Reprise du message précédent :

 
Tu ne réponds toujours pas à la question : en quoi ce mode de détermination d'une corde aléatoire est-il plus général qu'un autre (par exemple, choisir aléatoirement un point dans le disque qui sera le milieu de notre corde) ?

 
Ce que j'entend par générale, c'est qu'elle est simple et incontestable et
toujours vraie  
 
J'ai un peu examiné la deuxième méthode ( celle du milieu comme etant
l'ensemble des points du cercle de rayon r/2):
Qu'est ce qui nous dit que l'ensemble des points est la surface du cercle
de rayon 1/2 *r (petit cercle) ?
 C'est plutot l'ensemble des points vérifiant
ceci:
 
tu prends le petit cercle inscrit de rayon 0.5*r ,  en prenant pour origine
chaque points de ce cercle, tu traces un autre cercle de rayon 0.5*r en ne
retenant que le secteur interne au petit cercle inscrit, tu obtiens donc
une courbe pour chaque point .
 
Difficile de caractériser la forme délimitée par toutes ces courbes, mais
ce n'est probablement pas la surface du petit cercle inscrit .  
 
Pour ce qui est de la solution 3 , je n'ai pas encore eu le temps de
l'examiner en détail, mais il y a probablement une faille aussi .
 
edit: Il semble bien qu'effectivement l'ensemble des points décrits par I soit le petit cercle, par contre ce qui ne va pas avec cette méthode c'est que prendre le point milieu ne décrit pas toutes les possibilités . Les points entre 1/2*racine(3) AB et racine(3)*r/2 AB  apportent aussi leur contribution .  
Il faut prendre un petit cercle de rayon   r/racine(3) au lieu de r/2
mais faut encore le demontrer  

Je suis d'accord avec les doutes sur la 2eme méthode. Mais je n'ai pas vu de faille dans la 3eme méthode. Et j'ai pas trop regardé la 4eme décrite sur l site dont j'ai mis le lien.
 
C'est comme demander le plus court chemin entre 2 villes.
 
Une personne te donnera celle qui te fera faire le moins de kilomètres, l'autre celle qui te demandera le moins de temps. Les 2 réponses seront différentes mais inattaquables et conformes à ta demande, à une variation d'interprétation près parceque ta demande n'est pas assez précise pour décider que l'une est meilleure que l'autre. Et selon les cas, l'une ou l'autre pourra être la plus pertinente. Il n'y a en a pas une qui soit intrinsèquement meilleure ou plus générale que l'autre.

Regarde je viens d'editer mon post precedent .
L'avantage avec ma methode c'est qu'elle permet de faire facilement une simulation informatique ( le truc c'est de travailler avec la longueur  des cotés du triangle inscrit soit: racine(3)*r )
De toute façon toutes les autres méthodes ne donnant pas une probabilité de 1/3 doivent etre fausses

Les autres réponses ne sont pas fausses (mais la 2eme solution me semble réellement incorrecte, je suis d'accord là dessus).
 
Tu as choisi UNE façon de modéliser le problème (qui est la première qui me soit venu à l'esprit) qui n'est pas la seule à pouvoir s'appliquer à la question posée.
 
Le site proposé en lien propose des simulations numériques pour tous les cas proposés, et tous donnent des résultats différents bien que pas ou peu attaquables. Penche toi sur la 3eme solution et dis moi où est le problème ! Il n'y en a pas, si ce n'est d'être moins évidente que d'autres. La 4eme solution est plus représentative de ce problème. Elle n'est pas intuitive mais elle n'en est pas moins correcte.

 
 
cette methode est fausse:
elle suppose que par I il ne peut passer qu'une corde, ce qui est faux si I est sur le centre du cercle

 
 
Cette methode aussi est fausse.
En effet pour reprendre la figure, elle suppose que si je suis sur le point H et que je me deplace de x cm vers la droite (le long du diametre dessiné) j'ai definie autant de corde que si je me deplace vers la gauche (toujours à partir du point H).  
Or c'est faux.
Par exemple je prend un point X sur le cercle. Je trace le diametre du cercle C qui passe par ce point et je me deplace le long de se diametre. Quand je suis en X et que je me deplace d'une longeur w je decris un arc de cercle tres important (parce qu'en X la tangente au cercle est perpendiculaire au diametre). si je me place au centre de ce diametre et que je me deplace de w je decris un arc de cercle beaucoup plus faible.
 
Bref pour resumer,en appelant K un point un point du cercle de centre O et de rayon r/2 et P le point d'intersection entre le cercle C et le diametre de C qui passe pas K, il faut effectivement que la distance de la corde AB au centre du cerecle soit plus petite que d=r/2, mais il y a beaucoup de cordes perpendiculaires à (KP) sur le segment [PK] que sur le segment [KO].

 
 
Cette méthode est pourtant tout aussi correcte d'après l'énoncé de la question initiale.
 
Tu peux prendre le problème dans l'autre sens et critiquer la première méthode en rétorquant qu'elle aboutit à des cordes qui sont plus serrées (sur le dessin) autour du centre que la 3eme méthode. Ce n'est pas le problème.
 
On ne peut pas comparer numériquement on disant "il y a plus de cordes à droite qu'à gauche". On n'est sur un espace continu. Il y a de part et d'autre d'une corde (sauf si elle est tangente au cercle) une infinité de cordes possibles d'un côté comme de l'autre. On ne peut pas simplement dire qu'un infini est plus grand qu'un autre.
 
Mais effectivement la densité de probabilité est plus ou moins grande dans les différentes régions selon la méthode de génération d'une corde aléatoire. Je pense à la notion de densité de probabilité d'après les souvenirs de description de l'atome, où l'électron n'a pas de position discrete mais on utilise une équation (Schrödinger, je crois) pour caractériser la probabilité que l'électrion se trouve dans cette région : c'est un continuum, aucune position est interdite mais certaines sont plus probables que d'autres. Cette analogie pourrait aider à éclaircir ma compréhension du problème.
 
Mais encore une fois l'une ou l'autre des méthodes décrites (avec toujours pour ma part une réserve sur la 2eme méthode qui ne me convient pas) est correcte pour une problèmatique donnée. Mais la question de départ ne permet pas de définir quelle est cette problématique.

 
 
Bien sur que certains infinis sont plus grand que d'autre. N est inclu dans R par exemple.
Quand on fait des probabilités on cherche à faire du denombrement, c'est tout le principe.
Ici l'erreur est manifeste.  
On nous dit que le rapport entre l'aire du cercle de rayon r et le cercle C represente le rapport du nombre de corde recherché sur celui du nombre de corde totale ce qui est absolument faux.
 
La condition qu'il trouve pour dire si la corde est ou non plus grande est vraie, la suite et la calcul d'aire qui en resulte sont faux.
 
La premiere methode n'a pas ce probleme, ou alors tu n'as pas compris ce que j'ai voulu expliquer (il est vraiq ue ce n'est pas tres clair mais je n'ai pas le courage de faireun dessin).

 
[0;1] est inclus dans R et pourtant ils sont de même taille (il existe une bijection entre les deux). Entre deux réels, il existe toujours une infinité de rationnels, et pourtant Q et R ne sont pas de même taille.  
On ne travaille pas avec des ensembles infinis comme avec des ensembles finis, les règles ne sont pas les mêmes et elles peuvent être totalement contre-intuitives.
 

 
Ton problème, c'est que tu raisonnes comme si on parlait d'ensembles finis. Dans ce cas, le problème serait bien posé et la solution unique. Ici, on parle d'ensembles infinis et le résultat dépend de la façon don tu construis une corde. Toutes les méthodes proposées ici sont valables et justes mathématiquement, même si elles font apparaitre des densités locales plus ou moins fortes de cordes. Ce n'est pas un problème de mathématiques, mais un problème de français  

 
Hum tout ça pour dire qu'on peut avoir des ensembles infinis plus grand que d'autres? n'est ce pas exactement ce que j'ai affirmé (quoique inclu n'etait pas une affirmation suffisante je le reconnais)?
 

 
Non... je raisonne avec des ensembles infinis. Une corde est un objet mathematique parfaitement definis. Une corde c'est le segment reliant deux points d'un cercle. Ni plus, ni moins. Ce qui change ici ce n'est pas la maniere dont il construit une corde, c'est la maniere dont il calcule la longueur de cette corde, plus precisement le critere qu'il retient pour determiner si cette corde convient ou non.
 
Mais son raisonnement contient une erreur logique pourtant evidente. Dire que la corde repond au probleme si la distance au centre du cercle est plus petite que d, ne signifie absolument que la probabilité d'avoir une corde qui repond au probleme est le rapport du cercle de rayon d sur le cercle C.
 
Ce n'est pas parceque les ensemble sont infinis qu'on ne peut pas calculer une probabilité.
 
Oui il definit deux ensembles, chacun contenant une infinité de corde et pourtant un de ces deux ensemble est plus grand que l'autre.
 
Ce que l'auteur initial du probleme veut montrer, ce n'est pas qu'avec des ensembles infinis on a plusieurs solutions possibles, c'est que si on n'ai pas tres rigoureux on peut ecrire des assomptions semblant justes mais qui sont fausses.

 
Ben non, ça n'est qu'un petite partie du principe.
 
Quand on te demande de couper une corde à une certaine longueur X, les différentes longueurs que tu obtiendras ne sont pas dénombrables. La mesure que tu pourras faire a un nombre fini de décimales, mais c'est seulement une erreur de mesure imputable à la précision de l'instrument de mesure.
 
Pourtant, on peut très bien appliquer des outils statistiques pour mesurer quelles sont les possibilités que tu coupe la corde à une longueur X+/- z%
 
Je pense comme Svenn que tu n'arrives pas à manier correctement des notions reposant sur des ensembles non dénombrables, justement.
 
Ne te laisse pas perturber par des représentations graphiques, qui peuvent faire passer pour intuitives des notions qui ne le sont pas. Il n'y a pas un nombre limité de cordes possibles, une corde n'a pas d'épaisseur (en géométrie). On peut en mettre autant qu'on veut* dans un intervalle non nul
 
Je pense même avoir enfin compris le 2eme système, qui m'a finalement l'ai tout aussi solide que les autres. Mais je n'arrive pas à "sentir" (ça fait longtemps que je n'ai plus fait de math ou de géométrie) pourquoi la probabilité dans ce modèle est plus faible que pour les autres.
 
edit : * : "autant qu'on veut, ça veut dire strictement "une infinité". Pas "beaucoup". Mais une infinité.

 
A partir de n'importe quel point du disque (sauf le centre, qui est un point particulier mais de surface nulle), on peut définir 1 et 1 seule corde. OK avec ça ?
 
Si, pour tracer une corde au hasard, on prend un point "au hasard" dans le disque et que on construit la corde dont ce point est le milieu, on aura bien un algorithme aléatoire de génération des cordes. Tu n'es sans doute pas OK avec ça mais pourtant, ça reste correct d'après l'énoncé initial.
 
D'après ce système, on peut ramener la probabilité que le point soit dans un région à la fraction que cette région représente par rapport à l'ensemble (le disque, dont la probabilité que le centre des cordes soit dans ce disque est de 1). OK avec ça ?
 
la fraction peut être ramenée au rapport des deux aires. OK avec ça ?
 
Si tu es OK avec chaque point, j'imagine que tu ne parviens plus à attaquer cette solution.
 
1/4 des cordes construites avec cette méthode seront plus courtes que le côté du triangle. Si si.
 
La où tu as raison en revanche, c'est que si tu construis tes cordes aléatoires avec une autre méthode et que tu regardes a posteriori où sont les milieux de ces cordes, tu ne trouveras pas une répartition uniforme sur la surface du disque. Dans tous les cas cependant, on aura construit des cordes au hasard.

 
S'il te plait ne viens pas me dire que je maitrise mal ces notions quand tu nous montres a quel point tu patauges. Quel est la rapport entre couper une corde et le probleme posé? aucun.
 
Ce n'est pas parcequ'il y a une infinite de corde possible qu'on ne peut pas calculer une probabilité; tu melanges decidement tout.
Prend une cible constitué d'une cercle C et d'un cercle C' de rayon plus petit mais de meme centre. Ce n'est pas parcequ'il y a une infinité de point à l'interieur du cercle C' qu'on ne peut pas calculer quel est la probabilité de mettre une flechette dans C et pas dans C' (en supposant un lancé aléatoire)

 
Tu utilises un vocabulaire qui n'est pas du tout adapté au problème. Parler de dénombrement alors qu'on parle d'ensembles non finis, ça permet de douter légitimement de ta maitrise du truc (de mon côté, je ne fais plus de stats à longueur de journée mais de là à patauger, ça va pour moi jusqu'à présent, merci)
 
J'aurais dû prendre un autre exemple qu'une corde. Peut être une ficelle. Juste pour prendre un exemple pratique illustrant des stats sur un ensemble de solutions non fini.
 
Je suis OK avec ton exemple, j'avais pensé le sortir. Essaies de t'en servir pour comprendre ce qui a été dit.

 
 
Tu melange les explication des solutions 2 et 3. Personnellement je repond à la 3.
Pour la 2 le fait que le centre du cercle fasse exeption suffit à montrer que la methode est fausse.
 
"un point de surface nulle" bravo... apparement tu as l'air de croire que cette evidence suffit pour ne plus s'occuper du centre. J'aimerais savoir pourquoi.

Quelle est la probabilité qu'une corde passe par le centre ? (pas juste à côté mais exactement au centre)
 
Tu peux traiter le centre à part à additionner les probabilités obtenues sur le reste de l'ensemble.
 
Tu vas voir que ça ne change pas grand chose au fait ne pas prendre en compte le fait que le centre représente un point particulier.

Bon je vais essayer de vraiment faire simple.
 
Vous semblez d'accord pour dire, si on reprend mon explication initiale qu'en se deplaçant à gauche ou a droite la densité de corde n'est pas la meme.
 
A partir de là lorsqu'il fait le rapport des aires sans tenir compte de cette difference de densité il se trompe.
 
Basiquement ce qu'il fait c'est:
il prend un quart de cercle  AOB et il dit: Soit un point P sur l'arc de cercle AB, la probabilité que P soit sur la partie de cercle AM (qui vaut la longueur de l'arc de cercle AM sur la longueur de l'arc de cercle AB) est egale a AH/HO (avec H projeté de P sur AO). et c'est faux tout simplement
ET c'est faux
 

 
Finalement, je viens de me rendre compte que les deux méthodes que j'avais proposées, contrairement à mon intuition première, sont équivalentes :
 
- Choisir un point du cercle, puis un angle au hasard, ou
- Choisir deux points au hasard sur le cercle
 
Il est donc normal que ces deux méthodes conduisent à deux résultats identiques !
 
Néanmoins, il reste toujours une infinité de méthodes pour tracer une corde au hasard, et donc une infinité de résultats possibles.
 
Par exemple :
 
On choisit l'ordonnée à l'origine de la droite qui prolonge la corde, comme un nombre aléatoire compris entre 0 et M. Puis, on choisit la pente de la droite aléatoirement parmi les pentes qui coupent le cercle.

 
Non pas avec ta definition: prenons un point I et on tracons la corde dont I et le milieu. si comme tu le sugere on met de coté un point I quelconque ça ne pose pas trop de probleme car en supprimant un point I tu supprime juste une corde.
Mais si I est sur le centre et que tu le met de cote tu supprime une infinité de corde, car il y a une infinité de corde qui ont pour milieu O.

 
 
Ce n'est pas parcequ'on a une methode qui genere aleatoirement une corde, que cette methode genere chaque corde de maniere equiprobable.

 
 
ah ben wé, je pensais qu'il y avait un problème à, justement, générer chaque corde de manière équiprobable.
 
en fait, finalement, je pense que non, donc je me rallie au fait que la méthode de génération sous entendue par l'énoncé, comme toujours lorsque le processus n'est pas précisé, c'est l'équiprobabilité, et donc ya pas de paradoxe.

 
Là tu mèles plusieurs méthodes. En caractérisant les cordes par la distance au centre, on obtient une densité homogène. Mais elle n'est pas homogène si on considère l'angle par rapport à la tangente. Et il ne prend pas un quart de cercle, mais le cercle ayant pour centre le centre du 1er cercle, et passant par le milieu des rayons. Je ne comprends pas de quoi tu parle

 
Je maintiens que toutes les méthodes qui donnent une proba différente de 1/3 sont fausses .
Elles introduisent des postulats qui sont non-demontrés et faux , il n'est donc pas etonnant que dans un simulation informatique qui reprend ces postulats on retrouve l'erreur .
Ma petite methode a moi est, sinon la plus générale, la plus directe et simple, elle n'introduit aucun postulat .
Quel est le problème ? prendre 2 points au hasards sur le cercle et regarder si leur distance est supérieure au coté du triangle inscrit ( racine(3)*r ) c'est tout    
 
Les autres méthodes ( je me suis surtout penché sur la 2 ) sont trés compliquées
par exemple pour le cas 2 il faut considerer presque tous les points du coté du triangle et non pas seulement le point milieu .

 
C'est ce que je pense. Les autres methodes sont fausses, car si elles permettent de definir effectivement toutes les cordes possible elle ne sont pas equiprobable.
 
Par exemple pour faire plus simple qu'une corde, je cherche à definir un point.
Je reprend pour quart de cercle AOB,
Si comme methode de definition de M, un point quelconque sur ce quart de cercle, je dis:
Je choisis H sur le segment [AO] et je trace la perpendiculaire à AO passant par H et je definis M par l'intersection entre cette droite et le quart de cercle, je definis effectivement tous les points M possible, mais pas tous avec la meme probabilité car:
soit Z le milieu de AO, j'ai une chance sur deux que H soit sur [AZ] mais la longueur de l'arc de cercle AM (avec H en Z) et plus grande que la moitié de la longueur de l'arc de cercle AB.
 
Autrement dit en utilisant H pour definir M on a une chance sur deux que H soit sur [AZ], mais en choisissant directement M et en definissant H comme sont projeté sur AO on a plus d'une chance sur deux que H soit sur [AZ].
 
 
De la meme maniere en utilisant un point (le milieu d'une corde) pour definir une corde, on definit toutes les cordes, mais on ne prend en compte la veritable probabilité d'avoir telle ou telle corde.

 
On supprime une quantité infinie de corde mais cette infinité est négligeable car elle représente un cas dont la probabilité est nulle. Ce n'est pas une indétermination.
 
Supprimer un point d'une surface ne modifie pas la valeur de cette surface (sa superficie). On ne change donc pas le problème en ne la prenant pas en compte.

 
son systeme est symetrique.
Pour faire plus simple je le ramene à un quart de cercle et à un rapport de longueur plutot qu'à un rapport d'aire. L'erreur de raisonnement est la meme.

 
Bien sur qu'on le change...
Poussons ta methode plus loin:
Tous les points on une surface nulle donc on ne change pas le resultat en supprimant tous les points?
restons serieux...

 
La probabilité calculée comment ? Pour calculer la densité de probabilité, tu vas choisir arbitrairement une méthode de caractérisation des cordes. Si c'est la distance au centre, tu trouveras une distribution homogène si tu t'es basé sur la 3eme méthode. Mais si tu te base sur l'angle à la tangente, elle ne sera plus homogène. Cela suffit il à dire que la 3eme méthode est fausse ? Non, rien ne permet de dire qu'elle est en contradiction avec l'énoncé initial du problème.

 
On peut ramener la probabilité qu'un point soit dans une région au rapport entre la surface de la région à la surface de l'ensemble complet. Tu n'es pas d'accord avec ça ?
 
Si tu supprimes une ligne, tu ne modifie pas les données du problème. Si tu supprime le cercle qui délimite le disque, tu ne change pas le disque. Ou même une ligne à l'intérieur du cercle, idem. C'est très sérieux.  
 
Si tu changes une région de points contigus et de surface non nulle, alors là oui, on change le problème.

 
Mais si. ça methode de caracteriser les cordes en fonction de leur distance au centre lui fait donner plus de "poids" à certaines cordes lorsqu'il convertit cela en un rapport d'aire.
 
Pour etre precis il considere qu'une corde à autant de chance d'etre à d+x qu'a d-x (x nombre quelconque positif tel que d+x <r) et c'est totalement faux.

 
 
Au risque de me rpéter : elle n'est pas en contradiction avec l'énoncé, simplement quand l'énoncé est incomlet comme c'et le cas ici, on suppose généralement, si c'est possible, que la distribution que l'on a est une distribution uniforme.
 
Ainsi, on lève l'ambiguité, et on n'a plus qu'un seul résultat valable.

 
Le point que tu veux supprimer est une singularité. Tu ne peux pas le supprimer.
 
Par ailleurs je te le repete, ta methode de choisir un point et ensuite d'en definir une corde conduit à ne pas definir toute les cordes de maniere equiprobable. à partir de là tout ton calcul de probabilité est faussée.

 
Il parle uniquement ou d est égal à r/2. Et c'est juste dans ce cas là.
 
C'est faux si on construit la corde sur une distribution homogène des angles par rapport à la tangente et que l'on constate a priori la position du milieu de la corde par rapport au centre (c'est à dire en mélangeant les différentes méthodes).
 
Mais il n'y a a priori pas de méthode permettant d'obtenir une distribution homogène d'après toutes les méthodes de construction aléatoire de cordes.

 
ce que j'ai ecrit reste vrai en prenant d=r/2...
il y a plus de chance d'avoir une corde avec r/2+x qu'avec r/2-x. A partir de la tu ne peux pas faire le rapport d'aire.
 
C'est comme si j'avais une aire A compose de deux aire B et C (avec l'air de B = l'aire de C = l'aire de A/2)
 
que je dise il y a plus de chance qu'un objet M soit dans B que dans C (pour une raison quelconque) et que quand je calcule la probabilité de M d'etre dans B je dise, ça vaut aire de B / aire de A.
 
C'est faux

 
au temps pour moi. Il ne dit effectivement pas que la moitié des points choisis au hasard sont à l'intérieur de ce disque. Mais 1/4 des points (un disque 2 fois plus petit a une aire 4 fois plus petite).
 
Sinon le rapport des aires est bien la probabilité qu'un point choisi au hasard soit sur cette surface.

Ecoute je suis las.
J'essaye de t'expliquer que la probabilite d'un point choisit au hazard ne represente pas la probabilité d'une corde choisit au hazard.
 
Si c'est trop compliqué pour toi tant pis.

 
C'est pour ça que l'on parle depuis le début d'un paradoxe. Chaque méthode prise séparement est correcte, cohérente, mais les différentes méthodes donnent des résultats différents et ne sont donc pas cohérents entre eux.
 
Pour le centre, on peut prendre la probabilité qu'une corde passant par le centre corresponde aux critères (la probabilité est de 1) multipliée par la probabilité que la corde passe par le centre (la probabilité) est de 0. On tombe sur 0. Tu ne peux pas faire le rapport entre le nombre de cordes qui passe par le centre (infini) rapporté au nombre total de cordes du cercle (infini également).
 
Donc supprimer le centre n'a pas d'influence sur le résultat.

 
 
Si tu ne comprends pas que ne pas prendre en comptele centre modifie la resultat, ça ne sert franchement à rien de continuer. C'est comme vouloir faire des probabilite si l'on ne sais pas faire une addition. Il faut savoir voir ses limites.

Si tu prends en compte le centre, tu additionnes 0 à la probabilité.
 
Bravo, ça change tout

 
 
Bon, finalement, je re-change d'avis.
 
Pour définir une distribution équiprobable, il faut paramétrer la corde.
 
Choisir comme paramètres les deux coordonnées du centre de la corde est tout à fait valable.