Reprise du message précédent :
Ah ok.

Une rotation d'axe ça correspond à un changement de base orthogonale directe, avec une transposée

Quelqu'un pourrait m'expliquer l’élimination des termes séculaires à l'équation (4.12) et la limite de psi0 en tau0?
Epsilon est petit et phi et psi représente des énergies d'oscillations de deux masses couplés par un ressort non-linéaire.
 

Salut à tous,
 
J'essaye d'aider, tant bien que mal, mon frangin qui est en première S et qui a des devoirs des vacances (franchement, à son âge...   ).
Je bute sur un truc, sans doute très simple pour vous autres, mais suffisamment éloigné pour moi pour me prendre la tête comme un niais.
Il s'agit de démontrer par récurrence que :
 

 
Je me disais qu'il doit falloir montrer que c'est une suite géométrique ou arithmétique puis utiliser la formule de la somme spécifique mais je ne m'en sors pas vraiment.
 
D'avance merci pour votre aide...  

ben tu le fais par récurrence:

Pour n=2
sum(k(k-1),k=2..2)=2(2-1)=2 et [(2-1)2(2+1)]/3=2

OK

Pour n€IN fixé on suppose que sum(k(k-1),k=2..n)=[(n-1)n(n+1)]/3

sum(k(k-1),k=2..n+1)
=sum(k(k-1),k=2..n)+(n+1)(n+1-1)
=[(n-1)n(n+1)]/3+n(n+1)
=n(n+1)[(n-1)+3]/3
=[n(n+1)(n+2)]/3

Ok

D'où le résultat.

Merci pour ta réponse rapide ExerK mais je dois dire que je ne comprends pas comment tu passes de =sum(k(k-1), k=2..n)+(n+1)(n+1-1) à =[(n-1)n(n+1)]/3+n(n+1) . Tu peux m'expliquer?

J'utilise l'hypothèse de récurrence.
En haut je dis "on suppose blablabla"
Et justement le premier terme est exactement celui de l'hypothèse.

Eh bien encore merci à toi. J'abuse mais, quitte à que je passe pour un idiot, je comprends maintenant toutes les étapes de ton raisonnement mais je ne comprends pas comment tu peux t'arrêter à cette dernière ligne. Car dans une démonstration par réccurence, si j'ai bien pigé, je dois, en partant de la suite pour n+1 retomber sur l'équivalent de la suite pour n. Or je ne vois pas en quoi [n(n+1)(n+2)]/3 est équivalent à [(n-1)n(n+1)]/3.  
Après je t'embête plus, promis...

tu dois pas retomber sur le cas n mais l'utiliser pour montrer le cas n+1

C'est la même chose mais au rang d'après.
Dans le premier truc remplace les n par des n+1.

Merci à toi et à Arkin, j'ai pigé, enfin...

Non. Une démonstration par récurrence d'une propriété P, c'est:
Si
a) P(0) est vraie.
et
b) Si P(0), P(1), ..., P(n) sont vraies, alors P(n+1) est vraie
alors
P(n) est vraie pour tout n élément de IN.
 
(et intuitivement, ça donne: P(0) est vraie d'après a), donc P(0+1) = P(1) est vraie d'après b) donc P(1+1) = P(2) est vraie d'après b) donc P(2+1) = P(3) est vraie d'après b) donc ...)
 
Bon après, tu as des variations, si ta propriété n'a pas de sens pour n = 0, mais en a un pour n = 1
Si
a) P(1) est vraie.
et
b) Si P(1), P(2), ..., P(n) sont vraies, alors P(n+1) est vraie
alors
P(n) est vraie pour tout n élément de IN*
(et idem si ta propriété n'est vraie qu'a partir d'un certain entier k).
 
A+,

 
C'est pas plutot :
Si
a) P(0) est vraie.
et
b) Si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie
alors
P(n) est vraie pour tout n élément de IN.
 
T'as pas forcément besoin de tous les éléments avant P(n) pour tester P(n+1)...

T'as pas nécessairement besoin, mais ça mange pas de pain de le supposer dans ton raisonnement.
Le principe de récurrence est tel que je l'ai donné, parce que des fois, tu as vraiment besoin de l'hypothèse sur tous les rangs de 0 à n pour démontrer le rang n+1 (ou en tout cas, ça facilite l'écriture de certaines démonstrations de le supposer).
A+,

Tu en as besoin dans le cs des récurrences "fortes" où, pour démontrer ta propriété, tu peux avoir besoin des propriétés des n précédents (genre par exemple sur des suites un peu dégueu...)

Ouais.
 
Ce qui peut à première vue paraître étonnant c'est que la récurrence forte qui parait supposer plus de choses est en fait équivalente à la récurrence normale.

   
 
Le diable est dans les détails.
 
 

 
Après m'être pris deux double-récurrences dans la tronche, j'avais effectivement pris la précaution (inutile) de supposer l'existence d'un entier n tel que P(k) soit vraie pour tout k=< n.
 
Cela dit, je déconseille cette forme à mes élèves de TS. En fait, je ne l'enseigne même pas car je dois d'abord lutter contre l'erreur qui consiste à écrire " on suppose que P(n) est vraie pour tout entier naturel n ... ".

C'est ce que je disais: en principe, la récurrence faible est censée être suffisante (équivalence avec la récurrence forte), mais dans la pratique, la récurrence forte peut grandement simplifier l'écriture de certaines démonstrations, et comme dans une démonstration, supposer la récurrence forte ne mange pas de pain, autant faire systématiquement cette hypothèse.
A+,

Un truc tout bête qui devrait faire l'affaire: tu prends deux suites v(n) et w(n) qui convergent vers une même limite l, mais sans rapport visible entre elles, puis tu considères u(n) définie par u(2n) = v(n) et u(2n+1) = w(n).
A+,

Bonjour, une petite devinette pour aptienter avant les résultats du bac : j'ai une corde qui fait le tour de la terre, au niveau de l'équateur par exemple. On suppose qu'il y a juste assez de corde pour qu'on ne puisse pas la décoller du sol. Si on rajoute un mètre de corde, quelle est la hauteur maximale des objets qui passeront sous cette corde ?

Quand tu parles de rajouter 1 mètre après la corde est toujours "tendue" (i.e. on fait toujours un cercle complet même si il "lévite" alors au dessus du sol) ou à un endroit on peut la déformer ?

tu la déformes comme tu veux mais elle reste suivant le plan de l'équateur

Est elle elastique ?

D1=Pi*r1²
D1+1=Pi*r2²
h=r2-r1

Et l'objet potentiel n'a pas de largeur ni d'épaisseur il a juste une hauteur ?
Ben on fait un triangle avec le mètre supplémentaire ?

oui et donc ? il faut donner la hauteur

Non mais les gars vous vous prenez la tête pour rien : tu rajoutes juste 1m à l'ancien périmètre et tu trouves le nouveau rayon...

ben non il a dit que ca reste pas forcément un cercle.
Entre laisser en cercle mais rajouter un seul mètre. (sur un diamètre aussi énorme ca va rien changer)
Et la déformer localement ca change tout.

ça serait pas 2*Pi*r le périmètre d'un cercle ?

 
 
ça fait donc 50cm...

Ben non, il a dit qu'on la déformait comme on veut. Donc on peut continuer à la coller à la terre sauf en un point où elle fait un aller retour vers le haut.
 
Donc 50cm pour moi  

Ah oui my bad, du coup c'est plus facile

 
on peut faire mieux

D'où ma question sur la largeur du truc.
Si il a juste une hauteur oui c'est évident.

My bad bis, j'avais pas vu. Du coup oui triangle rectangle

sauf que c'est plus long de faire juste un aller-retour plutôt que de faire un trajet direct (cf Pythagore ) donc ma réponse n'est pas bonne

ah oui, chuis con  

j'avais raison.

 
La réponse en spoiler, c'est contre intuitif :  
 

Ouais bah là va falloir balancer une démo...

J'ai pas mal cherché sans trouver