Introduire la suite v_n=2^{-n}u_n  

u(1) = 1  
u(n+1) = 2*u(n) + (1/n)  
On divise la relation par 2^(n+1), on obtient
v(n+1)-v(n)=1/(n*2^(n+1)), relation que l'on somme ensuite de p=1 à N-1
 
On obtient : V(N)= somme de 1 à N-1 de  1/(n*2^(n+1)    + 1.
 
u(n)=somme sur k de 1 à n-1 de 2^(n--1-k)/k  + 2^n
 

 
Poser u=tn dans lintégrale, le but est d'utiliser le theoreme de convergence dominée, mais l'intégrale est de 0 à n...
Mais cette derniere est égale a lint de 0 à oo de fn, ou fn=f(t/n)*g(t) sur [0,n] et 0 sur ]n,oo[.On peut alors appliquer le théoreme de convergence dominée.
 
Réopnse : f(0) * intégrale de 0 ) +oo de g(t)dt

Oui c'est le bon départ, ensuite tu dis que, si A n'est pas nilpotente, alors f posses une infinité de valeurs propres (IN* en fait, ce qui est absurde)
Je te laisse chercher la réciproque.
 
Si tu avais un exio a me proposer faisable par un psi/pc ce serait cool.
Merci

Enfin la reciproque
Ap'(a)=p(A)m-mp(A)
faut pas abuser vous êtes en prépa qd même! et cet exo il est plus facile que les spoilers

On développe avec le binôme, etg ca revient a montrer que le determinant de Vandermonde de taille n+1 de n+1 scalaires deux a deux distincts est non nul

Montrons que ce sont les applications de R dans R continues, strictement monotones, de limites infinies en +/- l'infini.
Si f est un homéomorphisme de R dans R non strictement monotone , on peut trouver x<y<z dans E tels que par exemple on ait :
 
f(x)<=f(y) et f(z)<=f(y) . Si deux de ces images sont égales, on obtient une contradiction du fait que f est bijective,
 
sinon, on a f(x)<f(y) et f(z)<f(y) . Le théorème des valeurs intermédiaires montre alors qu'un élément de  
 
]f(x),f(y)[ inter ]f(z),f(y)[  (qui est un intervalle ouvert non vide) est atteint sur ]x,y[ et sur ]y,z[, donc en deux endroits  
 
différents ce qui contredit le fait que f est bijective, finalement f est strictement monotone.  
 
Ainsi f ne peut être borné ni en -infini ni en + infini, par monotonie f admet des limites infinies en ces bornes.  
 
 
 
Réciproquement soit f une application de R dans R strictement monotone et continue de limites infinies aux bornes de R.  
 
Cette application est bijective, montrons qu'elle est bicontinue. Pour cela on va montrer qu'elle est fermée, c'est a dit que d'un
 
fermé elle donne une image fermée. Soit donc F un fermé, et f(Xn) une suite de f(F) où Xn une suite d'antécédents des termes  
 
dans F. On suppose que cette suite tend vers un réel l. Si Xn n'est pas bornée, on prend une suite extraite qui tend vers +inf par  
 
exemple ce qui donne une suite extraite de f(Xn) tendant vers +/- inf , contradiction. Xn est donc bornée, ce qui permet d'en  
 
extraire une suite tendant vers un réel k. En prenant l'image de cette suite extraite, on voir que l=f(k) et l est biens dans f(F).
 
f(F) est donc fermé, et f est bien bicontinue. D'ou l'équivalence à montrer.  
 
(un peu long mais j'ai voulu être rigoureux).

Soit f un élément d'un sous groupe fini G du groupe des homéomorphismes de R dans R , p>=0 tel que f^p=Id.
 
On a vu que f était strictement monotone :  
 
cas 1:  f strictement croissante.
 
Si f n'est pas l'identité on peut trouver x dans R différent de f(x). Si x<f(x) alors f^(p-1)(x)<x en appliquant f^p qui est  
 
strictement croissante, d'autre part  x< f(x) et f(x)<f^2(x)  d'ou x< f^2(x) et par une récurrence immédiate x< f^(p-1)(x)
 
contradiction. On obtient une contradiction de la même manière en supposant f(x)<x. Ainsi f=Id.
 
Si f est strictement décroissante, f^2 est strictement croissante d'ou f^2 = Id.
 
Si G contient f,g strictement décroissantes , fg est strictement croissante d'ou fg=Id et f=g.
 
Donc G contient au plus deux éléments, et s'il en contient deux, l'élément g différent de e= Id vérifie g^2=Id .
 
Réciproquement un sous-groupe de la forme {Id} ou {Id,g} avec g^2 = Id  convient.
 
Les sous groupes cherchés sont donc {Id} et les sous groupes de la forme {Id,g} avec g^2=Id
 
On peut prendre par exemple g telle que g(x) = -1/2x si x<0 et g(x)= -2x si x>=0.  
 

J'ai pas l'impression qu'il y ait un moyen simple de caractériser les involutions continues de R dans R donc je pense que ta conclusion est bien celle attendue, vu notamment l'obscur verbe "décrire"

et en fait que les limites soient infinies n'intervient pas, faut juste la stricte monotonie...

Pour les involutions effectivement je ne vois pas que dire de plus. J'ai donné un exemple qui montre qu'il en existe des différentes de l'identité. Pour k>0 on pose f(x)=-kx pour x>0 et f(x) = -1/k * x pour x<=0 ; f convient.
 

oui mais j'ai l'impression qu'il y en a beaucoup plus que celles-là vu qu'il suffit d'être strictement décroissant et symétrique par rapport à la droite y=x

En effet ! Il suffit et il est nécessaire, donc on peut carrément dire que ce sont exactement les fonctions continues strictement décroissantes  de graphes symétriques par rapport à la droite d'équation y=x. On ne peut pas être plus précis vu qu'on ne peut expliciter autrement ces fonctions.

Cn,k est un entier pour tout n>=k

ça me rappelle quand j'avais demandé à mon prof s'il existe une démo par l'arithmétique qu pour tout n,k k!(n-k)! divise n!, ce à quoi il m'a dit que non

Bah si tu veux considérer des entiers relatifs ça change rien, si 0 intervient dans le produit c'est évident et sinon t'as un produit d'entier naturels non nuls consécutifs au signe près