a) Trivial b) Non

 
tu t'es gourré nan ? le commutant d'une partie irréductible d'un ev complexe est réduite aux homothéties...
dans le cas réel uniquement...ca ne marche pas... il me semble  

Oui mais pas par a2 non ?
 

Pour la a), j'esayerais de le faire avec des matrices symétriques réelles... c'est plutôt facile comme çà
Pour la b), je dirais oui car on est dans C mais le truc c'est que je sais même plus le redémontrer donc... bah, si j'essayais de réfléchir aussi..    

[edit] surtout que c'est vraiment XMP2003 math 2 partie 1... et que je l'ai déjà fait, la honte quoi...

edit 3 : je comprends pourquoi j'arrive pas à le démontrer... vu que c'est pas XMP2003 la question est différente lol ²

a) Un endo commutant avec tous a son sous espace propre associé à une de ses valeurs propres (il en existe) stable par chaque Ak donc égale à X, il est multiple de l'identité.
b) Non.
Exemple :
X=R^2
A1 et A2 :
 
1 0
0 -1
et
1 1
0 1
 
En notant B
a b
c d
 
Si A1B=BA1 alors c=b=0 : B diagonale a,d
Si A2B=BA2 alors a=d
 
Donc B multiple de I.
Pourtant la droite dirigée par le vecteur (1 0) est stable par A1 et A2

 
Ouaip Mais on peut donner facilement le même contre exemple en dimension quelconque
 
E1,1 ,
E1,1+..+E1,n  
Et toutes les E1,1 + Ei,j  avec i,j >1  
 
Ces matrices stabilisent vect(e1) et si B commute avec elles B stabilise vect(e1) et vect(e2,..en) = ker E1,1. Puis comme B commute avec les E1,1 + Ei,j la restriction de B à vect(e2,..en) est multiple scalaire de In-1 puis le fait que B commute avec E1,1+..+E1,n montre finalement que B est multiple scalaire de In

Au hasard, j'étudierais le log

C'est un début oui. Ca va donner la limite facilement par la méthode des rectangles, et on aura un équivalent du log de la suite, problème pas le droit de passer à l'exponentielle, donc il faut aller plus loin dans le développement et là ça devient chiant.

je trouve +oo pour la limite du log
mais je crois que j'ai fait de la merde à un moment... j'ai utilisé une somme de riemann pour me simplifier la vie
ah mais je suis trop à l'ouest aujourd'hui...

 
un=exp(ln((2^2*3^3*...*n^n)^(4/n²))) = exp(4/n somme k/n ln(k/n) ) exp(4ln(n)/n² n(n+1)/2)
 
=exp(4/n somme k/n ln(k/n))exp(2ln(n))exp(2ln(n)/n))~n²exp(4 xln(x) {0..1})
 

ie, après clcul de l'intégrale :
 
n²/e²
 

Je trouve n²/e

sur son intérieur c'est pas possible déjà... à démontrer surement par l'absurde...

Après avec l'adhérence...euh... mouais je vais voir...

Supposont qu'il existe deux ouverts A et B tels que AUB=IR et AinterB soit vide
Comme ce sont deux ouverts, on a A inter Adh(B) et B inter Adh(A) qui sont vides
Soient a dans A et b dans B
on peut supposer, quitte a echanger, que a<b
soit z=sup(A inter [a,b])
z appartient a Adh(A) donc z n'est pas dans B
si z n'est pas dans A, on a alors z qui n'est pas dans IR, ce qui est absurde car IR est un intervalle
si z est dans A, z n'est pas dans Adh(B) donc il existe z1 tel que z<z1<y et z1 qui n'apprtient pas a B
or x<z1<y donc z1 n'est pas dans A non plus, ce qui est aussi absurde
 
donc IR ne peut pas etre une reunion de deux ouverts
 
ps : j'avais deja vu  cet exo. je pense pas que j'aurais trouvé seul.

idbe aurait surement dit que je ne suis qu'une loque mais bon  

 
Déja eu en DS en trois questions :S Ca doit pas être façile sans rien
 

t'as torché ?

Pourquoi la base doit-elle être orthonormée obtenue par Gram-Schmidt ? J'ai un truc qui semble marcher pour toute base orthogonale (tant qu'elle est échelonnée, c'est peut-être là le Gram-Schmidt)...