Autrement dit, N est supérieure à la norme subordonnée à ||.||.
 
Soit A dans un groupe inclus dans B.
 
Et X <> 0 tel que que ||AX||/||X|| < 1/2  Alors  
 
||A^(-1)AX||/||AX||=||X||/||AX|| > 2 Donc N(A^-1)>2 Contradiction
 
D'ailleurs cette boule ne contient même pas de groupe trivial.
 

 
Ben dans le cas contraire N(A) >= 1/2.
 

je crois que j'ai trouvé...

....un début   ...
mais bon...j'ai pas trouvé super easy... pour moi, easy... c'est les exos triviaux...  

Soit G un groupe multiplicatif dans B
Soit A€G tq A inversible... On veut montrer que A = In
la norme subordonnée de A est bornée
donc le spectre de A aussi...
on a un groupe multiplicatif donc par elevation à la puissance, A^n €G donc en faisant tendre à l'infini, on a sp(A) = IU (complexes de modules un) car sinon, lim A^n ne serait pas dans G... (determinant étant une forme multilinéaire, toussa toussa)

Reste à montrer que c'est diago et que toutes les valeurs propres sont égales à 1  

Soit P un polynome non constant, soit z un nombre complexe qui n'est pas reel. alors le polynome Q=P-z n'est pas constant, donc il admet une racine dasn C, et donc il existe x dans C tel que P(x)=z
Donc si P n'est pas constant, P(C) n'est pas inclus dans R
Soit P un polynome constant tel que P(C)=R
alors P est un scalaire reel.
 
Donc l'ensemble des P tel que P(C) est inclus dans R est l'ensemble des polynomes constants a coeff reels.

En appliquant l'égalité aux ei on trouve que N(ei)<=1 (N=norme )
En prenant x orthogonal à tous les ei on a x=0 donc n=dim E et c'est une base.
En prenant x orthogonal à (e1,...,e(n-1)) on a N(x)=<x,en> <=N(x)N(en) par CS donc N(en)>=1 donc N(en)=1 de même pour les autres.

si B = (e1,..,en) n'est pas une base son orthogonal n'est pas de dimension nulle et on peut trouver une vecteur x orthogonal à B mais alors x|x = 0,contradiction, donc B est une base de E.
 
Pour x,y dans E en écrivant (x+y|x+y)= somme sur i des (x+y|ei)=^2 on obtient :
 
(x|y) = somme sur i des (x|ei)(y|ei)
 
en prenant un vecteur x orthogonal à tous les ei sauf à ej on obtient (x|ej) = (x|ej)(ej|ej) soit (ej|ej) =1.
 
Les vecteurs de B sont donc normés. et écrévant 1 = 1 + somme i différent de j des (ej|ei)^2 on voit que ej est orthogonal a tous les autres ei, d'ou le résultat.
 
 

Juste pour la Q1 E(x) constitue-t-ele un contre exemple ?

T'es gentil mais en PCSI je racontais pas ce genre de choses

Au fait tu as compris ton erreur pour l'exo que j'avais posé ?

Mais genre

Pourtant tu as démontré un faux résultat et insinué que l'énoncé était pourri

soit e>0. f est UC, donc il existe a tel que |x-y|<a => |f(x)-f(y)|<e
soit y>max(1/a,1)
alors 1/y<a et 1/y<1
lim(n/y) = 0 donc il existe N tel que pour tout n>N, |f(n/y)|<e
pour tout x>N, il existe n tel que n/y<x<(n+1)/y et n>N
alors |f(x)|<2*e
donc lim f(x) =0
 
2) soit f la fonction qui, si il existe k tel que x=pi^k, alors f(x)=1, sinon f(x)=0 est un contre exemple

Le problème c'est que tu y crois vraiment

Pourquoi tu t'embêtes avec des 1/y ?