Construisons par récurrence une suite q1,..,qn croissante à valeurs dans N-{0,1} vérifiant, pour n>=1 :
 
0< Rn = x - somme de 1 à n 1/(q1..qk)  <=  1/(q1...qn)
 
On a x >0,
Soit donc q1 le plus petit entier naturel tel que 1/q1 <x.
 
Puisque x<1 on a nécéssairement q1 >1, et on a bien 0<R1=x-1/q1 <= 1/(q1-1)-1/q1 =1/(q1*(q1-1))<=1/q1
 
Supposons q1,..,qn construits pour un certain n appartenant à N*.
 
on a Rn >0, soit donc q(n+1) le plus petit entier >= qn tel que 1/(q1..q(n+1)) < Rn
 
alors, puisque pour tout entier k, 1<=k<=n, qk>=q1>1, 0<Rn+1=Rn - 1/(q1..q(n+1)) <= 1/(q1..qn(q(n+1)-1)) - 1/(q1..q(n+1))= 1/(q1..q(n+1)*(q1..qn(q(n+1)-1)) <= 1/q1..q(n+1)
 
Puisque pour n>=1, qn >=2, Rn->0 et il existe donc une suite satisfaisant les conditions de l'énoncé.
 
Soit maintenant (qi) une suite satisfaisant aux conditions de l'énoncé.
 
On a  x = somme (1/q1q2...qi)  <= 1/(q1-1) donc q1 est le plus petit entier tel que q1 < x, et est donc uniquement déterminé.
 
Supposons que q1,..qn sont uniquement déterminés pour un certain n de N, alors
 
Rn+1=1/(q1..qn)somme (1/(q(n+1)..qi) , i>n) <=1/(q1..qn(q(n+1)-1)) , donc q(n+1) est le plus petit entier >=qn tel que 1/(q1..qn(q(n+1))) < R(n+1).
 
Finalement (qi) est l'unique suite satisfaisant les conditions de l'énoncé.

u_0=a>=1
u_n=a^u_n-1 pour n>=1
f(x)=a^x
f(u_n-1)=u_n
supposons que lim u_n=l existe
on a f(l)=l (f continue blabla...)
=>l=a^l
or si a>1 c'est pas possible (l>1, etude de fonction toussa)
donc a=1 (on a bien 1^1^1... qui tend vers 1)

on a une suite récurente, définie par u_{n+1}=f_a(u_n) avec f_a :x->x^a la suite a pour premier terme u_0=a.
on sait que si f est contractante, i.e. si |f(x)-f(y)|<k|x-y| quelque soient x et y avec 0<k<1, f admet un unique pout fixe et les suite réucrentes converge vers ce point fixe quelque soient leurs valeur initiale. (ça marche car R est complet) On en déduit alors une condition suffisante sur a. J'ai la flemme, mais je pense que ça doit donner a=<1. Il suffit ensuite de montrer que c'est une condition necessaire. si a>1 (u_n) est une suite croissante qu'on ne peut pas borner, elle diverge.

la j'ai cracké
en tout cas la valeur maximal >1 n'existe pas (si c'est a, alors a^a>a et vérifie la propriété)
 

a=exp(1/e)>1 ,  l = e > a   , et a^l = l

j'ai écris a^x au lieu de x^a réveil difficile
donc avec f:x->x^a c'est bon
g:x->f(x)-x
g'(x)=a*x^(a-1)-1 pour x>1 et a>1 g'(x)>0 or g(1)=0 donc g(x)>0 pour x>1
donc il n'existe pas de l>1 tel que f(l)=l avec a>1

Tu te trompes de fonction, c'est bien x->a^x qui répond au problème.
La tienne correspond à une suite de la forme b^(a^n), et là le résultat est trivial.
La suite étudiée est la suite a^a^a^a^a... donc on passe de un à u(n+1) par u(n+1)=a^un.

On a a^a^a^a^a... pour les deux fonctions, ensuite libre à toi de modifier ton énoncé car dans un cas ça converge pour a>1, dans l'autre non (ça se voit bien graphiquement)

Non, ça dépend en fait des parenthèses, mais j'ai écrit comme sur papier.
Avec ta fonction on a :
 
(a^a)^a pour U3 et avec la mienne on a a^a^a = a^(a^a) , sur papier on écrirait bien a^a^a alors qu'on met toujours les parenthèses pour écrire (a^a)^a.
La bonne fonction qui correspond à l'énoncé est x->a^x.
 
 
Je redonne la définition exacte de la fonction de l'énoncé : u1=a et un+1 =a^un ce qui s'écrit comme sur papier :
a^a^a .. où a apparait n fois.

x->x^a

on a f(x)=a^x
le probleme revient a chercher a tel que f admette un unique point fixe avec a>1
ou alors autrement dis que g(x)=a^x-x n'admette qu'un seul x0 tel que g(x0)=0 (faire une figure c'est plus clair)
(with(plots):animate({t^x,x},x=1..3,t=1..1.45,frames=100,view=1..3,color=blue); )
on a alors necessairement g'(x0)=0 (g decroisssante sur [0,x0], croissante sur [x0,infinity])
on a donc 2 equations :a^x0=x0 et ln(a)*a^x0=1
d'où a^x0=1/ln(a) en reinjectant dans la premiere equation x0=1/ln(a) donc a^(1/ln(a))=1/ln(a)
=>ln(a)*e=1=>a=e^(1/e).

Soit a >1, cherchons les points fixes sur I=]1,+inf[ de f: x->a^x = exp(xln(a)) C_infini sur I
g : x->f(x)-x est C_infini sur I et s'annule en tout point fixe de f.
Etudions alors les variations de g sur I.
 
Sur I on a g'(x)=ln(a)exp(xln(a)) -1
et:
g'(x)=0 <=> xln(a)=-ln(ln(a))<=>x=-ln(ln(a))/ln(a)=x0
 
comme a >1, ln(a) >0 et :  
g'(x)>0 <=> x>x0 et g'(x) <0 <=> x<x0.
g est donc décroissante sur I inter ]-inf,x0] et croissante sur I inter [x0,+inf[.  
 
Comme g admet des limites respectivement égales à a-1 >0 et +inf en chaque borne de I, g s'annule si et seulement si g(x0)<=0.
 
Comme a>1, ln(a)>0 et on a :g(x0)= 1/ln(a)(1+ln(ln(a)) <=0 <=> ln(ln(a))<=-1 <=> a<= e^(1/e)=a0.
 
Pour la valeur a0,g(x0)=0 et x0 = e>a0 est l'unique point fixe de f. f, de dérivée égale à ln(a)exp(xln(a))>0, étant croissante, et u0 valant a0<x0, la suite un converge verge x0=e.
 
Pour des valeurs de a dans ]1,e^(1/e)[, la suite est majorée par la suite correspondant à la valeur e^(1/e), donc par la limite de cette suite égale à e, et la suite est croissante, et donc convergente.
La suite de l'énoncé converge si et seulement si a est dans ]1,e^(1/e)[, et sa limite est inférieure à e.
 
 
Remarque : la présence du nombre e dans ce résultat est très intéressante je trouve !

on peut voir du u_n+1/u_n s'interresser au comportement de la suite...

On a donc du u_n+1/u_n
En fait la suite u_n représente la somme des termes de la nième diagonale du triangle de Pascal
En calculant ses premiers termes, on remarque que u_n+2 = u_n+1 + u_n, résultat que l'on démontre par récurrence.
On retrouve donc la suite de Fibonacci...
les racines du polynome caractéristique sont k=(1+sqrt(5))/2 et k'=(1-sqrt(5))/2
on a donc u_n=a*k^n + b*k'^n avec |k|>1 et |k'|<1
d'où la limite qui vaut k=(1+sqrt(5))/2 , c'est le nombre d'or

euh si on met les 3 points sur l'axe de symétrie de la parabole, les polaires vont avoir du mal à être concourantes vu qu'elles sont parallèles entre elles, non ?
Je suis déçu, j'attendais plein de calculs horribles  

mouais, je ne sais pas si jouer au plus malin est très indiqué pendant les oraux