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Auteur Sujet :

Fil maths taupins.

n°1074343
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 15:39:32  profilanswer
 

Reprise du message précédent :
 

Spoiler :

Je propose Card G <= 2^n

Message cité 1 fois
mood
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Posté le 28-05-2007 à 15:39:32  profilanswer
 

n°1074418
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 16:19:49  profilanswer
 

Exercice X (difficile)

Citation :

Caractériser les polynômes P tels que : Pour tout A dans Mn(C), (P(A) = 0) => (tr(A) est dans Z)

Message cité 2 fois
n°1074451
nawker
vent d'est
Posté le 28-05-2007 à 16:29:36  profilanswer
 

Dans un oral, je partirais sur des polynomes annulateurs de projecteurs (et assimilés) histoire de raconter des trucs...

Calamity11 a écrit :

Spoiler :

Je propose Card G <= 2^n



Spoiler :

je me retrouve avec une égalité en dimension 2 et 3. en dimension supérieur j'ai la flemme, les matrices de Gln(C) diagonale avec des diagonales à base de +/-1 forment un sous groupe de Gln(C) vérifiant la propriété en question et ont 2^n éléments. Donc ça devient du au moins 2^n. Je prendrais le risque d'affirmer qu'il n'y a que ceux là et de proposer une ébauche de preuve : si dans G il y a M qui a des éléments hors de sa diagonales, avec det(M)=!0 et M²=I tu as une série de condition sur ses coefficients, et pour chaque M j'espère trouver une matrice diagonale suscité telle que MD=M' et M'² =!I

 

ça fait beaucoup de si ça...


Message édité par nawker le 28-05-2007 à 16:37:47

---------------
"genre il voulait 2 coktail avec du cidre qui valait 2€, y'en avait plus mais il restait un coktail avec du "vin" au même prix, le mec voulait pas de ce cocktail...j'ai réussi à lui faire accepter en lui donnant en plus un morceau de camembert" Gypssix
n°1074561
koxinga
wanderlust
Posté le 28-05-2007 à 17:04:43  profilanswer
 

Les matrices de G sont des symétries. Puisque leur composées sont aussi des symétries, elles ont les même axes, donc sont diagonales dans la même base. Dans cette base, elles ont toute la forme +/-1 sur la diagonale et 0 ailleurs. Il y en a donc 2^n au plus.  
 
Pipo-stayle :sol:

Message cité 1 fois
n°1074573
nawker
vent d'est
Posté le 28-05-2007 à 17:08:42  profilanswer
 

koxinga a écrit :

Les matrices de G sont des symétries. Puisque leur composées sont aussi des symétries, elles ont les même axes, donc sont diagonales dans la même base. Dans cette base, elles ont toute la forme +/-1 sur la diagonale et 0 ailleurs. Il y en a donc 2^n au plus.  
 
Pipo-stayle :sol:


donc en gros ce que je raconte quoi :o


---------------
"genre il voulait 2 coktail avec du cidre qui valait 2€, y'en avait plus mais il restait un coktail avec du "vin" au même prix, le mec voulait pas de ce cocktail...j'ai réussi à lui faire accepter en lui donnant en plus un morceau de camembert" Gypssix
n°1074582
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 17:10:11  profilanswer
 

moi j'aurais essayé de le faire par récurrence en raisonnant par blocs... mais bon, à tous les coups, ce sera jamais çà...

 

[edit cf.ci-dessous] ah, j'avais oublié qu'elles commutaient...


Message édité par ishamael666 le 28-05-2007 à 17:25:54
n°1074609
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 17:16:18  profilanswer
 

Bah elles sont simultanément diagonalisables vu qu'elles commutent.
Donc on se fixe une base de diagonalisation simultanée et dans cette base elles n'ont que des 1 et des -1 sur la diagonale, d'où le 2^n éléments au plus.

Message cité 1 fois
n°1074634
koxinga
wanderlust
Posté le 28-05-2007 à 17:29:45  profilanswer
 

Calamity11 a écrit :

Bah elles sont simultanément diagonalisables vu qu'elles commutent.
Donc on se fixe une base de diagonalisation simultanée et dans cette base elles n'ont que des 1 et des -1 sur la diagonale, d'où le 2^n éléments au plus.


Tu es troisième sur le coup :o

Message cité 1 fois
n°1074637
nawker
vent d'est
Posté le 28-05-2007 à 17:31:37  profilanswer
 

plus on est de fous, plus on rit :o


---------------
"genre il voulait 2 coktail avec du cidre qui valait 2€, y'en avait plus mais il restait un coktail avec du "vin" au même prix, le mec voulait pas de ce cocktail...j'ai réussi à lui faire accepter en lui donnant en plus un morceau de camembert" Gypssix
n°1074642
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 17:33:49  profilanswer
 

sa solution est quand même plus propre...

 

Message cité 2 fois
mood
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Posté le 28-05-2007 à 17:33:49  profilanswer
 

n°1074661
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 17:39:51  profilanswer
 

koxinga a écrit :

Tu es troisième sur le coup :o


Non j'avais donné mon résultat en premier mais j'avais eu la flemme d'expliquer :kaola:  
 
Cela dit tu n'avais pas justifié la diagonalisation simultanée proprement :jap:


Message édité par Calamity11 le 28-05-2007 à 17:41:38
n°1074667
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 17:41:20  answer
 

Citation :

sa solution est quand même plus propre...


 
C'est la seule mathématiquement valable :o Et sinon c'est les fête des spoilers aujourd'hui ou quoi ?  
Il faut rappeler en rouge à chaque page que les spoilers sont obligatoires :fou: ?


Message édité par Profil supprimé le 28-05-2007 à 17:41:51
n°1074672
koxinga
wanderlust
Posté le 28-05-2007 à 17:42:15  profilanswer
 

ishamael666 a écrit :

sa solution est quand même plus propre...


Surtout que j'ai regardé le sujet (quelle horreur  [:tinostar] ) et ils leur demandaient d'admettre la codiagonalisation des endomorphismes qui commutent. D'un seul coup c'est plus simple.

n°1074678
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 17:44:12  profilanswer
 

C'est pas très dur à démontrer non plus... :D

Message cité 1 fois
Message édité par ishamael666 le 28-05-2007 à 17:44:30
n°1074682
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 17:45:07  answer
 

ishamael666 a écrit :

C'est pas très dur à démontrer non plus... :D


 
Et je sais pas pour vous, mais dans mon bouquin c'est clairement au programme.

n°1074689
double cli​c
Why so serious?
Posté le 28-05-2007 à 17:47:03  profilanswer
 


un jour tu comprendras que les bouquins ne se restreignent jamais au contenu du programme.

Message cité 1 fois

---------------
Tell me why all the clowns have gone.
n°1074690
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 17:47:14  profilanswer
 

en PC c'est pas vraiment au programme... mais en MP il me semble que c'est au programme... dans le MONIER PC, ca y'est en tout cas... ;)

 

et vu que selon jason PC << MP ..; pour vous, c'est trivial :D


Message édité par ishamael666 le 28-05-2007 à 17:48:14
n°1074695
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 17:48:11  answer
 

koxinga a écrit :

Spoiler :

On a envie de trouver une suite zn de module sqrt(n) ou moins. Il s'agit donc d'en trouver une qui fonctionne :
 
Après un dessin et une tentative infructueuse de formaliser une spirale, solution plus intuitive mais plus chiante, je pose :  
zn=k*e^(2i*pi*m/(2k+1)) si n=k²+m   (on a 0<m<2k+1, et l'écriture est bien unique)
 
En gros, on fait des cercles concentriques et on met suffisamment de points dessus pour que le module de zn reste inférieur à sqrt(n).
 
Reste à vérifier que les points sont bien espacés : aucun problème pour les points de deux cercles différents, la distance entre ces cercles vaut un. Les deux points d'un même cercle les plus proches sont ceux côte à côte donc on peut se restreindre à ceux là :
 
|z_n-z_{n+1}| = k|e^{2i*pi*m/(2k+1)}-e^{2i*pi*(m+1)/(2k+1)}|
                        =k|2i*sin(pi/(2k+1))|
                        =2k*sin(pi/(2k+1))  
                        >=4k/(2k+1)                                                  car sur [0;pi/2], sin(x)>=2x/pi
                        >=1
 
Donc tout marche bien
 
|zn|²=k²<=n, d'où
sum (|zn|^(-2)) >= sum(1/n) -> +infty
 
 
pour les réels, par contre, si on a une suite qui vérifie les hypothèses : en dessinant la droite des réels, on peut dessiner chaque point avec un segment de longueur 1/2 de chaque côté. Il ne peut donc y en avoir qu'au plus 2n+1 de module <=n. Pour une somme d'éléments positifs, on peut les réorganiser comme on veut, cela ne change pas la convergence et la valeur de la somme, donc on peut supposer que zn est telle que |zn| soit croissant. Alors les éléments vérifient |z_{2n+2}|> n, soit |z_n| >E(n/2)-1>=(n-3)/2, ce qui reste vrai pour les n impairs, par monotonie.  
 
d'ou sum(|z_n|^{-2})<= sum 4/(n-3)², qui CV -> il n'existe pas de suite réelle satisfaisant aux hypothèses.
 
 
Voili, voilou, en espérant ne pas avoir dit de bêtises :o Je ne pensais pas que ça allait donner un si gros pavé, c'est assez évident en faisant un dessin ...



 
Yep c'est ça. Effectivement tout est dans le dessin. :)

n°1074699
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 17:49:54  profilanswer
 

jason95 a écrit :

c'est surtout un exo ultra classique qui tombe souvent à l'oral sous diverses formes :o  
 
Alors tu me raconteras si l'année prochaine t'as ca aux oraux et que tu dis à l'examinateur que tu veux pas expliquer parceque c'est "au programme" [:itm]


Euh c'est même plus un exo classique, c'est un truc tu dis à l'examinateur "ça commute DONC ça se diagonalise simultanément" et là il te demande de détailler seulement s'il a envie de te faire chier :D


Message édité par Calamity11 le 28-05-2007 à 17:50:40
n°1074712
koxinga
wanderlust
Posté le 28-05-2007 à 17:52:37  profilanswer
 

Calamity11 a écrit :

Euh c'est même plus un exo classique, c'est un truc tu dis à l'examinateur "ça commute DONC ça se diagonalise simultanément" et là il te demande de détailler seulement s'il a envie de te faire chier :D


Voilà :jap:
 
Et à l'ENS, même à l'écrit, je pense que ça passe si tu ne dis pas trop de merde à côté

n°1074735
double cli​c
Why so serious?
Posté le 28-05-2007 à 17:58:11  profilanswer
 

ishamael666 a écrit :

en PC c'est pas vraiment au programme... mais en MP il me semble que c'est au programme... dans le MONIER PC, ca y'est en tout cas... ;)


en MP ce n'est pas au programme
 
http://minesponts.scei-concours.or [...] enonce.pdf
 
c'est bien considéré comme un résultat admis et non pas un rappel de cours.


---------------
Tell me why all the clowns have gone.
n°1074743
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 17:59:51  answer
 

double clic a écrit :

un jour tu comprendras que les bouquins ne se restreignent jamais au contenu du programme.


 
Le mien est un bouquin qui dit clairement ce qui est et ce qui n'est pas au nouveau programme [:dawa]. Tu es frustré ou c'est dans ta nature de parler comme yoda ?  :p  
 
 
 

jason95 a écrit :

c'est surtout un exo ultra classique qui tombe souvent à l'oral sous diverses formes :o  
 
Alors tu me raconteras si l'année prochaine t'as ca aux oraux et que tu dis à l'examinateur que tu veux pas expliquer parceque c'est "au programme" [:itm]


 
Bah si on me demande de démontrer un résultat, même de cours, je le fait (ça arrive souvent d'ailleurs).

Spoiler :


En l'occurence on raisonne par récurrence : on suppose que l'un des endos n'est pas une homothétie, on sépare
E en deux et on applique l'hypothèse.


 

n°1074751
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 18:03:03  answer
 

Je veux bien ta démo alors :)

n°1074757
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 18:06:09  profilanswer
 

euh... vous parlez de quoi là ? :??:
par bloc pour la codiagonalisation ? :??:

 

c'est pas une récurrence ??


Message édité par ishamael666 le 28-05-2007 à 18:19:04
n°1074764
double cli​c
Why so serious?
Posté le 28-05-2007 à 18:10:17  profilanswer
 


 
nouveau programme qui date de quand ? et si j'étais toi je réviserais mes starwars, yoda il parle pas comme ça :o
 

Citation :

Bah si on me demande de démontrer un résultat, même de cours, je le fait (ça arrive souvent d'ailleurs).


 
à l'oral peut etre, mais à l'écrit si tu utilises du HP, t'as pas les points et c'est tout :/


Message édité par double clic le 28-05-2007 à 18:10:31

---------------
Tell me why all the clowns have gone.
n°1074780
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 18:16:27  answer
 

jason95 a écrit :

Tu montres que les SEP de A sont stables par B, ensuite tu diagonalises A.
 
Dans la base de diagonalisation de A, A prends la forme d'homothetie par blocs(et donc invariante par changement de base) et B est diagonale pas blocs.
 
Il est clair que chaque blocs de B est diagonalisable (avec les polynomes ca se voit bien) donc tu diagonalise chacun d'entre eux et ceci ne va pas affecté la forme de A.
 
et c'est fini :o


 
non  :heink:  
 
 
 
 
 
 

n°1074805
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 18:25:01  answer
 

Il est pas forcément scindé à racines simples :heink:. Il est scindé avec les ordres algébriques des racines égaux aux dimensions des sous espaces propres non ?

n°1074814
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 18:29:08  answer
 

Ah désolé je croyais que tu parlais du polynôme caractéristique :o

n°1074830
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 18:39:13  profilanswer
 

De toute façons tu prends un polynôme scindé simple qui annule B, il annule tous les blocs et c'est gagné (tain le TIPE ça fait trop chier :/)(surtout quand c'est de la chimie :/)

n°1074845
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 18:47:20  profilanswer
 

jason95 a écrit :

J'ai le droit de prendre le plus petit si j'ai envie [:cosmoschtroumpf]


Tout est petit chez toi :o

n°1074848
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 28-05-2007 à 18:48:42  profilanswer
 

il est censé être gros ... [:cupra]

Message cité 1 fois
n°1074849
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 18:49:13  profilanswer
 

ishamael666 a écrit :

il est censé être gros ... [:cupra]


Ca l'empêche pas d'en avoir une petite :o

Message cité 1 fois
n°1074859
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 18:58:53  answer
 

Calamity11 a écrit :

Ca l'empêche pas d'en avoir une petite :o


 
C'est logique, il est complexé par la taille donc mange beaucoup donc est gros [:neriki]
 
 :whistle:
 
Sinon c'est la prépa, dans ma classe y'a pas mal de filles qui ont doublé de volume cette année  :sweat:


Message édité par Profil supprimé le 28-05-2007 à 19:00:23
n°1074861
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 19:00:57  profilanswer
 

Si c'est au niveau de la poitrine c'est pas mal :o

Message cité 1 fois
n°1074867
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 19:05:07  answer
 

Calamity11 a écrit :

Si c'est au niveau de la poitrine c'est pas mal :o


 
Dans ma classe c'est malheureusement au niveau des fessiers, du ventre, des joues et des boutons  [:bap2703].

Message cité 1 fois
n°1074870
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 19:07:41  answer
 


 
C'est pas forcément mauvais non plus, enfin faut voir l'état de départ :o

Message cité 1 fois
n°1074873
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 19:08:30  answer
 


 
Elles étaient déja irrécupérables :o Mais bon tu fais peut être partie de ces gens qui aiment les formes bbien marquées :D


Message édité par Profil supprimé le 28-05-2007 à 19:09:32
n°1074881
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 19:14:14  answer
 

Recentrage, c'est le topic maths ici.
 
 
 

Calamity11 a écrit :


 
Exercice X (difficile)

Citation :

Caractériser les polynômes P tels que : Pour tout A dans Mn(C), (P(A) = 0) => (tr(A) est dans Z)



n°1074903
nawker
vent d'est
Posté le 28-05-2007 à 19:24:31  profilanswer
 

ishamael666 a écrit :

sa solution est quand même plus propre...


en même temps la plupart de ses solutions comportent des codiagonalisation ou cotrigonalisation. Mais je maintient qu'à l'oral c'est très probablement la solution de koxinga qui passerait le mieux, elle est rapide, elle n'utilise pas de gros mots, l'examinateur peut poser des questions pour préciser le coup, le canididat ne devrait pas s'embourber dans des trucs trop compliqués :spamafote:


---------------
"genre il voulait 2 coktail avec du cidre qui valait 2€, y'en avait plus mais il restait un coktail avec du "vin" au même prix, le mec voulait pas de ce cocktail...j'ai réussi à lui faire accepter en lui donnant en plus un morceau de camembert" Gypssix
n°1074910
Profil sup​primé
Posté le 28-05-2007 à 19:26:36  answer
 

Spoiler :

Tout d'abord, les polynomes constants non nuls de C[X] conviennent. Supposons P non constant. Soit z une racine complexe de P. M la matrice qui a z pour coefficient 1,1 et 0 ailleurs. P(M) = 0 donc z = tr(M) est dans Z. Finalement P est scindé dans Z[X].
 
Si P est scindé dans Z[X], et M telle que P(M) = 0, on obtient en trigonalisant M que chaque élément de sa diagonale est racine de P, donc dans Z.  
 
Finalement les polynomes cherchés sont les polynômes scindés dans Z[X] et les polynômes constants non nuls de C[X].

Message cité 2 fois
Message édité par Profil supprimé le 28-05-2007 à 19:33:34
n°1074943
Calamity11
Pseudo à numéro malgré moi
Posté le 28-05-2007 à 19:45:23  profilanswer
 


Spoiler :

Tu supposes P(0)=0

Message cité 2 fois
mood
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Posté le   profilanswer
 

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