Reprise du message précédent :

 
 
Bon, finalement, je re-change d'avis.
 
Pour définir une distribution équiprobable, il faut paramétrer la corde.
 
Choisir comme paramètres les deux coordonnées du centre de la corde est tout à fait valable.

 
   
 
Là on es d'accord  

et en pratique, ça donnerait quoi ? je propose que chacun trace 1000 cercles et 1000 cordes, et qu'on mesure tout ça

Et tu fais comment pour les tracer au hasard ?        

Je ne sais pas. Quelle est la probabilité que je choisisse une méthode plutôt qu'une autre, à chaque traçage de corde ?

Bien ta citation  
 
Je ne sais pas si toutes les méthodes ont été listées.
 
Je dirais que placer une règle au hasard sur une feuille revient à prendre au hasard 2 points sur le plan et à ne retenir que les cordes qui intersectent le disque tracé. C'est peut être une 5eme méthode pour construire les cordes.
 
Mais quelle est la probabilité qui en résulte euh, ça je ne saurais dire ça de tête immédiatement  

Ca me semble bien être une 5eme méthode mais je ne vois pas comment calculer la probabilité qu'une corde tracée comme ça corresponde aux critères
 
et donc je n'arrive pas à te répondre

Apparement quelqu'un l'a fait : http://www.lactamme.polytechnique. [...] splay.html
 
ça donne environ 1 sur 2 dans leur exemple (je sais pas comment ils ont calculé ça, mais ça dépend de la forme du plan sur lequel on choisi les points au hasard et de la taille de ce domaine plan par rapport au disque : plus le disque est grand par rapport au domaine plan, plus on favorise les cordes proche du centre et la probabilité d'avoir une corde supérieure au côté du triangle augmente)
 
edit : il n'y a pas de résultat de calcul dans leur exemple mais le résultat d'une simu numérique
 
Et ils choisissent un point au hasard puis un angle au hasard, ce qui n'est pas, je pense, équivalent à choisir 2 points au hasard sur le domaine plan (qui est limité)

 
 
Si, c'est équivalent dans un domaine circulaire.

 
Soit t le cote du triangle et c la longueur de la corde C. Soit O le centre du cercle
 
P(c>t) = P (c>t et O appartient a C) + P (c>t et O n'appartient pas a C)
 
P (c>t et O appartient a C) = P (O appartient a C) * P( C>t sachant que O appartient a C)
or P( C>t sachant que O appartient a C)=1
 
donc P(c>t) = P (c>t et O n'appartient pas a C) + P (O appartient a C)
 
Dans les differentes methodes que nous avons decrites, y compris la tienne, P (O appartient a C)=0, ce qui revient a dire que le probleme n'est pas change si on supprime le centre du cercle ( ou n'importe quel ensemble fini de points)
 
Cela dit, vu que l'equiprobabilite n'est pas une donnee du probleme, on peut tres bien prendre une repartition de corde ou on aurait 50% de diametres, ce qui changerait tout le probleme  

Tres bon ce topic, surtout pour juger les gens qui y participent.
- On reconnait bien la la rigueur de Svenn (et des suivants qui vont dans son sens).
- Philambert ne maitrise pas le debut de la definition d'une densite de probabilite et ne sait pas ce qu'est une mesure (au sens mathematique du terme). Il se trompe mais crois que Prozac se noie, alors que Prozac, pour qui sait le voir, a bien montre que lui avait connaissance des concepts necessaires a la comprehension du probleme. conclusion comme d'habitude: certains qui ne s'y connaissent pas en maths et devraient en etre conscient pensent avoir raison contre des gens qui ont vraiment etudie le domaine.
- Le Penseur Fou, tu me decois beaucoup. On avait deja bien vu que tu n'es pas du tout scientifique dans l'ame et que tu melanges allegrement raisonnement logique et analyse syntaxique d'une suite de proposition (par la, je veux dire que tu as tendance a faire des fautes logiques parce que tu raisonnes sur les mots et pas sur les concepts). Mais au moins, tu as d'habitude une certaine rigueur de raisonnement. La non seulement tu affirmes quelque chose de faux, mais tu n'arrives visiblement pas a comprendre que ton probleme est de donner un sens unique et choisi arbitrairement par toi a la question.

Le Penseur:
Rappelons que le probleme est de choisir une corde "au hasard". tu dis qu'il ne peut y avoir qu'une proba valable. Cela signifie donc qu'il n'y a pas plusieurs manieres de "choisir au hasard", ce qui est d'evidence faux.
 
Est-ce que oui ou non, tirer une longueur possible au hasard, et ensuite placer une corde de cette longueur est un choix de corde au hasard? Oui, de facon evidente, puisque le hasard entre en jeu.
Est-ce que placer 100 point sau hasard et tracer une corde passant par les deux points les plus proches du sommet A du triangle est un moyen de choisir une corde au hasard? oui.
Est-ce que lancer un de, ajouter l'age de ma grand mere, faire le tout modulo le dernier chiffre du code barre de mon paquet de BN, puis inverser ce chiffre et tracer une corde de longueur de ce nombre est une facon de choisir une corde au hasard? oui.
 
a moins que tu ne pretendes que les methodes que j'ai decrites (et Svenn avant moi) ne mettent pas en jeu le hasard.
 
Bref, le probleme, le faux paradoxe, vient comme il a ete dit maintes fois du fait que "choisir au hasard" n'est pas une proposition qui a un sens unique. Par consequent, il n'y a pas une reponse unique.
 
Et par consequent, il est absurde de dire comme tu le fais que "1/3 est la bonne reponse et les autres sont fausses".

 
Moi je maintiens que, quand aucune loi de probabilité n'est donnée, l'équiprobabilité est de mise. J'ai alors beaucoup de mal à imaginer des méthodes exotiques et équiprobables, mais j'imagine que, puisqu'il en existe au moins deux, il en existe sans doute une infinité.

Tiens, j'ai une autre méthode, je sais pas si elle a été donnée :
 
On définit un corde par
- Sa distance au centre.
- Son angle.
 
Alors, il y en a la moitié qui sont plus grandes que le coté du triangle.

Dans le genre:
La probabilité qu'une fille ait les yeux bleu sachant que sa mère a les yeux bleu est la même qu'une mère ait les yeux bleu sachant que sa fille a les yeux bleu, s'il y a corrélation statistique. Mais les gens trouvent la première plus normale

Ca, c'est un choix semantique.
L'equiprobabilite (d'une chose ou d'une autre) n'est pas incluse dans la definition de "au hasard".
Tu peux arguer qu'elle est sous-entendue par defaut, comme tu le fais, mais c'est un choix de vocabulaire qui t'est personnel.
En ce qui me concerne, par exemple, choisir un nombre entre 2 et 12 au hasard implique, sauf mention explicite du contraire, de lancer 2 des, et doc que ce choix au hasard n'est pas equiprobable.
Mais bon, c'est un choix, tant que c'est clairement dit ("quand je vois "au hasard" sans mention ulterieure de loi de proba, je prend l'equiprobabilite" ) (note aussi que tu seras emmerde si je te dis "choisis un nombre entier au hasard", vu que tu seras alors oblige de me repondre "c'est impossible", vu ta semantique).
 
Maintenant, le probleme est que meme si on choisit l'equiprobabilite, ca ne marceh toujours pas. Non seulemetn parce qu'on n'a pas defini ce qu'on choisissait, comme on l'a vu initialement, mais parce que meme en choisissant le parametre que l'on tire au sort, on n'a toujour spas fini...
L'equiprobabilite est definie sur une mesure. En l'occurence, on n'a pas defini de mesure. Certes, on peut decider de prendre la mesure canonique, mais n'importe quelle autre mesure est a priori autorisee.

 
 
Ben oui, on est d'accord, c'est un choix sémantique, m'enfin c'est un problème mal posé, à partir de là on a deux possibilités :
 
- On dit qu'il est mal posé et on envoie bouler le poseur.
- On essaie de comprendre ce qu'a voulu dire le poseur, en faisant les assertions par défaut les plus courantes. L'équiprobabilité sur la mesure canonique me semble être une hypothèse raisonable (si je comprend bien ce que signifie une mesure canonique, c'est à dire, si j'ai bien compris, une mesure qui consiste à compter le nombre de cordes situées dans un intervalle donné ?).
 
Là, il reste à mon sens à définir quels paramètres définissant une corde on considère pour définir les intervalles en question. Ces paramètres ne sont pas fixés a priori, et c'est là qu'il y a, je pense, une infinité de définitions possibles, même avec toute la bonne volonté dont j'ai essayé de faire preuve.

Faux.
Si la mere a les yeux bleus, alors la fille a p(le pere a les yeux bleus)+p(le pere a un gene bleu)/2 d'avoir les yeux bleus, ce que l'on peut transformer, avec un pere indetermine et indefini, en:
p(bb)+p(b)/2, ou p(b) est la proba qu'un individu donne ait un gene bleu et un seul, et p(bb) la proba qu'il en ait deux.
 
Maintenant, si la fille a les yeux bleus, alors on:
Il faut considerer l?ensemble des gens qui ont les yeux bleus et regarder les parents.
Dans la population, on a:
- P(bb,bb)=P(bb)^2 de gens avec les deux parents qui ont les yeux bleus. Ils ont les yeux bleus (ensemble A)
- P(bb,b.)=2P(bb)P(b) de gens qui ont un parent aux yeux bleus et l?autre avec un gene bleu. Parmi ceux-ci, la moitie ont les yeux bleus, soit P(bb)P(b) (ensemble B)
- P(b.,b.)=P(b)^2 de gens qui ont deux parents avec un unique gene bleu. Parmi ceux-ci, un quart ont les yeux bleus, soit (P(b)/2)^2 (ensemble C)
 
Nous avons donc une fille aux yeux bleus, qui appartient dnoc a l?ensemble A, B ou C, avec des chances correspondent aux proportions relatives de ces ensembles dans la population.
Soit, puisque la population aux yeux bleus est A+B+C= P(bb)^2 + 2P(bb)P(b)/2 + (P(b)/2)^2 = (P(bb)+P(b)/2)^2:
- P(bb)^2/ (P(bb)+P(b)/2)^2 pour l?ensemble A
- P(bb)P(b)/ (P(bb)+P(b)/2)^2 pour l?ensemble B
- (P(b)/2)^2/(P(bb)+P(b)/2)^2 pour l?ensemble C
La mere de cette fille est sure d?avoir les yeux bleus si sa fille est dans l?ensemble A, une chance sur deux si la fille est dans l?ensemble B (dans l?autre chance sur deux, c?estle pere qui a les yeux bleus), et aucune chance d?avoir les yeux bleus si la mere est dans l?ensemble C.
Au final, la mere a donc comme chance d?avoir les yeux bleus:
P(bb)^2/ (P(bb)+P(b)/2)^2  +  ½ * P(bb)P(b)/ (P(bb)+P(b)/2)^2
Ce qui se simplifie en P(bb)(P(bb)+P(b)/2)/ (P(bb)+P(b)/2)^2
Soit encore P(bb)/ (P(bb)+P(b)/2).
 
Une fille a une proba P(bb)+P(b)/2 d'avoir les yeux bleus si sa mere a les yeux bleus.
Une mere a une proba P(bb)/ (P(bb)+P(b)/2) d'avoir les yeux bleus sachant que sa fille les a (d'ailleurs pour le dire de facon plus rigoureuse, ce serait "une proportion ... des meres de filles aux yeux bleus ont les yeux bleus", puisque bien sur une mere n'a pas "des chances" d'avoir les yeux bleus, elle les a ou pas mais bon).
 
Donc ce n'est pas pareil.
Il y a au maximum un taux d'incidence des gens bleus dans la population qui permet que ce soit egal, et encore, il faut pour cela que l'on ait un systeme de trois equations a deux inconnues qui ne soit pas insoluble, probleme que je laisse a votre sagacite.

D'ailleurs, c'est rigolo, mais quand j'y pense j'ai l'impression de voir ici une discussion symptomatique de ce qui oppose mathématiciens et physiciens.
 
En tant que physicien, je passe mon temps à résoudre des problèmes mal posés. Il ne me vient pas à l'esprit de dire à celui qui m'a posé le problème 'pose le mieux que ça', vu que généralement, celui qui pose le problème est un tuyau garni d'électrode, ou autres joyeusetés dans le genre. Non, c'est au physicien quand il veut résoudre son problème de boucher les trous, comme il veut, soit en approfondissant le degré de description (vu que généralement, les problèmes mal posés sont la conséquence des diverses approximations et moyennages qui sont nécessaires à la formulation d'un problème soluble), soit en bouchant à la main, et au pif. Et c'est, à mon humble avis, là que le talent des bons physiciens se fait sentir, à la fois dans la capacité à boucher les trous judicieusement, mais surtout dans le contrôle qu'il est nécessaire de garder lorsque l'on fait ce genre de mouvements formellement interdits par tous les mathématiciens sains d'esprit.
 
 
En gros, entre se taire, et dire une connerie, le physicien préfère dire une connerie (tout en mentionnant le fait qu'il dit une connerie, et dans quelle mesure c'est une connerie, s'il est compétent), le mathématicien préfère se taire.

 
C'est sur que si t'as beaucoup de gens bleus dans ta population, les stats changent significativement !

Relis ce que j'ai écris, tu comprendras peut être mieux  

Je suis désolé de te décevoir   ( mais pour décevoir, il faut déja avoir eté estimé, je pensais pas que c'etait le cas)  
Tu as le mérite de me faire douter .
Si je me suis planté dans mon obnubilation pour la proba 1/3 c'est que :
 -Je suis sur de ma méthode directe
- elle est facilement testable informatiquement
- j'ai etudié la methode 2 et je la crois fausse ( introduction de postulat non-demontré)
- je suspecte (pas assez etudié) les autres méthodes de compliquer le problème et dans la complication les erreurs peuvent se glisser plus sournoisement
- J'ai peut etre sous-estimé le hasard ce qui me fait penser, présentement, a une distribution d'echantillonnage  qui se repartit suivant une loi normale quand l'echantillon est grand .
 
 
Une petite disgression qui m'est venue cette nuit :
Il y a 3 sortes d'esprits:
Ceux qui ont un intellect on ne peut plus logique
Ceux qui ont un intellect intuitif-sensitif
Ceux qui possédent ces 2 intellects ( auquel cas l'intuitif vient souvent brouiller telle une brume le logique)
 
Y aurait peut etre une 4 sorte:
Ceux qui sont comme le 3, mais qui peuvent compartimenter sans qu'il y ait interférence
 
C'est fou, non ?    
 

 
-Ta méthode directe est correcte (autant que les autres, c'est pour dire !)
- Elle est facilement modélisable informatiquement mais tenir compte de ce fait est une grave erreur. Et les autres évoquées sont également modélisable (va faire un tour sur le 1er site dont j'ai fourni un lien)
- La méthode 2 (choisir un point et construire la corde dont il est le milieu) me semble correcte si on fait abstraction des autres méthodes. Utiliser cette méthode et mesurer la densité de solutions d'après les angles à la tangente montrera que la répartition n'est pas uniforme
- une méthode complexe n'est pas forcement fausse. la méthode qui correspond le mieux à ce que j'imagine comme "tracer une corde au hasard" (la 5eme dont je parlais), je n'arrive pas à la modéliser.
- une loi normale n'est pas équiprobable : la probabilité s'amenuise à mesure que tu t'éloignes de la moyenne. Tu penses peut être à une loi de répartion uniforme (la fonction RAND() dans excel par exemple).
 
Personnellement, je cherche aussi ce qui se rapproche le plus d'une répartion equiprobable (pas de région clairement favorisée par rapport à une autre). Mais le paradoxe montre que parler d'équiprobable demande à choisir une méthode d'estimation de la probabilité, donc de caractériser ces cordes. Et les différentes méthodes, bien que correctes, ne sont pas cohérentes entre elles. Rien ne sert de se battre, donc.

Cher DKiller, dans mon post precedent que tu cites, j'avais initialement mis en fin de post une phrase du genre "DKiller, merci d'eviter de contester ce que je viens de prouver avec une simple phrase laconique. A la fois par respect pour le temps que je viens de passer a te contredire de facon constructive, et parce que tu dois bien te rendre compte qu'avec un tel detail, la charge de la preuve te revient".
 
Je l'ai retire avant de valider le post enb me disant que ca ferait agressif et que si ca se trouve tu reconnaitrais ton erreur.
 
Et la, tu debarques la bouche en coeur avec une phrase a la con.
Je te remercie grandement, c'est tres sympa.
alors comme tu le demandes, je relis ta phrase:

Et je ne comprend pas mieux. Soit je ne sais pas lire le francais, soit tu fais un second degre sans aucun interet, soit tu as effectivement pretendu que les probas etaient les memes, ce qui est faux.
Il y a bien sur une autre possibilite, mais je suppose que tu aurais ete plus explicite si c'est ca que tu voulais dire, car la pas une seule personne n'aura interprete, dans ce cas, ce que tu as dit comme tu le voulais.

Le Penseur Fou, je suis d'accord avec ce que tu as dit, sauf sur le sens du hasard.
"au hasard" ca veut dire suivant une methode aleatoire, quelle qu'elle soit. Je peux tirer un nombre au hasard enter 2 et 12 avec un random sur un PC, auquel cas j'ai une chance sur 11 de faire 7, alors que je peux aussi choisir au hasard en lancant deux des auquel cas j'ai une chance sur 6.
 
Tout le paradoxe repose la-dessus, et il ne peut pas y avoir de "methode fausse". Des methodes sont plus intuitives que d'autres, et meme ca ca depend des gens.

quand on parle de hasard, ça suppose répartition uniforme des résultats, ou pas ?

 
Ca suppose rien du tout, c'est bien ça le problème  

je comprends pourquoi botman est toujours puceau maintenant

 
 
qu'est ce que tu veux dire par o appartient à C? C est un cercle et O ne peut pas etre dessus puisque c'est le centre.
qu'est ce que tu veux dire par P (O appartient à C)=0? que la probabilite qu'une corde passe par le centre du cercle soit nulle?
c'est bien sur faux.
 
Par ailleurs il est evident que la question suppose la repartition des corde equiprobable; d'ailleurs c'est le sens français stricte:
"si je trace une corde" sans plus de precision veut dire "si je trace sans qu'elle est quelque chose de speciale".
De plus c'est la seule condition qui donne au probleme de l'interet
 
Bref tout ce que dis la methode 3 c'est:
Je choisis une methode de generation de corde qui trace en majorité des cordes de grandes dimensions, puis je fais tout un calcul pour conclure que j'ai beaucoup de cordes de grandes dimensions...
Bravo y'a pas à dire ça vaut vraiment le coup d'ecrire une demonstration... Il n'y a là aucun paradoxe, juste une bête evidence.

 
 
Malheureusement pour toi "choisir au hazard" à un sens bien defini en mathematique, ce qui me fait bien rigoler quand on voit ton texte precedent.
 
Par ailleurs si tu trouve pertinent de dire: Je choisis au hazard un majorité de grande corde et je trouve qu'au final j'ai une grande probabilité d'avoir des grandes corde, libre à toi, mais n'appelle pas ça un paradoxe et evite de venir te ridiculiser en publique

 
J'ai pris des mauvais noms, le C était pour moi la corde.  
 

 
Non. Quand tu joues au loto, tu joues au hasard et jusqu'à nouvel ordre, tu n'as pas la même probabilité de gagner ou de perdre.
 

Non.
Non, l'intérêt du problème est justement de faire réfléchir sur les conséquences de la précision d'un énoncé.
 

 
On peut dire la même chose de la méthode 1 qui favorise abusivement les cordes de faible dimension    
 
Méthode 1 : les deux paramètres sont les angles a et b correspondant à la position en coordonnées polaires des extremités de la corde.
 
Méthode 3 : les deux paramètres sont l'angle A décrivant l'oritentation de ton rayon et B, la distance de la corde au centre du cercle
 
En quoi le système de variables (a,b) est meilleur que le système (A,B) ? Aucun n'est plus général que l'autre
 
 
 
Pour finir, petite question : quelle est la probabilité qu'un entier naturel commence par le chiffre 1 ?  

 
Mais toutes les boules on la meme probabilité de sortir, et quand on joue au loto on cherche à determiner quelle boule va sortir et pas si on va gagner ou non.
 

 
Clairement non pour moi; quel est l'interet de chercher la probabilité si l'on choisit une methode qui oriente vers un cas?
Pour moi il me semble evident que quand on dit "je trace une corde au hazard", on ne privilegie aucune corde, ce que Gregttr n'a pas compris avec son histoire de dé: quand il lance deux dés il privilegie certains nombres.  
Pair ailleurs je vous ferez remarquer quand dans la methode 3 il conclut son calcul par un rapport d'aire, ce qui n'a de sens que si les cordes sont repartis equiprobablement:
 
C'est comme si j'avais deux cercle C et C' inscrit dans C et que je cherche la probabilité quand je lance une flechette dans C de la mettre aussi dans C':
Si je favorise C', en visant par exemple la probabilite n'est clairement plus l'aire de C' sur l'aire de C.
 
D'ailleurs avec le meme exemple si quelqu'un vous dis je lance une flechette au hazard, quelle est la probabilité de tomber dans C' et qu'on repond aire de C'/sur aire de C, vous allez nous sortir:
Non pas du tout, parceque je peux trouver un systeme qui genere des points au hazard mais qui privilegie les points dans C'???
 
Il y a ceux capables de comprendre un probleme et les hypotheses suppposés et ceux, incapable de le resoudre qui prefereront crier au manque de precision de l'enoncé, parceque, par exemple, et tant qu'on y est, ou est il precisé qu'il travaille dans un espace euclidien? ça ne vous a pourtant pas gener de le supposer.
 
Et l'interet du truc n'est pas de dire que l'enoncé est imprecis, c'est de dire qu'avec des methode a priori intuitives on peut malgre tout faire des erreurs.

 
On est d'accord, mais cela montre bien que tirer au sort ne veut pas dire de façon équiprobable. Et ensuite, pour parler d'équiprobabilité, il faut dire par rapport à quelles variables, sinon ça n'a aucun sens.
 

 
Dans ce cas, pourquoi a-t'il cru utile de préciser que la probailité était 1/6 dans un cas et 1/11 dans l'autre ?
 
Sinon, en mathématiques, le mot "évident" n'existe pas. Ce qui n'est pas dans l'énoncé n'a pas à être rajouté, ce serait trop facile autrement    
 
 
 

C'est clair.
 

C'est effectivement ce que je ferais puisque l'énoncé m'y autorise    
 

 
L'intuition en mathématiques, c'est complètement stérile si on n'a pas la rigueur derrière. Un mathématicien, c'est encore pire qu'un juriste en ce qui concerne le pinaillage et l'enculage de mouches, il faudra t'y faire.  

 
Bonne remarque, mais vu qu'on avait déjà une infinité de solutions, on n'était plus à une près  

 
 
Bien sur que c'est vrai:
si la fille à les yeux bleu ça veut dire que la mere à au moins un gene bleu, c'est à dire qu'un de ses deux parents lui a transmis le gene bleu disons sa propre mere par exemple.
La probabilité qu'elle est les yeux bleu et donc la probabilité que son pere (dont on ne sais rien) lui donne un gene bleu.
 
Inversement si la mere à les yeux bleux alors sa fille à un gene bleu et la probabilité qu'elle est les yeux bleue et la probabilité que son pere (dont on ne sais rien) lui donne un gene bleue.
 
J'adore ceux qui incapable de comprendre un probleme, pense etre malin en ecrivant une page d'equation. Et dire que tu parlais de rigueur et de juger les gens...

 
Pour moi le sens de "au hazard" est sans ambiguité en mathematique. Par ailleurs comme je l'ai dit tu ne peux pas dire "je choisis une methode de generation de cordes qui n'est pas equiprobable (je pense qu'on s'accorde enfin tous pour dire que la methode 3 privilegie la generation de grande corde) puis utiliser une methode de calcule (le rapport d'aire) qui n'est valable que dans le cas de corde equiprobable.
 
Vous pouvez perorer tant que vous voulez sur le sens du mot "hazard", la methode 3 n'en reste pas moins fausse.

D'ailleurs pour ceux qui se raccroche à de la mauvaise fois sur le sens du mot "hazard", pourquoi dite vous que ce probleme constitue un paradoxe?
 
Dire que si l'on change le sens d'un terme d'un enoncé, on trouve des reponse differentes, c'est plutot une evidence qu'un paradoxe non?

 
En mathématiques, les termes ont une définition précise, c'est tout. D'après toi, pourquoi tous les étudiants de Deug ou de sup' doivent-il réapprendre la définition de trivialités telles qu'une "fonction", une "droite" ou une "intersection" ? Sans doute parce que jusqu'en terminale, on n'a pas trop besoin de définitions propres de ces termes. Mais pour aller plus au fond des choses, il est nécessaire de mettre de la rigueur dans tout ça.  
Ce n'est pas de la mauvaise foi, ça s'appelle "la rigueur" et c'est la meilleure amie d'un mathématicien.

 
Relis la phrase de DKiller et dit nous si elle correspond à l'énoncé que tu en fais (qui me semble juste).
 
Si tu trouves que c'est la même chose, relis la encore. Il s'est peut être mal exprimé, mais c'est finalement le type d'erreur dont il est question sur ce topic.

 
Hum avant de parler de droite et autre, ouvre un dico et relis dejà le sens du mot paradoxe...

 
Le mot "paradoxe", je ne l'ai pas utilisé, vu que je le trouve inapproprié. De toute façon, je ne suis pas sur qu'il ait de sens en mathématiques. "Contradiction" en a un, mais il n'est pas adapté dans le cas précis vu qu'il n'y a aucune contradiction.