En fait une boussole n'indique pas le nord géographique mais le nord magnétique, elle subi en plus une déclinaison magnétique qui peut aller jusqu'a 40°. En fait je vois vraiment pas ce que tu montres avec cette anime 3D qui pique les yeux

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Qui n'a pas passé des journées d'été entières à chercher à se retourner pour voir si par hasard le soleil (ou la lune, ou une étoile) n'était pas entrain de le suivre ?  Par exemple en marchant, en courant, mais aussi dans le train, le nez à la vitre, et dans les transcontinentaux, le nez au hublot (bateaux, avions...).
 
Qu'on trouve ça poétique ou que ça donne vraiment froid dans le dos, au choix, le problème est là : les astres nous suivent-ils dans nos déplacements ?
 
Si c'est le cas ça pose la question : pourquoi ?
Et ça ouvre un domaine de recherche encore inexploré, avec des questions du type :

• Les astres peuvent-ils suivre plusieurs personnes en même temps, et le font-ils fréquemment ?  
• Et si les personnes suivent des directions opposées ?  
• On sait qu'on ne peut pas planter des choux sur la lune, mais peut-on mettre un astre dans les choux en le semant ?  
• Les animaux sont-ils aussi de la partie ?  
• Et si c'était le mouvement qui attirait l'attention ? Effectivement quand on reste allongé sur la plage, le soleil commence par nous fixer mais finit pas s'éloigner. Si les astres suivent tout objet mobile, on peut imaginer un test en lançant des caméscopes en l'air et en étudiant le comportement du soleil d'après les précieux enregistrements.  

Toutefois, toutes ces questions nous sont interdites tant qu'on a pas répondu à la première de toutes :

• les astres nous suivent-ils dans nos déplacements ?

En consultant le chapitre sur les équinoxes du programme de 5ème des collèges on apprend que les planètes du système solaire évoluent sur un même plan dit "plan de l'écliptique". Mais aucune équation n'est donnée.
Ce que je demande donc de méditer sur la question d'une part , et d'autre part, considérer attentivement les équations du problème.  
 
Équations du problème :
Les variables principales du problème sont à mon avis les suivantes :
Un observateur M est en mouvement sur la surface terrestre S sans changements significatifs de direction V. Quand on change de direction D, l'astre N a lui aussi tendance à tourner. D'où l'intérêt d'imaginer un observateur M embarqué dans un train T filant à vive allure sur un tronçon droit Td. Penser au Concorde ou au TGV.
2ème chose,
sur la surface S du globe G, pour se déplacer d'un point A à un point B on ne suit pas une droite classique D (qui est sans arrondi), mais on suit un segment arrondi : un arc de cercle C.  
Un tel arc de cercle peut être n'importe quel arc dessinable sur la surface du globe à condition que son centre I soit identique au centre du globe O, et son rayon r égal au rayon R du globos. Autrement dit (AB) doit être un arc de "grand cercle" (car tous les autres arcs dessinables ont un rayon r plus petit que R, le rayon du globe). De plus si on ne suit pas un grand cercle, on aura l'impression de changer de direction V, on ne prendra pas le plus court chemin P sur le globe (le relief est ici négligé).
 
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Illustration du fait que l'arc de grand cercle est le plus court chemin sur le globe

• L'illustration de gauche montre divers trajets en arc de cercle qui peuvent être empruntés pour que l'observateur se déplace du point A au point B sur le globe. L'illustration de droite correspond à la même figure mais tournée de façon à voir A et B, l'un derrière l'autre (par transparence).  
• Imaginons qu'on teste tous les arcs possibles passant par A et B (traçables entièrement sur notre globe). On commence par l'arc bleu (petit cercle). On tourne et on arrive à l'arc orange (C1), puis vient l'arc du cercle rose (grand cercle, c'est-à-dire de centre et de rayon égaux à ceux du globe lui-même). On passe ensuite par le cercle jaune C2, pour boucler sur le petit cercle bleu du départ.
• Sur la vue de droite on voit que de tous les trajets possibles, c'est le trajet rose le plus court! D'où l'intérêt d'éviter de tourner autour du pôle comme on dit :

car enfin en s'aidant des figures ci-dessus on voit bien que pour aller d'une ville à l'autre située sur la même latitude,  et sur des méridiens qui diffèrent de 180°, il faut passer par un pôle pour faire le trajet le plus court et donc le plus économique (si on néglige le chauffage!).
 

• On est donc sûr maintenant que le trajet le plus court entre 2 points est déterminé par le grand cercle passant par les 2 points, mais est-ce que ça signifie qu'on ne change pas de direction?
• La figure ci-dessous montre justement 2 points situés à la même latitude, à peu près 45° Nord si on interprète le dessin de la façon la plus courante. Si on se fie à la boussole le point B est donc à l'Est de A, et on pourrait croire 2 choses :  
• 1/ Qu'on effectuera  le chemin le plus court en suivant le cercle jaune.  
• 2/ Qu'on ne changera pas de direction. En effet si on suit l'arc AB de couleur jaune, on suit constamment l'indication notée E sur la boussole.  

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La boussole est certes un outil pratique pour aller à coup sûr d'un point à un autre en s'aidant des points cardinaux lus sur une carte (100kmx100km maxi , au-delà j'ai un doute?..). Mais sauf exception on n'obtient pas le plus court chemin. Et on ne peut non plus compter là-dessus pour se maintenir dans une direction constante. Dans l'exemple ci-dessus on voit qu'on commence par aller trop à droite, puis à mi-chemin on corrige et on a tendance à aller vers sa gauche. - Mais droite, gauche, par rapport à quoi ?  
 
Pas par rapport à la direction de la boussole évidemment, mais par rapport au trajet que suivrait un rayon lumineux s'il était obligé de filer (sans déraper) sur la surface du globe. Car la lumière prend toujours le plus court chemin, donc celui du cercle rose. Concrètement ça veut dire que si vous êtes en A et que le point B est un phare situé à l'Est sur la carte, alors de suivre la direction E sur la boussole vous donnera l'impression dans l'hémisphère Nord d'aller trop à droite en rejoignant le phare, puis vous corrigerez vers la gauche à mi-chemin environ.
 
Pour faire l'expérience simulant le trajet collé au sol, on peut éventuellement prendre un faisceau laser fin tiré entre 2 sphères miroires parfaitement concentriques, parfaitement lisses, et faiblement écartées. Quel que soit l'angle de tir le rayon devrait revenir son point de départ après avoir décrit un grand cercle. Une impulsion unique peut sûrement faire plusieurs dizaines de tours parfaitement identiques.

• Ce qu'il faut retenir c'est qu'ici, il est important de suivre les grands cercles parce qu'il s'agit d'astronomie, c'est-à-dire de lampions lumineux perchés dans le ciel.  

Question subsidiaire : quelle est la forme géométrique de l'ensemble de points qui unit tous les centres des arcs circulaires inscriptibles intégralement sur la surface du globe et qui passent par 2 points A et B de la surface de ce globe ?
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Coordonnées
On travaille dans un repère absolu classique, cartésien, orthonormé {O,X,Y,Z}. O est centre du globe de rayon R. Le plan (XY) contient l'équateur, et l'axe Z, les pôles Sud et Nord.  
 
1°
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Données :
R est un nombre réel positif
 
alpha est un angle compris entre 0° et 360°
 
béta est un angle compris entre 0° et 180°
 
Travail à faire :

• Partant des coordonnées de A et B
• Déterminer l'équation de l'arc AB

Coordonnées de A et B
Paramètres sphériques du point A sur le globe : (R,alphaA,,bétaA)
Coordonnées cartésiennes de A :
XA=R*cos(alphaA)*cos(bétaA)
YA=R*sin(alphaA)*cos(bétaA)
ZA=R*sin(bétaA)
 
Paramètres sphériques du point A sur le globe : (R,alphaB,bétaB)
Coordonnées cartésiennes de B :
XB=R*cos(alphaB)*cos(bétaB)
YB=R*sin(alphaB)*cos(bétaB)
ZB=R*sin(bétaB)
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2°
Équation du plan P contenant O,A,B
M(X,Y,Z) fait partie du plan P=(OAB) équivaut à écrire : OM=u*OA+v*OB
(Ce qui signifie qu'on étire arbitrairement les vecteurs OA et OB, et qu'on additionne le tout; le résultat est un nouveau vecteur OM du même plan que O, A et B.)
 
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
Équation de la sphère S de centre O, de rayon R (contenant A,B)
M(X,Y,Z) fait partie de S équivaut à écrire : X^2+Y^2+Z^2=R^2
(Ce qui signifie que la distance entre O(0,0,0) et M(X,Y,Z) élevée au carré égale le rayon de la sphère; le résultat est que M est évolue sur la sphère)
 
Équation du grand cercle de S passant par A et B
Appelons C ce grand cercle. M(X,Y,Z) est sur C signifie que M est à la fois sur P et sur S (intersection des 2 lieux).
On peut donc injecter les coordonnées d'un point de P dans l'équation de S. La nouvelle équation décrit C :
S : X^2+Y^2+Z^2=R^2
 
P :  
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
C : (u*XA+v*XB)^2+(u*YA+v*YB)^2+(u*ZA+v*ZB)^2=R^2
u^2 * (XA^2+YA^2+ZA^2) + v^2 * (XB^2+YB^2+ZB^2) + 2*u*v * (XA*XB+YA*YB+ZA*ZB) = R^2
(L'écriture vectorielle apportera un éclairage éventuel sur la signification : (u*A+v*B)^2 = R^2)  
 
3°
Paramétrisation de l'arc de grand cercle AB
Partant de l'équation du grand cercle de l'équateur E dans le repère absolu,  
X^2+Y^2=R^2
Z=0
on va tenter de trouver une paramétrisation de l'arc AB.
 
On part du constat que le grand cercle C, support de notre arc AB, se déduit de E par 2 rotations successives :

• la rotation d'axe OZ qui aligne OX sur Ok ;
• la rotation d'axe OL qui aligne Ok sur OK  

(petit k a été oublié sur la figure, on l'ajoutera mentalement. On peut poursuivre et le resituer plus tard).
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On calcule donc L et K.
 
Calcul de L :
L et L' sont les 2 points d'intersection de l'équateur E et du grand cercle C passant par A et B.  
 
Données :
P :  
X=u*XA+v*XB
Y=u*YA+v*YB
Z=u*ZA+v*ZB
 
C:
C : (u*XA+v*XB)^2+(u*YA+v*YB)^2+(u*ZA+v*ZB)^2=R^2
 
E:
X^2+Y^2=R^2
Z=0
 
Croisements des données :
Z=u*ZA+v*ZB=0
donc u= (-v) * ZB/ZA
 
En exprimant P(X,Y) en fonction de v :
X=(-v) * ZB/ZA*XA + v*XB
Y=(-v) * ZB/ZA*YA + v*YB
 
Enfin, X^2+Y^2=R^2
donc : ((-v) * ZB/ZA*XA + v*XB)^2+((-v) * ZB/ZA*YA + v*YB)^2=R^2
 
Solutions (u;v) :
On pose N = ZA^2* (XB^2+YB^2)  + ZB^2* (XA^2+YA^2) - 2*ZA*ZB* ( XA*XB + YA*YB)
Sauf erreur de ma part, l'étude du signe de N équivaut à peu près à se demander si 2 surfaces, d'équations f et g, ont tous leurs points à altitude positive ou nulle. Si c'est le cas, N est aussi positif ou nul. Les graphiques obtenus sous Scilab confirment le fait.
 
Remarque : Le cas où N est nul correspond à A = B, cas pathologique s'il en est.
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u1= - ZB*R / (N )^(1/2)  ;  v1=+ ZA*R / (N)^(1/2)
u2= + ZB*R / (N)^(1/2)  ;  v2=- ZA*R / (N )^ (1/2)
 
On choisit d'attribuer la solution 2 au point L (en contradiction avec la figure, c'est possible). La solution diamétralement opposée est L'.  
Les coordonnées absolues (XL,YL) sont données par :
XL=u2*XA+v2*XB
YL=u2*YA+v2*YB
ZL=0
 
4°
Calcul de k :
On en déduit les coordonnées de k par rotation d'un angle valant (90)° dans le plan XY :  
 
k = rotation[axe OZ, angle 90°] (L)
Rappel : cos( 90°) = 0  ;  sin( 90°) =  1
 
Xk = cos( 90°)*XL - sin( 90°)*YL + 0*ZL
Yk = sin( 90°)*XL + cos( 90°)*YL + 0*ZL
Zk = 0*XL + 0*YL + 1*ZL
 
Xk = - YL
Yk = XL  
Zk = ZL = 0
 
Angle Alpha  :
L'angle Alpha permet de passer de OX à Ok par la rotation d'axe OZ.
L'angle Alpha vérifie :
cos(Alpha) = Xk / R
sin(Alpha) = Yk / R
tg(Alpha)  = Yk / Xk
 
4°
On va tenter d'extraire K de la donnée de l'équation du méridien passant par K et k, ainsi que d'une droite convenable nécessitant une projection sur l'axe (OK) d'un des 2 points initiaux, A ou B.  
La donnée de K et de L permettra alors d'obtenir une base adéquate pour décrire le cercle rose de manière explicite, d'écrire une équation de cercle puis d'arc de cercle (l'arc de grand cercle AB en l'occurrence).
 
Équation du cercle méridien MKk :
Le cercle méridien Mkk est à l'intersection du plan (OkZ) et de la surface S du globe.
 
Équations :
 
Plan (O,Ok,OZ) :
Annoncer qu'un point M(X,Y,Z) de l'espace est un point du plan (O,Ok,OZ), revient au même que de dire que tout vecteur OM est orthogonal à un vecteur normal au plan. Comme vecteur normal, prenons le vecteur OL (orthogonal à Ok et situé dans le plan horizontal (OXY) (c'est-à-dire le plan orthogonal à (OkZ)).  Le produit scalaire entre OL et OM doit donc être nul :
OL.OM=0
soit XL*X + YL*Y + ZL*Z = 0
c'est-à-dire XL*X + YL*Y = 0  
L'interprétation est simple, il s'agit de l'équation de la droite (Ok) du plan (OXY). Toute droite de ce plan tisse un plan vertical dès qu'on active la 3ème dimension. Pour garder une équation de droite il faut ajouter l'information supplémentaire du type Z=0, c'est-à-dire décrire la droite comme intersection de 2 plans.
 
Sphère S :
X^2+Y^2+Z^2=R^2
 
Pour associer une équation à l'intersection du plan et de la sphère, on pourrait essayer de croiser les données mais les équations implicites dans un espace à n dimensions semblent assez inefficaces pour décrire des objets de dimension n-2.  A moins qu'il y ait une astuce que je ne vois pas, voilà ce que donne la tentative classique :
Y = -XL/YL*X
X^2 + (XL/YL)^2*X^2 + Z^2 = R^2
 (1+( XL/YL)^2 )*X^2 + Z^2 = R^2
Mais l'équation obtenue n'est pas celle d'un cercle mais d'un cylindre. En effet, l'absence de variable Y dans l'équation est interprétée implicitement comme une expansion dans le sens de l'axe (OY). On a donc échoué à injecter la contrainte sur Y tirée de l'équation du plan dans l'équation de la sphère. Les graphiques suivants illustrent le phénomènes. Le cylindre de la figure de droite est obtenu par expansion implicite du cercle intersection dans la direction (OY).
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• Note : Je ne recommande pas les équations implicites quand on se lance dans des problèmes inconnus parce que contrairement à l'intuition qu'on en a, ce ne sont pas des équations qui décrivent les objets directement, mais le complémentaire de ces objets dans l'espace où ils sont plongés. Par exemple, 0=0 qui ne devrait rien nous apprendre est au contraire une équation bavarde pour la forme implicite : équation décrivant le volume entier de l'espace - sans restrictions; autrement dit X=X, Y=Y, Z=Z.  

Comme les équations implicites partent de la totalité et procèdent par restrictions successives, dès que l'écriture algébrique est un peu compliquée, on est jamais bien sûr de l'objet décrit par ce moyen. Est-ce qu'il n'y a pas trop de restrictions ou trop peu ? L'exemple ci-dessus illustre combien la situation est grave, au lieu d'un cercle, en croisant une sphère et un plan, on obtient un cylindre et un plan. C'est d'autant plus terrible que l'on ne peut pas après ça croiser la sphère et le cylindre, sans quoi on obtient 2 cylindres confondus et 2 plans distincts. Mais en aucun cas 2 cercles, ce qui serait de toutes façons trop. C'est pourquoi je me permet de le dire au monde entier, les équations implicites sont inefficaces. Ou alors je ne connais pas la méthode pour les empêcher de bourgeonner lorsqu'on s'acharne à croiser des souches compatibles. J'en profite donc pour poser humblement la question aux véritables connaisseurs , mais mon opinion restera ferme ( ).    
 
L'intérêt des équations vectorielles cinématiques est en revanche confirmé. On part d'un point,  on spécifie sa trajectoire, de la sorte ce qu'on a pas introduit comme degré de liberté au départ est définitif et ne risque pas de se multiplier au hasard. Enfin... les systèmes chaotiques y arrivent nous dit-on. En présence de ces systèmes, quand vous comparez 2 courbes définies vectoriellement sur des critères apparemment très proches, les trajectoires résultantes n'ont plus grand chose de commun, ni même de prévisible. Il est vrai que c'est gênant de partir, par exemple, de la trajectoire d'un cercle, de perturber un peu son centre, et d'obtenir un choux-fleur ! Enfin c'est une autre histoire...  
 
Pour paramétriser notre cercle méridien Mkk dans l'espace, on remarque qu'on peut générer le cercle à partir du vecteur Ok si :  

• O(0,0,0)  étant le centre du cercle et M(X,Y,Z), un point sur le cercle ;
• on se donne une rotation d'angle t, d'axe, une normale au plan du cercle passant par O ;
• la condition équivaut à dire que la rotation se fait dans le plan du cercle, la normale est inutile si on a en poche une base de ce plan.

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Cercle MKk :
On travaille dans la base orthonormale (O,Ok/||Ok||,OZ/||OZ||). Dans le plan muni d'une telle base, la rotation de centre O, d'angle t, appliquée au vecteur Ok, s'écrit :  
 
OM= R * cos(t) * Ok / ||Ok|| + R * sin (t) * OZ / ||OZ||
 
Comme ||OZ|| = ||Ok|| = R :
 Mkk :
OM= cos(t) * Ok  +   sin (t) * OZ
 
Si on déplie le vecteur dans le repère absolu :
X = cos(t) * Xk  
Y = cos(t) * Yk
Z = sin(t) * R
 
Cette fois on a effectivement la trajectoire d'un cercle qui évolue dans l'espace 3D. Voir le screenshot Scilab.
 
Le point K est à l'intersection du cercle méridien MKk passant par k et de la droite (OK) elle-même égale à une droite (Ob) qu'on va définir.
Calcul de K :
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Rappel :
Nos données initiales sont le globe terrestre supposé sphérique, centre O, rayon R. On associe à ce globe un repère cartésien classique, absolu, galiléen etc... tout ce qu'il y a de plus élémentaire. (OXY) est le plan de l'équateur. Les plans orthogonaux à (OXY) et passant par O (plans verticaux) sont dits plans méridiens. On peut puiser dans un cours de 5ème le récit des coutumes des géographes à l'égard de l'équateur et des méridiens.
On donne ensuite deux points A et B, pris tout à fait au hasard, sans être toutefois égaux. Sachant que les grands cercles de la surface terrestre passent par O, on cherche l'équation de l'arc de grand de cercle d'extrémités A et B.
 
5°
Détermination de la droite (OK)
On utilise le fait que (OLK) est une base orthogonale (il se peut que j'ai confondu orthogonal avec orthonormal par endroit, on corrigera à l'occasion...). N'importe quel point du cercle rose a une projection sur l'axe (OK), suivant l'axe (OL). L'intérêt de l'axe (OL) étant :

• qu'on connaît les coordonnées de L,  
• et surtout que (OL) appartient au plan (OXY) ce qui signifie qu'une projection selon (OL) ne fait pas varier Z.  

Prenons ainsi le point B (pour se conformer à la bulle de savon ci-dessus). On veut projeter B sur (OK). Comme il n'y a pas de variations en Z, on peut aussi bien travailler à l'altitude 0.  
Autrement dit, le point b - projeté orthogonal de B sur (OK) - est le projeté de B suivant la droite parallèle à (OL) passant par B, bien. Mais il est possible de tout plaquer sur (OXY) dans un premier temps, puis de réintégrer la donnée ZB à la fin. Le plaquage donne le point b' intermédiaire situé dans (OXY) comme projeté de B'(XB,YB) sur l'axe (Ok) suivant la direction (OL).
Déterminons b' :
 
Direction (OL) :
(OL) en tant que droite a une direction spécifiée par l'angle formé avec (OX) donné à 180° près. Dans ce cas l'angle de la droite (OL) est Alpha+90°. Alpha étant l'angle qui fait tourner (OX) en (Ok) et (Ok) étant orthogonal à (OL).
La direction de (OL) est la tangente de cet angle. Autrement dit le coefficient directeur de (OL) est tg(Alpha+90°) ou YL/XL.  
 
Droite (B'b') :
Comme (B'b') est parallèle à (OL), le coefficient directeur est le même. L'équation de droite est immédiate :
(B'b') : XL*Y - YL* X + C= 0  
(On a préféré l'équation implicite X'Y-Y'X+d=0  à la forme y=a*x+b pour éviter la division par zéro)
 
Sachant que (B'b') passe par B', l'équation ci-dessus est vraie pour le couple (XB',YB') = (XB,YB). D'où :
C =YL* XB - XL*YB
 
Droite (Ok) :
Mêmes considérations élémentaires :
(Ok) : Xk*Y - Yk*X = 0
 
Intersection b' de (B'b') et (Ok) :

• XL*Y - YL* X + YL* XB - XL*YB= 0  
• Xk*Y - Yk*X = 0

Xb' = ( Xk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Yb' =  (Yk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
 
Point b :
Xb = ( Xk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Yb =  (Yk * ( XL*YB - YL * XB ) ) / ( Yk*XL -YL*Xk )
Zb = ZB

Équation de (Ob) :
Se donner un vecteur OM(X,Y,Z) porté par (Ob) revient à étirer arbitrairement Ob d'un facteur w :
OM = w*Ob
 
Une fois dépliée dans (OXYZ) cette équation vectorielle devient :
X = w*Xb
Y= w*Yb
Z=w*Zb
 
Détermination du point K :
M=K si ||OM|| = R donc :
 
w^2*( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) = R^2
 
2 solutions :
w1 = + (R^2 / ( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) ) ^(1/2)
w2 = - (R^2 / ( Xb^2 + Yb^2 + Zb^2 ) ) ^(1/2)
 
On peut choisir arbitrairement w1 pour définir K, en associant à w2, le point K' diamétralement opposé.
 
XK = w1*Xb
YK= w1*Yb
ZK = w1*Zb
(Ne pas confondre ici B et b)
 
Cercle rose (KAB) :
On travaille dans la base orthonormale (O,OL/||OL||,OK/||OK||). Dans le plan muni d'une telle base, la rotation de centre O, d'angle t, appliquée au vecteur OL, s'écrit :  
 
OM= R * cos(t) * OL / ||OL|| + R * sin (t) * OK / ||OK||
 
Comme ||OL|| = ||OK|| = R, l'équation de (KAB) s'écrit :
OM= cos(t) * OL  +   sin (t) * OK
 
Si on déplie le vecteur dans le repère absolu :
X = cos(t) * XL + sin(t) *  XK
Y = cos(t) * YL + sin(t) *  YK
Z = cos(t) * ZL  + sin(t) * ZK  
 
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Angle Bêta  :
L'angle Bêta permet de passer de Ok à OK par la rotation d'axe OL.
L'angle Bêta vérifie :
cos(Beta)=( XK^2 + YK^2 ) ^(1/2) / R
sin(Beta)=ZK / R
tg(Beta)=ZK / ( XK^2 + YK^2 ) ^(1/2)
 
Angle (OL,OA)  :
Les formules du produit scalaire et du produit vectoriel dans des repères orthonormés permettent d'extraire cosinus et sinus.
 
OL.OA = ||OL|| * ||OA|| * cos(OL,OA) = XL*XA + YL*YA + ZL*ZA
||OLxOA|| = ||OL|| * ||OA|| * sin(OL,OA) = ((YL*ZA - YA*ZL)^2 + (ZL*XA - ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2)
 
ZL=0 ;
OL.OA = ||OL|| * ||OA|| * cos(OL,OA) = XL*XA + YL*YA
||OLxOA|| = ||OL|| * ||OA|| * sin(OL,OA) = ((YL*ZA)^2 + ( ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2)
 
cos(OL,OA) = (XL*XA + YL*YA) * 1/R^2
sin(OL,OA) = ( ( (YL*ZA)^2 + ( ZA*XL)^2 + (XL*YA - XA*YL)^2 )^(1/2) ) * 1/R^2
 
Angle (OL,OB)  :
OL.OB = ||OL|| * ||OB|| * cos(OL,OB) = XL*XB + YL*YB
||OLxOB|| = ||OL|| * ||OB|| * sin(OL,OB) = ((YL*ZB)^2 + (ZB*XL)^2 + (XL*YB - XB*YL)^2 )^(1/2)
 
cos(OL,OB) = (XL*XB + YL*YB) * 1/R^2
sin(OL,OB) =  ( ( (YL*ZB)^2 + (ZB*XL)^2 + (XL*YB - XB*YL)^2 )^(1/2) ) * 1/R^2
 
Équation de l'arc de grand de cercle d'extrémités A et B :
GdAB :
 
(Rappel : t doit être un angle issu de OL pour compatibilité avec la base où s'exprime l'équation vectoriel du cercle)
Si tB<tA faire tB+360
t parcourant les valeurs de tA à tB , l'équation de l'arc de grand arc de cercle sous-tendu par A et B est :
 
X = cos(t) * XL + sin(t) *  XK
Y = cos(t) * YL + sin(t) *  YK
Z = cos(t) * ZL  + sin(t) * ZK  
 
6°
Fin d'étape
Je m'arrête ici.  
La suite consistera à introduire un astre, le soleil par exemple. De cette façon, une fois définies algébriquement toutes les trajectoires on peut finalement répondre à la question du topic avec précision. Notamment, si par hasard les astres ne nous suivaient pas, contrairement aux apparences, il se peut que dans certaines configurations réciproque de l'astre et de l'observateur, ce soit vrai. La question étant de dire par le calcul quand ça se produit.
La méthode exposée, la seule que je connaisse, est laborieuse mais n'utilise que des connaissances conventionnelles. Dans le ce cas où quelqu'un aurait une recette plus expéditive, toutes les lumières seront accueillies les bars ouverts (toute la nuit !)
 
http://i49.tinypic.com/2hegbrp.gif
 
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Combien sur ce topic à croire que la boussole indique le plus court chemin, ou le seul possible, entre 2 points ?
Alors que le paradoxe est énorme.  
Une nouvelle illustration ci-dessous :
http://i50.tinypic.com/2a98dft.gif
Quand on avance sur une route parfaitement unidirectionnelle au sens où on ne change pas de direction (aucun virage d'aucune sorte) la boussole change d'indications au fur et à mesure    

• Prends un caune qui tangente la terre ,

• Prends un caune qui tangente la terre ,
• fais marcher un gars sur la courbe obtenu (un cercle)
• plus loin tu peux faire tourner en parallèle n'importe quel astre.

Si l'astre tourne à 20 tours/ minutes par exemple (théorique) , et si l'homme fait de même, ils se suivront de manière absolument identique.  
 
On peut évidemment se demander quand ça se produit sur terre avec le soleil entre autres, et se demander si la sensation de poursuite vient de là, au moins en partie.  
 
Si y a de l'astrophysique au programme pourquoi pas

 
 
T'as oublié une virgule.

. En fait je vois vraiment pas ce que tu montres avec cette anime 3D qui pique les yeux

Ce topik vient de compenser le déficit intellectuel d'au moins 15 confessions intimes

ce raisonnement est foireux...  
 
fait n°1 : une boussole indique une direction, le nord magnétique.
fait n°2 : le plus court chemin entre 2 points est une ligne droite dans le plan.  
 
quel est la relation entre ces deux choses? pour moi, aucun.    
 
si tu te dirige  vers le nord (magnétique) en ligne droite (ou en suivant un arc de cercle situé dans le meme plan que l'axe nord/sud de la terre) ta boussole ne changera pas de direction. mais cela est une "coïncidence" due a tes conditions initiales.

dans cet exemple, tu trouve que le gugus et le soleil se suivent? ils suivent 2 trajectoires parallele, c'est tout. De plus, ce qui ne ressort pas sur ton cone, c'est le rapport des distances qui fait que le mouvement du gugus par rapport au soleil est peanuts. Dernier point, a moins que le soleil change de sens de rotation, suffit que le gugus fasse demi-tour et cela devrait donner l'impression inverse...
 
bref on en reste a une bonne vieille illusion d'optique    
 

A te lire on pourrait croire que dire que Perpignan est au Sud-Ouest de Strasbourbg n'a aucun sens.  
Tu as raison sur le fait que la boussole ne sait donner que le Nord Magnetique, mais si on fait de la randonnée on se sert de la boussole tout autrement. Le problème c'est qu'on croit alors qu'on a une direction droite (géodésique) et c'est ce point que je dénonçais. C'est donc lié.

Mais non je verrais jamais ça  
   
Ça fait longtemps que j'ai quitté la 1ère. En filières techniques on n'use des bonnes choses qu'avec modération.    
Je t'avouerai ceci dit que je ne vois pas en quoi les matrices m'aideraient à spécifier tous les paramètres de l'équation d'un arc de cercle plus rapidement, puisqu'à un moment ou un autre il faut bien développer les trucs du genre produit/sommes(aij*bij). Par contre si ça aide à formuler en 3 lignes la démarche je suis preneur de ta solution. Petite guide de la démarche peut-être?

tu as déja fait de la randonnée? je veux dire ailleurs que dans WoW?    
 
soit dit en passant, fait un calcul rapide pour savoir de combien de degrés aura changé ta boussole en parcourant 10km en suivant l'équateur.    
 
Si tu part avec des hypothèses fausses, pas étonnant que tu arrive a des conclusions toute aussi fausses...

 
les matrices sont utiles quasi des que tu te balade avec des coordonnées    
 
sans indiscrétions, que fait tu dans la vie? qui t'a posé cette question a la base?  

Si je te suis à la trace dans la rue, alors il n’y a pas de mouvement relatif entre toi et moi.  
Demain matin tu vas dans une salle de fitness, tu montes sur un tapis roulant pour courir 40min. Je rentre dans la salle de sport et je me positionne à 1m derrière toi derrière ton épaule droite (à coté du tapi).
Pendant les 40 minutes durant lesquelles tu as l’illusion de te déplacer, tu auras également l’illusion que je suis en train de te suivre (Sauf que moi, je ne serai pas essoufflé). C’est la même situation que toi par rapport à un astre.
A l’échelle d’une journée le seul mouvement que tu dois compenser c’est la rotation de la terre sur son axe. Ta trajectoire est donc un cercle parallèle à l’équateur.

A l'échelle d'une jounée on peut considérer qu'il n'y a pas de mouvement entre le centre de la terre et le soleil.
Simulation en 3D : Tu poses un globe terrestre sur ton bureau ; Tu suspends un marqueur au plafond à l’aplomb de ta position sur le globe, le marqueur touchant le globe. Tu poses une lampe torche dans la pièce pour éclairer le globe. Tu fais tourner le globe pour simuler 24h et ton marqueur te trace ta trajectoire. Le tout sans mouvement relatif entre la torche et le marqueur.

C'est simple :

• Prends un caune qui tangente la terre ,
• fais marcher un gars sur la courbe obtenu (un cercle)
• plus loin tu peux faire tourner en parallèle n'importe quel astre.

Si l'astre tourne à 20 tours/ minutes par exemple (théorique) , et si l'homme fait de même, ils se suivront de manière absolument identique.

On peut évidemment se demander quand ça se produit sur terre avec le soleil entre autres, et se demander si la sensation de poursuite vient de là, au moins en partie.  

Le Mikhail Perpetuum - L'anthologie perpétuelle des posts de Mikhail
 
Merci à tout les contributeurs (désormais trop nombreux).
J'ai retiré les liens morts le 8 décembre 2009.
Le nom complet de la SQFP est Mikhail Smeretchanski, ce qui peut simplifier les recherches google.
 
Sur le forum hardware.fr :
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 3549_1.htm // L'origine de la gravitation, le topic absolu !
http://forum.hardware.fr/hardwaref [...] 4380-1.htm // Principe de fonctionnement du moteur 01 11357
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 5900_1.htm // Le retour du mouvement perpétuel
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 0100_1.htm // Le retour du retour du mouvement perpétuel
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 6007_1.htm // Les mieux c'est communiquer par télépathie
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 0341_1.htm // La vie sur Terre a été détruite à 99.9 %% déjà 8 fois : 4 fois par le feux et 4 fois par l'eau
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 2529_1.htm // Steorn Ireland, une société qui détient la clef de l'énergie libre
http://forum.hardware.fr/hardwaref [...] 4663-1.htm // Jouons ensembles avec le perpetuum
http://forum.hardware.fr/hardwaref [...] 4578-1.htm // Moteur gravitationnel, participation de perroquet
http://forum.hardware.fr/hardwaref [...] 2597-1.htm // Pourquoi les canards ne font pas d'écho quand ils cancanent ?
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 2350_1.htm // Comment introduire le mouvement perpétuel en partant d'un sujet intelligent
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 8190_1.htm // Mouvement perpétuel, vos idées !
http://forum.hardware.fr/hardwaref [...] 1082-1.htm // Pourrissage de topic intéressant
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 2383_1.htm // Energie 100% propre (du Spam)
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 4600_1.htm // Participations sur ce qui s'est passé le 30 Juin 1908 en Sibérie
http://forum.hardware.fr/hfr/Discu [...] 9204_1.htm // Participations de qualité sur le moteur à eau
 
Sur le forum physikerboard.de :  
http://www.physikerboard.de/ltopic,78,0,asc,0.html // En allemand
 
Sur le forum Sur la toile :
http://www.sur-la-toile.com/discus [...] opre..html // Énergie 100% propre
http://www.sur-la-toile.com/discus [...] e-NET.html // Trouvé sur le NET (des liens comme seul Mikhail sait en trouver)
http://www.sur-la-toile.com/discus [...] el_38.html // Le fil de Michel 38
 
Sur ChaleurTerre :
http://www.chaleurterre.com/forum/viewtopic.php?t=2070 // Le rêve de Michel38  
 
Sur le forum PhysOrg :
http://www.physforum.com/index.php?showtopic=7405 //  Perpetuum Mobile = Free Energy
 
Sur le forum giga-presse :
http://www.giga-presse.com/forums/ [...] wtopic=497 // Energie 100% propre
 
Sur techno-science.net :
http://www.techno-science.net/foru [...] php?t=7079 // Énergie illimitée
 
Sur le forum unexplained-mysteries :
http://www.unexplained-mysteries.c [...] opic=46343 // Le mouvement perpétuel
http://www.unexplained-mysteries.c [...] opic=45840 // Teslas free energy apparatus ?
 
Sur le forum uni-protokolle.de :
http://www.uni-protokolle.de/foren [...] hp?t=20051 // Free Energy
http://www.uni-protokolle.de/foren [...] hp?t=22822 // Encore de l'énergie gratuite
 
Sur le forum BesslerWheel.com :
http://www.besslerwheel.com/forum/viewtopic.php?t=44 // Qui peut vérifier mes calculs ? SVP ?
http://www.besslerwheel.com/forum/viewtopic.php?t=775 // L'origine de la gravitation
http://www.besslerwheel.com/forum/viewtopic.php?t=269 // Le mouvement perpétuel
http://www.besslerwheel.com/forum/viewtopic.php?t=252 // Encore le mouvement perpétuel
http://www.besslerwheel.com/forum/viewtopic.php?t=213 // Un moteur à eau
 
Sur le yahoo-group free-energy :
http://groups.yahoo.com/group/free [...] scount=100 // Juste de la pub pour son mouvement perpétuel
 
Sur le forum econologie.com :  
http://www.econologie.com/forums/l [...] t2865.html // Le mouvement perpétuel existe
http://www.econologie.com/forums/l [...] t1241.html // La surunité existe...
http://www.econologie.com/forums/l [...] 41-60.html // Et quelqu'un cites mon anthologie !
http://www.econologie.com/forums/e [...] vt185.html // Encore un mouvement perpétuel ?
http://www.econologie.com/forums/p [...] t1358.html // Perpetuum Mobile : explication
 
Sur le forum overunity.com
http://www.overunity.com/index.php?topic=388.0 // Gravity Motors = Free Energy
 
Sur le forum futura-sciences :
http://forums.futura-sciences.com/thread26031-1.html // L'origine de la gravitation
http://forums.futura-sciences.com/thread22719-1.html // Le mouvement perpétuel
http://forums.futura-sciences.com/thread25194-1.html // Le traitement du Sida
http://forums.futura-sciences.com/thread19475-7.html // Quelles alternatives au pétrole ?
 
Sur le forum oleocene.org
http://forums.oleocene.org/viewtopic.php?t=2895 // Situation énergétique : le monde et la France en particulier
 
Sur le forum onpeutlefaire.com :
http://www.onpeutlefaire.com/forum [...] topic=3388 // Le mouvement perpétuel
http://www.onpeutlefaire.com/forum [...] topic=4259 // Et encore du mouvement perpétuel
http://www.onpeutlefaire.com/forum [...] topic=3791 // Le stockage de la chaleur
 
Sur le forum theidea.bz :
http://www.theidea.bz/forum/index.php?topic=66.0 // Encore un peu plus de spam
 
Sur le forum techies.co.za :
http://techies.co.za/phpBB2/viewtopic.php?t=1411 // Spam pour le perpetuum mobile
 
Sur le forum scientific.ru (russe) :
http://www.scientific.ru/dforum/altern/1116060443 // En VO
http://translate.google.com/transl [...] uage_tools // En anglais
 
Sur le forum NTPO.COM (russe) :
http://ntpo.com/forum/invention/invention1/22.shtml // En VO
http://translate.google.com/transl [...] uage_tools // En anglais
 
Sur Quant'Homme :
http://quanthomme.free.fr/nouvelle [...] 62004.html // Le perpetuum
http://quanthomme.free.fr/nouvelle [...] 12004.html // Est toujours là
 
Sur le forum Onnouscachetout.com :
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http://www.onnouscachetout.com/for [...] c=9856&hl=  // Création de la matière à partir du vide
 
Sur le forum notre-planete.info :
http://www.notre-planete.info/foru [...] #msg-10807 // Fusion nucléaire et fusion à froid
http://www.notre-planete.info/foru [...] #msg-10773 // Liens aléatoires
 
Sur le forum Selfsufficientish.com :
http://www.selfsufficientish.com/f [...] 10&start=0 // Le perpetuum mobile
 
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