Dans mon bouquin de spé officiel nouveau programme

bah si a <> 0 et n est dans N* (X-a)^(-n) est multiple scalaire d'une dérivée successive de 1/(a-X) =1/a* 1/(1-X/a)=1/a*somme des (1/a)^kX^k.

Par récurrence In=(n!)²/((2n+1)!)
Puis par d'Alembert, In+1/In->1/4, donc R=4

Ensuite, pour x dans -4,4, |fn(x)|<=(|x|/4)^n, donc il y a CVN, on intervertit somme et intégrale, donc la somme totale = int(1/(x*t^2-x*t+1),t=0..1)
si x est positif, ca donne 4/(sqrt(x*(4-x)))*arctan(sqrt(x/(4-x))), si x est négatif je suis pas motivé ...

LES MINES SONT TOMBEES §§§§§

[X] Soit E un IRev de dimension impaire, u un endomorphisme de E. Mq E possède au moins un hyperplan stable par u

B une base de E (qui est de dim 2n+1) et A la matrice de u dans B.
tA admet au moins une valeur propre car son polynôme caractéristique est de degré impair donc s'annule sur R donc est semblable à un matrice du type de la matrice suivante notée A' :
 
 Ligne
0 M
 
ie. une ligne L en haut, une colonne nulle à gauche de la ligne 2 à la 2n+1-ème et une matrice M de taille 2n
 
D'où tA=PA'P-1
Puis : A=tP-1tA'tP est semblable à tA' de la forme :
 
C Ligne nulle de taille 2n
o
l
o           M'
n
n
e
 
Cette dernière matrice représente u dans une certaine base e1,...,e2n+1 et l'hyperplan Vect(e2,...,e2n+1) est stable par u vu la matrice

Solution géométrique :
 
En fixant deux points l'aire maximale est atteinte lorsque la hauteur issue du troisième point est maximale soit lorsque le triangle est isocèle en le troisième point de l'autre côté du centre.
En fixant le troisième point au point tel que le triangle soit isocèle en le troisième point, l'aire est alors maximale lorsque le triangle est aussi isocèle en B, soit lorsque le triangle est équilatéral. Elle vaut alors 1/2(2*sinpi/3)^2*cos pi/3=3.
 
Reste à trouver une solution purement algébrique.

Ca se fait avec du calcul sur les nombres complexes.

On pose A=1, B=e^{ib}, C=e^{ic}

L'astuce est de ne pas considérer l'aire de ABC directement, mais de voir la somme des aires de OAB, OBC, OCA. On obtient alors 2*Aire = sin(b)+sin(c-b)+sin(-c)

On pose alors f(b,c), définie sur D={(b,c) tq 0<=b<=2*pi, b<=c<=2*pi} C'est un compact, donc elle est bornée et atteint ses bornes. On montre facilement que cela ne peut pas être sur la frontière, donc c'est à l'intérieur, donc cela veut dire que les dérivées partielles selon b et c s'annulent en ce maximum.

On les calcule et après quelques discussions chiantes sur l'égalité des cosinus qui implique des relations sur les angles, on obtient b=c-b, c=2*pi-(c-b), soit c=4*pi/3, b=2*pi/3. D'où le triangle équilatéral.

L'intérêt de cette méthode est qu'elle se généralise très facilement à un polygône de n côtés. On montre bien sûr que c'est toujours le polygône régulier qui a la plus grande aire.

Notons C1,..,Cn les colonnes de cette matrice M et U=(1,1,..,1),V=(1,2,..,i,..,n), W=(1,4,..,i²,..,n²) qui forment une famille libre si n >=3 puisque (1,1,1),(1,2,3),(1,4,9) est une famille de déterminant de vandermonde V(1,2,3) non nul donc libre.
 
si n>=3
 
(a+i+j)²=(a+j)²+2(a+j)i+i²
Donc Cj =(a+j)²U+2(a+j)V+W est dans vect(U,V,W) donc rgM<=3.
 
De plus (1,a+1,(a+1)²), (1,a+2,(a+2)²), (1,a+3,(a+3)²) est la famille des vecteurs composantes dans la base (U,V,W) en dimension 3 de R^3 des colonnes de la matrice 3x3 du coin haut gauche extraite de M, et est de déterminant de vandermonde V(a+1,a+2,a+3) non nul donc est libre. d'ou rg(M)=3.
 
si n=1, on a rg M=0 si a =-2, rg M = 1 sinon.
si n=2, detM=(a+2)(a+4)-(a+3)²=-1 <>0 donc rg M = 2.

C'était quoi une des solutions...?

je viens d'y réfléchir et je trouve que le caractéristique/minimal doivent être scindés dans Z[X]
et donc que les P correspondant seraient constitués de produit PQ ou P scindés dans Z[X] (avec une condition sur les dimensions ptet) et Q dans C[X] (condition suffisante seulement en plus, une des formes des solutions :s)

(en fait je suis parti du fait que le coeff d'ordre n-1 du polynome caractéristique est (-1)^n-1 Tr(A) il me semble ... puis comme on est sur C[X] et que le poklynome est scindé, on refait la même chose sur tous les sous espaces et on trouve que les valeurs propres de A sont toutes dans Z...)
edit : enfin je suis pas sûr, c'est un de mes vieux raisonnement de tête pourris ^^

C'est quoi C*  dual ?, C privé de 0 ?

Sinon, ouais, ca a l'air de bien marcher sauf que ce ne serait pas définit à un "polynôme complexe multiplicatif" près (sic!) ??

en fait je comprends pas pourquoi n racines quelconques doivent être dans Z ...

i.e :
t'as les n racines que t'as défini ... ok.. ^^
après, quelque soit les valeurs des autres racines potentielles de ton polynôme, ca marche nan ?

et sinon, si P annule diag(a1,...,an) , P annule diag(a1,..., an-1) ??? (question idiote surement, mais parfois j'ai des blocages ^^, je dirais oui, à priori)

comme l'unicité de l'inverse  ?