En accord avec les souhaits de plusieurs étudiants taupins, et pour éviter de déranger les intégrés et certains  
 
taupins du taupic taupins, je crée ici ce fil mathématique.
 
Le but du jeu de ce topic pour taupins est de faire une chaine d'exos de maths niveau sup/spé : quelqu'un pose  
 
un exo, les autres essayent de répondre et celui qui trouve doit poster le suivant
 
Ce topic n'a donc rien a voir avec le topic maths de discussions
 
 
Je commence donc avec un exercice facile :
 
Soient a,b,c les côtés d'un triangle, montrer : a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) < 2
 
Les réponses doivent être mises en spoiler pour laisser chcun réfléchir à son aise !

Ca commence pas tres bien...

Faut raisonner en utilisant des considérations d'aires des triangles

Deja, par homogeneite, on peut supposer que a+b+c=1
 
L'equation devient a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) <2
 
a cause de l'inegalite, triangulaire, aucune des trois longueurs ne peut depasser 1/2
 
alors 1-a > 1/2, 1-b >1/2 et 1-c >1/2
 
donc a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) <2(a+b+c)
 
Comme a+b+c=1, on obtient l'inegalite recherchee.

 
J'ai pas l'impression qu'on puisse aboutir de cette facon.

fastoche http://ec1.images-amazon.com/image [...] AA240_.jpg page 131

J'lai fait en TD

Un exo que j'ai eu en colle y'a pas longtemps
 
Soient A,B des matrices carrees de taille n a coefficients dans K
 
Montrer que det (In-AB)=det(In-BA)
 
J'en ai vu deux methodes de resolution, dont une qui ne marche pas dans tous les corps

Je vois pas trop comme ca, un petit indice svp

 
Oui ca marche.
 
Moi j'ai fait :
 
1/2* (  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )=a/(b+c  +(b+c)) + b/(a+c  +(a+c)) +c/(b+a  +(b+a))
 
< (a+b+c)/(a+b+c) par inégalité triangulaire. Allez je m'attaque au tien

 
en spoiler les indices

indice
 

trouvé grace a l'indice

Alors a ton tour de poster un exo.

det(1+x(i)*y(j)) où (i,j)€Nn²

Soit E un ensemble et A,B des parties de E
 
soit f l'application :
f: P(E)->P(A)*P(B)
f(X)=(XinterA,XinterB)
 
a) montrer f surjective ssi AinterB=ensemble vide
b)  CNS pr que f soit injective

Bah donne ta solution whity (en spoiler)

 
pas terrible
ça marche pas trop pour les matrices 1x1 ou 2x2

 
La j-ieme colonne est dans vect u,v ou u =(1,1,1,...) (en colonne) et v=(x1,..,xn)
 
Donc si n>2 D=0. Pour les autres cas on calcule.

C'est un peu le bordel le fil là... faudrait que y'ait par exemple Sylvain qui recoive les exos par mp et qui en affiche 3 dans le premier post... chacun poste sa soluce et pour cela, il faudrait laisser un peu de temps...
faudrait éviter les exos pour laquelle la rédaction est chiante aussi...

Bah le principe est normalement bon mais irish boy a tout cassé en postant un exo alors qu'il n'avait rien trouvé Bon c'est à double clic de poster et on suit le principe maintenant

Montrer que la norme d'une matrice peut tendre vers l'infini sans qu'aucun de ses coefficients ne tende vers l'infini
 
(c'est un résultat que j'avais en tete un matin en me réveillant, me demandez pas pourquoi je pense à des trucs pareils en dormant...)

et la question bidon : et si je veux pas de la norme infinie ? (toute réponse en plus d'une ligne sera ignorée)

A moi : montrer qu'il n'existe pas de matrices A et B de Mn(K) telles que :
 
AB-BA=In

 
Spoiler !
 
A toi

Soit A une matrice réelle telle que  A+tA soit nilpotente, que peut on en déduire de A ? (une petite question ouverte histoire de... )

t'es sûr que c'est de A + tA = (t+1)A qu'il s'agit ?

t pour la transposée  désolé...
edit: lol vient de comprendre...  

 
Je me disais bien que j'ecrivais n'importe quoi

ouais... j'espère que t'as pas regardé dans le monier (c'est l'un des seuls exercices que j'ai retenu... parce qu que je trouve qu'il est malin  et très con à al fois )

à toi !

 
edit : grillé. c'est une consequence du resultat de sylvainmn.