Fil maths taupins.

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Auteur	Sujet : Fil maths taupins.

baha47

Reprise du message précédent :
en ce qui concerne l exo a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2
on reduit au meme denominateur on developpr et on simplifie puis on raisonne par l absurde en supposons que le premier terme est égale a 2

ou bien on fait la difference entre les deux deux termes

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lezebulon20001

J'ai deux exos à poster d'un niveau MPSI Pour relancer un peu :

* E un ev de dimension finie, montrer que un endomorphisme f peut s'écrire f=g o p avec g automorphisme et p projecteur

* E un ev de dimension finie, f un endomorphisme nilpotent, mq il existe une base dans laquelle la matrice de f est triangulaire sup avec des 0 sur la diagonale

Message cité 1 fois

Thortue

lezebulon20001 a écrit :

Juste quelques indices si certains en ont besoin:

Spoiler :

Pour le premier, essayez d'abord d'obtenir un maximum d'infos sur p et g (par exemple pour p, on s'interessera aux donnees qui suffisent a caracteriser un projecteur, y'en a pas 36). Pour g, une fois qu'on connait p, on pensera a la decomposition en espaces supplementaires. Quand p et g sont connus, tout est plus simple!

Pour le second, j'ai deja vu ca par recurrence sur la dimension ou alors, j'imagine qu'on peut essayer de construire une base puisqu'une fois qu'on a fixe le noyau, on voit bien qu'il faut qu'il y ait minimum un des vecteurs restants qui envoie sur ce noyau, puis un des vecteurs restants qui renvoit sur ceux-ci... (encore recurrence pour construire une base).

Il y a surement des methodes classiques que tout le monde a deja vu (y compris moi mais la prepa c'est loin!) mais c'est tellement plus sympa d'essayer de comprendre comment ca fonctionne...

Message édité par Thortue le 01-09-2007 à 07:58:54

Profil supprimé

exo 1 :

Spoiler :

soit k=dim Ker f
soit (e_1..e_k) une base de Ker f, qu'on complete en une base B=(e1..en) de E
(f(e_k+1)..f(e_n)) est une famille libre de E (d'apres le theoreme du rang), qu'on complete en une base B'=(u_1..u_k, f(e_k+1)..f(e_n)) de E
soit p le projecteur sur (e_k+1..e_n) parrallelement a (e_1..e_k)
Soit g l'automorphisme qui au i-eme element de la base B associe le i-eme element de la base B'
g est entierement determine, et on a f=gop

Pour le deuxieme exo, il me semble qu'on l'a deja fait, ici ou sur le fil taupin.

axefree

Je serais curieux de savoir ce que vous apporte ce topic ?
ça vous permet de progresser en maths ?

Message cité 2 fois

lezebulon20001

Uep c'es bon :jap: L'exo 2 je l'avais posté parce que je trouvais pas Mais on me l'avait torché avec de la trigonalisation (et je sais pas ce que c'est)

zordy

axefree a écrit :

Je serais curieux de savoir ce que vous apporte ce topic ?
ça vous permet de progresser en maths ?

Ca permet, en période de révision d'oral, de zoner sur le web sans avoir mauvaise conscience. C'est déjà pas mal

Et puis y'a des exos pas mal parfois ...

Message cité 2 fois
Message édité par zordy le 01-09-2007 à 13:34:55

Profil supprimé

zordy a écrit :

Ca permet, en période de révision d'oral, de zoner sur le web sans avoir mauvaise conscience. C'est déjà pas mal

Pas seulement en periode de revision d'oral

Profil supprimé

exo :

Citation :

Soit E un espace vectoriel de dimension fini sur IC.
Une partie W de L(E) est dite irreductible si {0} et E sont les seuls sous-espaces stables par tous les elements de W.
Montrer que le commutant d'une partie irreductible de L(E) est constitué des homotheties.
Ce resultat subsiste-t-il lorsque E est un IR espace vectoriel?

(c'est tiré d'un sujet de DS de sup trouvé sur internet, mais la solution que j'ai trouvé utilise un resultat de spé)

Message cité 1 fois

double clic

Why so serious?

zordy a écrit :

Ca permet, en période de révision d'oral, de zoner sur le web sans avoir mauvaise conscience. C'est déjà pas mal

Et puis y'a des exos pas mal parfois ...

et puis ça fait plaisir à sylvainmn et à caliméro

Message cité 1 fois

---------------
Tell me why all the clowns have gone.

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Profil supprimé

double clic a écrit :

et puis ça fait plaisir à sylvainmn et à caliméro

Et à tass123

Message cité 1 fois

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Me compare pas a eux :kaola:

ddst

axefree a écrit :

Je serais curieux de savoir ce que vous apporte ce topic ?
ça vous permet de progresser en maths ?

J'ai eu un des exos du topic aux oraux

Message cité 2 fois

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ddst a écrit :

J'ai eu un des exos du topic aux oraux

:ouch: Désormais je suivrais ce topic avec assiduité, enfin quand j'aurais vu le cours déja parce que souvent je comprend même pas de quoi vous parlez
C'était lequel d'ailleurs [:cupra] ?

Message cité 1 fois
Message édité par Profil supprimé le 01-09-2007 à 14:12:29

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ddst a écrit :

J'ai eu un des exos du topic aux oraux

'Tain le bol :ouch:

lezebulon20001

Je dirais nan parce que si on prend W = { f } où f est défini par la matrice 2x2 :
0 1
1 0
Alors l'endomorphisme qui a pour matrice :
1 1
1 1
commute avec f mais n'est pas une homothétie.

Apres je suis pas sur du tout et la vraie question je vois pas du tout

Message cité 1 fois

ddst

C'était oral ENSAM pour PT hein, ça vole pas très haut et c'est qu'une partie de l'oral : A & B telles que AB=A+B, mq AB=BA

Message cité 1 fois

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ddst a écrit :

C'était oral ENSAM pour PT hein, ça vole pas très haut et c'est qu'une partie de l'oral : A & B telles que AB=A+B, mq AB=BA

Je suis sur que j'arrive pas à les faire, tes exos d'oral ensam pt Jsuis pas un MP*** (la j'ai pas essayé et j'ai pas envie, je profite de mes derniers jours de vacances )

Message édité par Profil supprimé le 01-09-2007 à 16:14:12

Profil supprimé

lezebulon20001 a écrit :

Je dirais nan parce que si on prend W = { f } où f est défini par la matrice 2x2 :
0 1
1 0
Alors l'endomorphisme qui a pour matrice :
1 1
1 1
commute avec f mais n'est pas une homothétie.

Ton f laisse stable Vect(e_1+e_2), donc W n'est pas irreductible.

SigH-Max

Improbable

C'est mort ici ?

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Depuis tres longtemps

Profil supprimé

Il est temps de remonter ce topic [:bakk]

SigH-Max

Improbable

Ben, vas-y, propose

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OK
(Ce serait bien de mettre le niveau des exercices et/ou d'où ils viennent je trouve)

Niveau : Centrale-Supélec PSI.

Soit P€C[X], de degré n>2, possédant n racines simples notées x1...xn
Montrer que la somme pour k allant de 1 à n des 1/P'(xk) est nulle.

Message cité 2 fois
Message édité par Profil supprimé le 23-05-2008 à 19:59:11

lezebulon20001

Ptain hard cet exo pour un centrale-psi, j'essaie de me rappeller et je poste si je me souviens

SigH-Max

Improbable

Je l'avais déjà fait il me semble, mais je me souviens plus comment il faut faire. On verra ça après le sport

Profil supprimé

Moi je dirais (aux erreurs près (:D) ) :

Spoiler :

Notons E = R\{x1,..,xn}

Sur E on a par décomposition en éléments simples 1/P(x) = somme k de 1 à n des 1/P'(xk)(x-xk)

Ce qui donne, sur E, en notant Qi = Produit pour j différent de i des X-xj , qui est de degré n-1 et unitaire:

1=P(X)*1/P(x)=somme des Qi/P'(xk)

En dérivant n-1 fois on obtient alors le résultat.

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Ca me parait bon

Profil supprimé

Je peux pas affirmer avec certitude si c'est bon, mais en tout cas l'idée c'est bien de décomposer en éléments simples, et si tass est d'accord, on va dire que c'est bon

A quelqu'un d'autre de poster un exo (peut être pas trop hardcore, pensez à ceux qui ne passent pas l'ENS en MP )
En précisant d'où ça vient (si vous savez), ce serait cool

Message édité par Profil supprimé le 23-05-2008 à 21:44:51

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J'ai rien sous la main, et la flemme de ressortir mes TDs

Profil supprimé

Spoiler :

J'ai oublié de préciser que E est ouvert et que 1/P était de classe C infini sur E ce qui permet de dériver

Je poste :

Soient x,y,z > 0
Montrer que :

x²/y² + y²/z² + z²/x² >= x/y + y/z + z/x

Message édité par Profil supprimé le 23-05-2008 à 22:09:49

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Y'a un petit problème avec l'exo que j'ai posé, en fait y'a une erreur là où jee l'ai pris par rapport à la correction qu'ils donnent :

Il faut montrer :

Citation :

x²/y² + y²/z² + z²/x² >= y/x + z/y + x/z

ce qui est beaucoup plus facile.
Je donne un indice pour cette nouvelle forme et ma solution pour la forme précédente (dites moi si ma solution marche pas on sait jamais).

Indice :

Spoiler :

On doit montrer A>=B. Considérer alors 2A-2B.

Solution version précédente (plus dur ).

Spoiler :

L'inégalité du réordonnement montre qu'une somme de produits {somme ai*bi} de réels positifs (an) et (bn) est minimale quand a1<=..a=an et bn<=..<=b1 (i.e quand les termes sont ordonnés en sens contraire). Pour l'info elle est maximale quand les suites sont ordonnées dans le même sens.

On a donc :
x²/y² + y²/z² + z²/x² >= x²/x² + y²/y² + z²/z² = 3

puisque si par exemple x² <= y² <= z² alors 1/z² <= 1/y² <= 1/x²

puis par Cauchy-Schwartz :

x/y + y/z + z/x <= sqrt ( x²/y² + y²/z² + z²/x² )* sqrt(1² + 1² + 1²)

= sqrt ( x²/y² + y²/z² + z²/x² )* sqrt(3) <= x²/y² + y²/z² + z²/x²

puisque on a montré : x²/y² + y²/z² + z²/x² >=3

(sqrt = racine)

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Une idée pour l'exo de sylvainmn, mais j'ai la flemme de verifier si ca marche

Spoiler :

En posant x/y=a et y/z=b, comme z/x=1/ab, on est ramené a la recherche du minimum d'une fonction de deux variables sur un ouvert

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Ok, si ça parle de fonctions à deux variables, je joue pas, je vous laisse l'exo

Message édité par Profil supprimé le 24-05-2008 à 18:40:59

Profil supprimé

Ca ne m'etonnerait pas qu'il existe une solution astucieuse

Profil supprimé

Est-ce que vous avez lu mon dernier message ? J'y ai rectifié une erreur d'énoncé.

Je donne la solution c'est pas la peine de rester bloqués sur cet exo qui traite pas vraiment de ce qu'on peut avoir aux concours en plus (comme le dit tass c'est un calcul d'une ligne) :

Spoiler :

On veut montrer, pour x,y,z>0 :

x²/y² + y²/z² + z²/x² >= y/x + z/y + x/z

On a : 2 * ( x²/y² + y²/z² + z²/x² ) = ( y²/z² + z²/x² ) + ( x²/y² + z²/x² ) + ( x²/y² + y²/z² ) >= 2* y/x + 2*z/y + 2*x/z

= 2 * ( y/x + z/y + x/z ) en utilisant l'inégalité classique : a²+b² >= 2*ab

Cela donne le résultat en divisant par 2 chaque membre de l'inégalité.

Faut savoir que multiplier pour obtenir certains termes est une technique plutot classique dans les exos d'inégalités d'olympiades que j'ai pu voir, mais c'est clair que c'est pas évident d'y penser quand on l'a jamais vu.

Allez à vous qu'on relance ce merveilleux topic qui nous mènera à la victoire

Message édité par Profil supprimé le 24-05-2008 à 19:38:55

Profil supprimé

C'est vraiment un exo a astuce la (comme beaucoup d'exos d'olympiades d'ailleurs)

Un petit exo que j'aime bien : Soit E un espace euclidien, S la sphere unite de E. Determiner l'image de S^3 par f : (u,v,w)-> <u|v> + <v|w> + <w|u>

(ou < | > est le produit scalaire )

Message édité par Profil supprimé le 24-05-2008 à 19:43:23

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Je réponds à l'exo de tass :

Spoiler :

f(u,v,w) = ( N( u+v+w )² - 3 )/2 sur S^3 en notant N la norme euclidienne.

Il s'agit donc d'étudier les extremums de N(u+v+w)² sur S^3.

Puisque N(u+v+w) <= N(u) +N(v) + N(w) = 3 et que cette valeur est atteinte si et seulement si u,v,w sont colinéaires de mème sens c'est à

dire ici si et seulement si u=v=w ce qui est possible, le maximum vaut donc 1/2*(3²-3)=3 .

Si dim E >=2, on peut prendre u, v et w dans un même plan et formant des angles consécutifs égaux à 2pi/3 (je le justifierai mathématiquement plus bas),

leur somme est donc nulle, et le min est de -3/2.

Comme S est connexe, S^3 l'est aussi et par continuité de f on déduit que l'image est [-3/2,3].

Pour justifier mathématiquement l'existence de u,v,w de somme nulle on prend une base orthonormale e1,..,en et on les exprime directement en fonction de

e1 et e2 : u=e1 ,v = -1/2 e1 +sqrt(3)/2 e2, w = -1/2 e1 - sqrt(3)/2 e2. ils sont normés et leur somme est bien nulle.

Pour la dimension 1 on a directement que l'image est {-1,1,3}

Message édité par Profil supprimé le 24-05-2008 à 20:20:37

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Bon j'enchaine (en supposant ma réponse juste ) avec un exo sur les groupes, vu que ça se pose à l'oral et qu'on bosse pas beaucoup l'algèbre générale en prépa (du moins pas beaucoup dans la mienne).

Citation :

Soit G un groupe ayant un nombre fini de sous groupes, montrer que G est fini.

Message cité 1 fois
Message édité par Profil supprimé le 24-05-2008 à 20:38:31

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Ta solution est juste (mais pour un oral l'examinateur te demandera probablement de demontrer la connexite de S)

Pour ton exo :

Spoiler :

Si G contenait un element d'ordre infini, le sous groupe engendre par cet element serait isomorphe a Z, qui a un nombre infini de sous-groupes, et donc G aurait un nombre infini de sous-groupes. Donc tous les elements sont d'ordre fini. Et alors il suffit de considerer les sous groupes de G engendre par un element, qui sont de cardinal fini, et en nombre fini, pour en deduire que G est fini.

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