ya pas un truc avec la transposée ?

non y'a une astuce plus simple

AB=A+B
ABA=A²+BA => BA=ABA-A²
AAB=A²+AB => AB=AAB-A²
=> BA-AB=ABA-AAB
<=> BA-AB=A(BA-AB)
=> A=I ou BA=AB ou A=(BA-AB)=A^n pour tout n
#A=I => B=B+I => contradiction  
#A=(BA-AB)=A^n pour tout n
De même on montre B=B^n
si A ou B sont nulles alors AB=BA sinon
A & B diagonales composées uniquement de 1, donc elles commutent or A=BA-AB => contradiction.
D'où AB=BA

J'ai l'impression que tout ce que tu as écrit est faux, par exemple BA-AB=A(BA-AB) permet juste de conclure que la restriction de A à im BA-AB est l'identité, et le fait que A^k =A pour tout k >0 (ben oui sinon c'est l'identité, donc ton "pour tout k" est ambigü)  de permet pas de conclure que A est diagonale, mais seulement que A est un projecteur.

ouais c'est vrai en fait c'est plus compliqué je viens de me rendre compte
On a AB-BA=A(AB-BA) soit M=AM
je vois pas comment être rigoureux pour dire que
M=0, A=I M<>A, ou M=A avec A projecteur (peut être qu'il y en a d'autres ?)
edit : et si A est un projecteur, tu diagonalises facilement avec des 1 et des 0.

 
Pas forcément dans la même base que B Réponds moi, tu es en quelle classe ?

PT, la filière des dieux des maths
on s'en fou de la diagonalisation, d'ailleurs si A=A²
AB=AAB=A(A+B)=A+AB => A=0

Cas où 1 n'est pas valeur propre de B :
B-I est inversible
AB=A+B donc A(B-I)=B ie. A=B(B-I)^(-1)
B=B-I + I commute avec (B-I)^(-1) et donc avec A
Cas où 1 est valeur propre de B :
Il existe X non nul tel que BX=X.
On a (AB)X=AX=(A+B)X=AX+BX=AX+X donc X = 0 :
ce cas est impossible.

AB=A+B <=> AB-A-B + Id = Id
<=> (A-Id)(B-Id)=Id
<=>(B-Id)(A-Id)=Id
<=>BA=A+B

1/ soit n tel que A^n = B^n =0 , alors (AB)^n=(A^n)(B^n)=0 et (A+B) ^2n est combinaison de produits A^kB^(2n-k), avec k ou 2n-k >=n car k + 2n-k = 2n, donc nuls, et donc (A+B) ^2n=0.
 
 
2/ Eij^2=0 et Eii − Ejj=(Eii+Eji -Eij -Ejj) +Eij-Eji avec (Eii+Eji -Eij -Ejj) , Eij et Eji de carrés nuls.
 
 
3/L'ensemble T des matrices de trace nulle, qui est classiquement engendré par Eij et E11-Eii est inclus dans N d'après 2/.
Comme la trace d'une matrice nilpotente est nulle (trigonalisation) , N est réciproquement inclus dans T, d'ou le résultat.
 

Ca montre aussi (et on aurait donc pu restreindre es hypothèses) que N est engendré par les matrices de carré nul.

Gln(K) est un groupe

Eii-Ejj on a bien 1,-1 et que des zeros sur la diagonale, à moins qu'on parle d'autre chose, à ce moment la comment ça peut être nilpotent    

C'est pas nilpotent mais ça s'écrit comme somme de nilpotents.

Oui je suis un noob