Reprise du message précédent :

Le problème est simple : oui on a des machines qui savent calculer une dérivée. Mais pour programmer la machine, il faut bien quelqu'un qui sache faire le calcul à la main. Du coup est-ce utile de connaitre la méthode, oui, comme pour l'addition et la multiplication note bien.  
 
On est en physique de plus en plus confrontés à ce type de raisonnement, l'élève ne doit pas connaitre la notion "par cœur", il faut qu'il sache aller la retrouver à partir de documents. Sauf que pour savoir chercher un truc, il faut déjà être conscient du fait qu'il existe...

Ben... on peut aussi le dire autrement... qui résout des équadif aujourd'hui ? Vu que la plupart ne se résolvent pas simplement...
 
On résout numériquement...
 
Les dérivées ? On les dérive plus analytiquement, on les calculs numériquement...
 
Est-ce qu'il faut supprimer les calculs à la main ?
Je ne pense pas, on voit plus de choses en faisant une étude à la main qu'en faisant un calcul numérique.
 
En plus vrai pour les équadiffs.
Si on fait tout numériquement, on est obligé de fixé des conditions initiales, et on passe à côté de certains comportements...

Ah ? On dirait du Claude Allègre.  C'est totalement méconnaître tout  un pan de sciences où l'on fait encore ce genre de calcul...  
 
Si tu ne sais pas faire les calculs à la main, du moins les amorcer, tu ne vas pas faire faire tes calculs à Mathematica de manière à avoir  un résultat exploitable.  
 

Ça, en revanche, c'est parfaitement juste.  

Honnetement, je trouve que c'est une question qui se pose également. En soit, calculer une dérivée pour calculer une dérivée, ça n'a aucun intérêt.  
Parfois il faut savoir le faire.
Plus que le calcul bête et méchant, pouvoir faire de l'analyse qualitative me semble plus intéressant. Mais c'est pas la direction que semblent prendre les programmes.
 
Apres faut pas se leurrer, pour pouvoir être à l'aise avec une notion, y a souvent un minimum de "gammes" à faire, surtout pour les élèves les plus faibles.

Je ne comprends pas le rapport entre les deux parties de ton message.

Le raisonnement de ton premier paragraphe est quand même léger. On n'apprend pas tous les algos utilisés pour les calculs usuels. Encore moins l'assembleur. À partir de là l'éducation c'est quand même un choix. Est ce que cette compétence est la plus utile à acquérir au vu du temps d'apprentissage limité ? Tout le monde prêche pour sa paroisse de toute façon

Je comprends bien ton point de vue, mais il est inapplicable à un niveau infra-Master. Déjà, avant d'arriver à faire de la géo diff, de travailler sur les variétés, ne serait-ce que pour comprendre la notion d'atlas, de cartes, il va falloir en passer par R^n, le calcul diff, la règle de la chaîne, à commencer par $(f \circ g)'$ qui nous occupait ici. Toi qui parles de retour à l'intuition physique, si tu fais ton calcul de limite du taux de variation, comme on dit en physique, $\frac{f(g(x_0+h)) - f(g(x_0))}{h}$, le résultat est bien ce qu'on a l'habitude de voir comme formule .    
 
Personnellement, j'ai beau connaître les dérivées extérieures et la formule de Stokes, je ne vais pas l'utiliser en physique pour retrouver ce que les physiciens nomment Green-Ostrogradsky ou Stokes-Ampère. En revanche, elle me sert tout le temps devant les étudiants pour ne pas me planter dans les signes de la formule de Green-Riemann.  

Ben, oui. La dérivée/intégration, c'est pas juste une lubie d'analyse fonctionnelle, le calcul différentiel est un outil qui a été inventé pour répondre aux besoins des physiciens du 19e siècle et correspond surtout à une réalité physique. Essaye de bosser sur les champs électromagnétiques sans une idée de ce que représentent la dérivée et l'intégration ?  
 
La question que tu poses "est-il pertinent de connaitre les méthodes bourrines pour calculer une dérivée" se justifie, mais est-ce qu'on peut réellement s'approprier la notion de ce qu'est la dérivée de façon purement qualitative sans se confronter jamais à aucun calcul ? Mon expérience de l'enseignement est que non.  
 
C'est ce qu'on fait de plus en plus, du descriptif superficiel, sans jamais explorer les causes du phénomène. On constate, et si on a besoin d'en savoir plus on ira chercher sur google..

   
 
les mauvais souvenirs de prépa qui remontent  

Voilà, il y a un minimum de gammes à se taper, ce que les programmes ne prennent pas en compte.

J'aime bien cette idée fausse que l'ordinateur va faire les calculs à notre place tout seul comme un grand, dans les cas suivants qui relèvent de la physique, plus spécifiquement de la mécanique  (à programmer formellement, ça peut devenir très pénible, pour les cas simples, autant faire ça à la main) :

• calculer les équations d'Euler-Lagrange ;
• passer d'une formulation lagrangienne à une formulation hamiltonienne et inversement ;
• passer d'une formulation forte d'un problème à sa formulation faible (genre résoudre un problème par la méthode des éléments finis, si chère aux ingénieurs) ;
• faire de la théorie des champs...

Tiens, ça me rappelle le temps où l'agrégation externe de mathématiques avait une option de Maths Applis, de Mécanique, etc.    

Non je crois qu'il faut vraiment qu'HFR implante LaTeX parce que la c'est un peu imbitable comme discussion

Déjà fait dans la version premium

 
à ne pas confondre avec HFR plante LaTeX
 
/joce

Ben sans vouloir parler aux noms des physiciens, donc que l'un d'entre eux me corrige le cas échéant, la dérivée vue comme un physicien n'est pas la limite du taux de variation, meme en dimension 1, c'est un opérateur sur les infinitésimaux.  
Pour un physicien f' c'est la fonction qui à un infinitésimal a, "posé en x", associe f(x+a)-f(x). C'est la définition du matheux également, sauf qu'il remplace infinitésimal par vecteur tangent, f' c'est la fonction qui à un vecteur tangent en certain point x, associe un vecteur tangent en f(x) déterminé par f à l'ordre 1.
 
Il se fait qu'en dimension 1, un opérateur linéaire est canoniquement associé à un réel, et du coup on assimile ce nombre à l'opérateur lui même, et c'est ce qu'on présente au lycéen. Du coup on évacue totalement ce qu'"est" la dérivée: un opérateur qui agit sur les vecteur tangents. C'est dommage parce qu'historiquement la notion est arrivée comme ça, mais qu'en plus les matheux ET les physiciens continuent à la voir comme ça. Pire on a l’impression que l'argument de la dérivée c'est un objet de même nature que l'argument de la fonction de base! Or f a des points pour arguments alors que f' a des vecteurs comme arguments!
 
Mais bien sur, je suis totalement d'accord, il faut commencer par faire les choses dans R^n, mais je vois pas trop ce que ça change, ou alors j'ai mal compris ton objection, sur R^n ou pas la composition des dérivées est bien la dérivée du composé   .  
 
Apres est ce que ce genre de considérations sera utile aux étudiants qui galèrent à calculer la dérivée de 4exp(x^2)-1. Certainement que non.
Mais est ce que ca permettra à d'autres de mieux comprendre ce qu'on fait en mecanique, ou en thermodynamique, ou même de ne pas être interloqué quand on leur dit "attention la composé des dérivées n'est pas la dérivée du composé" mais qu'on leur presente la règle de la chaîne qui dit pourtant exactement le contraire .
 
Mais je reconnais que sans doute un analyste aurait peut etre un discours différent du mien, mais à vrai dire je ne suis sûr de rien. Si y a un analyste dans la salle...    
 
 

Je comprend pas, la formule de Green-Ostrogradsky (de ce dont je me rappelle de ma physique de prepa) ca n'est pas la formule de Stokes en dimension 2 (ou 3) justement !?

En fait, chuis assez curieux du coup. Comment vous calculeriez la dérivée de Arctan(1+x^2+y^2), pour vous? Puis pour vos élèves?

Ça dépend, par rapport à quoi ? partielle, totale ?
 
Blague a part, moi j'utiliserais bêtement la chain rule avec  :
 
u : R->R; x-> Arctan(x)  
v : R^2 ->R ; (x,y) -> 1+x^2 + y^2
 
f : R^2 ->R; x -> u(v(x))
 
df/dx = du/dv|_{évalué en 1+x^2 + y^2) dv/dx  (je sais que les d doivent être rond a part du/dv mais j'ai la flemme   )

Dans mon entourage professionnel, dans R, c'est la limite de la pente des cordes, donc la pente de la tangente. J'ai toujours vu faire ça comme ça. La vision par infinitésimaux, donc la définition de la différentielle qui en découle, c'est une vision mathématique.

Et ce n'est pas une mauvaise chose en soi. D'un point de vue numérique, ça permet de comprendre ce qu'on fait en différences finies quand tu parles de schémas.

Les deux notions sont à connaître.

Heureusement pour les matheux

Pour les physiciens, je n'en mettrais pas ma main à couper. J'ai autour de moi un échantillon de doctorants en physique qui serait bien incapable d'énoncer les choses comme tu le fais...  

C'est vrai, mais les étudiants (pas matheux) ne voient pas les choses ainsi, ou alors ils ont totalement oublié l'origine des choses, ne les ont pas du tout assimilées. Ça se voit bien dès qu'on passe dans R^n et qu'on leur parle de matrice jacobienne. À partir de là, il n'y a plus personne, c'est n'imp', ça me désole...    Le théorème de changement de variables en intégration dans R^n...  

À part que pour eux, j'insiste : la notion de différentielle, ça leur passe au-dessus de la tête, à un point...

Je n'avais pas terminé mon argument : après la jacobienne, vient la notion de dérivées partielles... d'où le fait qu'on revienne à la définition dans R + « chain-rule » (et là, pour le coup, soit on repart dans la composition de différentielle qui nous occupe et c'est plié, soit on peut le faire de manière pédestre).

Pédagogiquement, le problème que tu soulèves se voit également quand tu présentes fonctions holomorphes vs fonctions de R² → R². Corollaire : équations de Cauchy-Riemann.

Rappel : je parle des physiciens...  

Non, en effet.  

Pour cela, il faut du recul, comprendre la notion de différentielle et donc comprendre l'algèbre linéaire de base. Ça commence à faire beaucoup de choses à exiger...    Ça ne concerne qu'une minorité de l'auditoire moyen.

Je comprend pas, la formule de Green-Ostrogradsky (de ce dont je me rappelle de ma physique de prepa) ca n'est pas la formule de Stokes en dimension 2 (ou 3) justement !?[/quotemsg]
Si, tout à fait, mais pas exprimé comme \int_{\partial \Omega} f = \int_\Omega df... avec d la dérivée extérieure. Pareil pour Green-Riemann, avec le signe - au milieu qui se retrouve par dérivation extérieure.

Vrais savent lire du source TeX sans se poser de question.  

Je confirme. Pour moi une dérivée c'est certes un opérateur, mais appliqué à une fonction plus qu'à un vecteur (sauf si bien sur ce vecteur est lui-même une fonction).

+1, Meme si tu vois les théorèmes Stokes/Gauss en 1ere dans ton cours d'analyse, le concept de dérivée en tant qu'opérateur appliqué à un vecteur tangent, c'est pas avant les premiers cours de geom diff (si tant est que c'est pris parcce que c'est en option   )

[ : haha physicien ]  

Non mais en vrai je suis même pas physicien mais carrément chimiste, ce qui du point de vue des maths est encore pire.  
 
D'ailleurs, je pense que j'aurai nettement mieux compris la thermo si j'avais eu un vrai cours sur le calcul différentiel ; histoire de traiter ce genre de trucs comme il faut :  

Je refuse de rester sur un forum modéré par des chimistes.    
 
 

 
 
C'est d'ailleurs joli de comprendre un jour enfin qu'on passe d'une fonction thermodynamique à l'autre par le biais d'une transformation de Legendre...  

Je peux t'arranger une sortie rapide si tu veux, j'ai besoin de points pour le HoF
 

De même, (mais ça je pense que je l'ai compris) j'ai encore des copains qui quand ils lisent H\psi = E\psi ont du mal à voir que H et E ne sont pas de la même espèce.  
 
D'ailleurs en termes de notation, un hamiltonien étant une fonction, il se note en italique ou pas ?

Opérateur    
La notation la plus classique c'est de mettre un chapeau \hat{} au dessus il me semble.

[ : haha modo mort de faim ]  

Ils ont quand même la même dimension.  

Bonne question. Je répondrais : faut choisir son camp et s'y tenir. Soit c'est vu comme l'initiale d'un nom propre, alors je dirais que non. Soit on le voit comme une fonction quelconque, comme f désigne désormais une fonction, alors je dirais que non. Personnellement, je l'écris $H$ ou bien $\mathcal{H}$, $\mathscr{H}$. Et je ne mets pas de majuscule à « hamiltonien » et j'aspire le H, donc je dis et écris « le hamiltonien ». Même décision pour lagrangien, wronskien, laplacien, d'alembertien.

Langue française vaincra !  

C'est le résultat qui a la même dimension, plutôt que l'opérateur lui-même, non ?  
 

du coup, je me demande pourquoi les fonctions trigo ou le log sont notées en texte "normal".  

 
C'est une équation aux valeurs propres, donc si \psi est de dimension N H est de dimension N x N. E, comme tout bonne observable physique est un réel.
 
Sachant que N peut être infini aussi  

Abus de langage. C'est comme un laplacien, ça a la dimension de l'inverse du carré d'une longueur.  
 

Par convention et parce que les fonctions citées sont normalisées, univoques, alors que le hamiltonien dépend du système physique considéré ?

 
Ca a la dimension d'une énergie surtout   .

On parlait de dimension physique (unité, etc.), pas de dimension mathématique (des espaces considérés). Faut suivre un peu là... même si l'on est sur un topic Maths . Je propose qu'on bannisse Ciler, à l'origine de la discussion HS, pour lui faire la mÿthe en tant que modal-bizuth.

   Fais pas semblant de ne pas avoir compris.  

Puisque c'est ça je me casse  

 
Au temps pour moi
Je vois quand meme toujours pas dans quelle système d'unités ca aurait une dimension de L^-2

Le L^{-2} portait sur l'exemple du laplacien en tant qu'opérateur.  
 
J'aurais dû écrire pour ne pas laisser d'ambiguïtés :
 

Sinon, si l'on veut que ça colle, t'as qu'à changer l'unité de \hbar et le tour est joué.

Ouh putain je viens de comprendre, ca fait 5 minutes que je lisais "Lagrangien" à la place de Laplacien  
 

 
hbar = c = kb = 1, plus d'emmerdes  

   [ : haha physicien théoricien ]

Hausdorff–Besicovitch ou rien
 
A+,  

Pas faux...    J'ai hésité à en parler dans le cadre d'un cours d'introduction aux systèmes dynamiques au moment d'aborder la notion de chaos... je me suis finalement abstenu...