Reprise du message précédent :
 
 
Ok je sors

bah non, tu avais annoncé que ton post ne servait à rien

Je crois comprendre pourquoi leeloo dit ça J'ai eu cet exo avec (je crois) l'hypothèse fof=f en plus. Et on montre que c'est un projecteur orthogonal.
 
Ps : c'est marrant de voir le cortège de leeloo la suivre partout

 
Au choix :
Soit E un evn. Mq si la boule unité fermée est compacte, alors E est de dimension finie.
 
Mq l'ensemble des polynômes scindés à racines simples de degré n est un ouvert de Rn[X].
 
 

Autrement appelé théorème de Riesz

Faut pas le dire, ça faisait exo innocent Je me rends compte que ça doit être très connu et vu en cours en fait...

Euh on a vu un théorème de Riesz en cours, mais il parlait pas de boule C'était sur les espaces euclidiens

Il y en a un deuxième, qui dit que dans un espace de Hilbert, pour toute forme linéaire continue f, il existe y€E tel que f = <.,y>

(ca marche donc a fortiori dans un espace euclidien ...)

@kissin : c'est vraiment une astuce de cochon je trouve

celui là on précise "riesz-frechet" je crois.

par contraposée ?

pour le second

évidement ça demande de préciser quelle topologie on utilise (i.e. qui sont les ouverts), mais avec celle qui proviennent de la norme sur R^n ça passe.
(sinon topologie discrète, tous les ensembles sont ouvert, et toc )

fake, j'ai eu des exos avec adjoint à mes oraux (ou alors le programme de PC est en train de devenir {symétrique réelle <=>diagonalisable, continuité d'une intégrale/série à paramètre, dérivabilité d'une intégrale/série à parametre, fubini} ...

 
L'adjoint est HP en PC, je demande une démo sans l'adjoint !

T'es sûr de ça?    
La fonction nulle m'a pas trop l'air de vérifier ça.

Donc pour l'exo de Kissin sur les polynômes je pensais:

 
De là à ce que ce soit drôle
 

Oui Fixio c'est la démo naturelle (du dessin).

Que veux-tu dire par là? En fait j'avais déjà réfléchi à cet exo avec un mec de ma classe, on avait essayé un truc comme ça avec une fonction qui associerait au polynôme ses racines, mais la continuité de cette application, c'est en effet un problème, et j'aimerais bien savoir ce que tu entends par localement continue.

Je voulais dire normée, désolé.

 
De quoi tu parles? De base orthonormée?

Sylvain, c'est dans Rn[X] (sinon il n'y a plus de problème...). Donc tous les polynômes ne sont pas scindés.

 
Je voulais dire qu'autour d'un polynôme scindé à racines simples (de degré n ou pas), si on bouge un peu les coefficients, on obtient encore un scindé etc.   Localement est mal employé, c'était pour dire qu'on se plaçait déjà dans l'ensemble en question.

 
Le terme de base n'a pas vraiment de sens en dimension infinie, puisque une base est telle que tu peux écrire tout élément de l'espace comme combinaison linéaire finie des éléments de la base. Il faut que tu construises "à la main" ta famille.

 
C'est quoi ces PCSI qui parlent de Borel Lebesgue  

Trouvé !

Le programme a changé entre ta 3/2 et ta 5/2 je crois.
Cela dit toute méthode utilisant l'adjoint est équivalente à une méthode avec la transposée de la matrice associée dans une bon donc bon on adapte un tout petit peu et ça devient au programme.

C'est pas bien méchant

Bon puisque personne ne poste d'exo et que j'ai trouvé - malgré quelques difficultés de rédaction - un des deux exos, j'enchaîne :
 

On peut parler de base orthonormale (ou base hilbertienne) dans un espace de dimension infinie ( s'il est de Hilbert, i.e. complet et avec un produit scalaire). On a un théorème d'existence, par le même procédé d'orthonormalisation de Schmidt.

Par contre, si (ei)i est une base orthonormale de E, on n'a pas que tout élément de E peut s'écrire comme combinaison linéaire des (ei), juste que vect(ei) est dense dans E (si on y réfléchit, c'est assez logique, cela sert à inclure les "sommes infinies", qui ne sont que des limites de sommes finies)

Ca me semble la solution la meilleure

Pas dans notre poly, et ça m'a surpris quand je l'ai lu, d'où ma remarque.

 
Pourtant le procédé de schmidt ne peut pas faire plus que d'orthonormaliser une famille libre dénombrable non ?

 
Si
 
Je dois avouer que je ne sais pas trop comment cela se passe pour un espace non séparable (qui n'a pas de famille dénombrable dense) mais wikipedia et mon cours sont d'accord pour dire que ça marche.

En fait je sais qui c'est il était dans mon lycée
 
Sinon je poste un exo niveau PC comme le dernier fait appel aux Banach HP en PC :
 
Exo niveau spé (difficulté moyenne)

 
elle est inversible d'inverse continue donc ça marche.

Inversible dans quoi ?

elle est bijective de ce sous ensemble de R^k (à savoir qu'il faut faire gaffe à ne pas prendre plusieurs fois le même éléments, une manière de formaliser cela serait par exemple de quotienter R_k par egal à une permutation près) à ce sous ensemble des polynomes de degrès exactement k

edit : enfin bref, toute cette histoire un peu compliquée de fonction c'est une manière de formaliser un peu le fait que Rn[X] et R^{n+1} sont homéomorphe. à fortiori, ils sont localement homéomorphe (i.e. il existe une fonction continue d'inverse continue de l'un sur l'autre)

un peu de la même façon qu'avec un ensemble dénombrable, mais en plus moche, on garde la projection sur des convexe fermé (un gros mot, souvent ce sont des droites au sens vectoriel du terme),  on utilise alors toutes les droites qui ne sont pas liée (y en a une infinité non dénombrable) on peut alors projeter sur chacune d'entre elle pour avoir les coefficients dans cette "base". Mais je doute que ça serve souvent, les espaces fonctionnels que je connais étant tous séparables.

Bon, j'ai le droit de poster un exo vu que j'ai répondu à celui de Kissin ce matin.

Construire une suite (zn) d'éléments de C telle que sum (/zn/^(-2)) diverge et telle que /zp-zq/>=1 pour tout entiers p,q. Montrer que cette construction n'est pas possible pour une suite de réels.
(désolé pour la notation, les slashs sont des barres de modules, je ne trouve pas de traits verticaux sur mon mac   ).