Tres bien, fais et pense comme tu l' entends.
 


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n°3148248
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:30:10  answer
 

zurman a écrit :

Ca n'est pas maladroit, c'est simplement déroutant pour qq1 qui n'en a pas l'habitude.
 
Mais on peut traduire ca assez simplemenet : Quelque soit le nombre de fois que tu me demandes de gagner au loto (1, 2 ou 9999999999), en me laissant suffisamment de tirages, je suis certain d'y arriver (en considérant que je vive indéfiniment)


 
Mais c'est maladroit, parce que tu supposes que tu atteins la limite. ;)

n°3148257
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:31:01  answer
 

depz a écrit :


Si tu pense que j ai tort, c'est que tu penses que les tirages ne sont pas independants.


 
Là où tu as tort, c'est dans le fait d'avoir donné tort à quelqu'un qui avait raison. [:boidleau]

n°3148267
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:32:32  profilanswer
 

alerim a écrit :

Mais c'est maladroit, parce que tu supposes que tu atteins la limite. ;)


 
Lache l affaire, resigne toi, fais ta grille demain pour etre sur de gagner dans 10 ans. C'est comme ca tu peux pas lutter. Fais comme Galilée, renie face a l obscurantisme pour avoir la Paix.


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n°3148273
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:33:45  answer
 

alerim a écrit :

Là où tu as tort, c'est dans le fait d'avoir donné tort à quelqu'un qui avait raison. [:boidleau]


bah....considérer que la loi binomiale s'applique avec n tendant cers l'infini c'est quand même gonflé non ?

n°3148274
Marc
Super Administrateur
Chasseur de joce & sly
Posté le 06-07-2004 à 19:33:59  profilanswer
 

Ca sert à quoi de vous prendre la tête sur des trucs genre si je pouvais jouer infiniment au loto ?  [:chacal_one333]

n°3148277
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:34:07  profilanswer
 

alerim a écrit :

Là où tu as tort, c'est dans le fait d'avoir donné tort à quelqu'un qui avait raison. [:boidleau]


 
Je pense que les tirages sont indépendants, c'est mon droit non ? Apres si on peut plus s opposer ben ca sert a rien de faire un forum.

n°3148289
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:37:32  answer
 

alberich a écrit :

bah....considérer que la loi binomiale s'applique avec n tendant cers l'infini c'est quand même gonflé non ?


 
Ben non pourquoi ? :heink:  
 
Mais dire "je suis sûr de gagner au loto en vivant indéfiniment" c'est maladroit. Je peux aussi dire "je ne suis pas sûr de gagner un jour au loto en vivant indéfiniment" puisque par définition, je n'atteindrai jamais l'infini et donc mathématiquement, je ne gagnerai jamais à coup sûr. Enfin bon, tout ça c'est du chipotage tu vas me dire, mais je persiste, ce que Jonas et zurman ont dit est maladroit. :)


Message édité par Profil supprimé le 06-07-2004 à 19:39:43
n°3148303
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:39:20  profilanswer
 

depz a écrit :

que veux tu repondre a ca ????
Si tu pense que j ai tort, c'est que tu penses que les tirages ne sont pas independants. Bien je ne chercherai plus a convaincre personne. A l infini au loto, on gagne toujours. Tres bien, fais et pense comme tu l' entends.

Je t'assures que c'est toi qui es dans l'erreur.
 
Prenons un exemple plus simple que le loto (mais qui revient exactement au même, c'est juste les chiffres qui changent)
Considérons que gagner veut dire faire un 6 avec un dé normal
lancons un dé. Quelle est la probabilité que je fasse un 6 ? 1/6, jusque la on est d'accord.
Relancons le dé.
Quelle est la probabilité que j'ai fait un 6 (au moins) au cours des 2 lancers?
1 - (5/6)^2 = 0.3 environ.
 
relancons : quelle est la probabilité qu'au 3eme lancé j'ai fait au moins un 6 ? 1 - (5/6)^3 = 0.4
Ca monte, ca monte :)
 
Quelle est la probabilité qu'au 10 eme lancer j'ai fait au moins un 6?
1 - (5/6)^10 = 0.83
 
Quelle est la probabilité qu'au 50 eme lancer j'ai fait au moins un 6?
1 - (5/6)^50 = 0.99989
 
Bref, la probabilité qu'au nième lancer j'ai gagné au moins une fois est 1 - (5/6)^n, qui tend bien vers 1 lorsque n tend vers l'infini.
 
Conclusion : en jouant assez longtemps, on est CERTAIN de finir par obtenir un 6.
 
Pareil au loto, sauf que bien sur ca converge plus lentement.
 
Mais 1-(13999999/14000000)^n tend aussi vers 1....

n°3148304
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:39:29  profilanswer
 

Marc a écrit :

Ca sert à quoi de vous prendre la tête sur des trucs genre si je pouvais jouer infiniment au loto ?  [:chacal_one333]


 
Ben ca a une utilité quand meme... bien sur que ca peut paraitre futil de parler de ca... Mais s opposer aux idees recues en l'est pas...
 
On peut toujours esperer qu un individu lambda, face a l'evidence mathematique ou scientifique sorte de sa prison intellectuelle...
 
La composante d une discussion ca peut etre "t'as tort parce que ci, parce que ca'  
 
Apres farnchement si les gens preferent se murer derriere leur ego et pas reconnaitre qu ils ont tort, faut se rendre a l evidence , tu pourras pas les faire inflechir... mais ce sont eux les lésés en finalité...

n°3148312
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:41:01  profilanswer
 

zurman a écrit :

Je t'assures que c'est toi qui es dans l'erreur.
 
Prenons un exemple plus simple que le loto (mais qui revient exactement au même, c'est juste les chiffres qui changent)
Considérons que gagner veut dire faire un 6 avec un dé normal
lancons un dé. Quelle est la probabilité que je fasse un 6 ? 1/6, jusque la on est d'accord.
Relancons le dé.
Quelle est la probabilité que j'ai fait un 6 (au moins) au cours des 2 lancers?
1 - (5/6)^2 = 0.3 environ.
 
relancons : quelle est la probabilité qu'au 3eme lancé j'ai fait au moins un 6 ? 1 - (5/6)^3 = 0.4
Ca monte, ca monte :)
 
Quelle est la probabilité qu'au 10 eme lancer j'ai fait au moins un 6?
1 - (5/6)^10 = 0.83
 
Quelle est la probabilité qu'au 50 eme lancer j'ai fait au moins un 6?
1 - (5/6)^50 = 0.99989
 
Bref, la probabilité qu'au nième lancer j'ai gagné au moins une fois est 1 - (5/6)^n, qui tend bien vers 1 lorsque n tend vers l'infini.
 
Conclusion : en jouant assez longtemps, on est CERTAIN de finir par obtenir un 6.
 
Pareil au loto, sauf que bien sur ca converge plus lentement.
 
Mais 1-(13999999/14000000)^n tend aussi vers 1....


 
tu as bu ? tu sais lire ? on est TOUS D ACCORD LA DESSUS.

n°3148315
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:41:21  profilanswer
 

alerim a écrit :

Mais c'est maladroit, parce que tu supposes que tu atteins la limite. ;)

Non c'est pas maladroit, c'est simplement que tu n'as pas l'habitude de ce vocabulaire ;)
 
Et je l'ai traduit dans un langage comprehensible : si je joue suffisament longtemps au loto, je suis certain de ganger une fois. Certain. Je suis même certain de finir par gagner 2 fois, 3 fois, autant de fois que je veux.

n°3148318
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:41:46  answer
 

zurman a écrit :


Conclusion : en jouant assez longtemps, on est CERTAIN de finir par obtenir un 6.


 
Non tu n'es pas CERTAIN, puisque tu ne finis JAMAIS. ;)
 
Voilà la maladresse. ;)

n°3148324
zurman
Parti définitivement
Posté le 06-07-2004 à 19:42:26  profilanswer
 

depz a écrit :

tu as bu ? tu sais lire ? on est TOUS D ACCORD LA DESSUS.

Es tu d'accord avec la phrase suivante : "En jouant suffisamment longtemps au loto, je suis certain de finir par gagner" ?

n°3148329
Profil sup​primé
Posté le 06-07-2004 à 19:42:55  answer
 

zurman a écrit :

Non c'est pas maladroit, c'est simplement que tu n'as pas l'habitude de ce vocabulaire ;)
 
Et je l'ai traduit dans un langage comprehensible : si je joue suffisament longtemps au loto, je suis certain de ganger une fois. Certain. Je suis même certain de finir par gagner 2 fois, 3 fois, autant de fois que je veux.


 
T'as rien traduit du tout, t'as répété ce que Jonas a dit. :heink:  
 
'Tain mais en fait vous êtes tous aussi déjantés les uns que les autres. :lol:  :D

n°3148333
DepZ
Me choose to Go Face.
Posté le 06-07-2004 à 19:43:41  profilanswer
 

zurman a écrit :

Non c'est pas maladroit, c'est simplement que tu n'as pas l'habitude de ce vocabulaire ;)


 
Apparememnt il est pas le seul, plus je te lis plus je me rends que t es hyper leger et que tu noies le poisson.

mood
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Posté le   profilanswer
 

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