Reprise du message précédent :

Dans le calcul initial, tu prenais en compte le choix du présentateur et le fait qu'il n'était pas aléatoire.
 
Probleme initial: On peut supposer que j'ai choisi A au départ (pb symmétrique en A B C)
A   B   C
1   0   0  le présentateur choisit la porte B dans la moitié des cas, et la porte C dans l'autre moitié
0   1   0  le présentateur choisit la porte C dans tous les cas
0   0   1  le présentateur choisit la porte B dans tous les cas.
 
On a 4 événements pas tous équiprobables quand j'ai choisi A:
la voiture est derriere A et le présentateur choisit B Proba: 1/6
la voiture est derriere A et le présentateur choisit C Proba: 1/6
la voiture est derriere B et le présentateur choisit C Proba: 1/3
la voiture est derriere C et le présentateur choisit B Proba: 1/3
Si je garde mon choix, j'ai 1/6+1/6 = 1/3 chances de gagner
Si je change mon choix, j'ai 1/3+1/3 = 2/3 chances de gagner
 
Nouveau probleme:
A   B   C
1   0   0  le présentateur choisit la porte B dans la moitié des cas, et la porte C dans l'autre moitié
0   1   0  le présentateur choisit la porte B dans la moitié des cas, et la porte C dans l'autre moitié
0   0   1  le présentateur choisit la porte B dans la moitié des cas, et la porte C dans l'autre moitié
On a 6 evenements equiprobables:
la voiture est derriere A et le présentateur choisit B
la voiture est derriere A et le présentateur choisit C
la voiture est derriere B et le présentateur choisit B
la voiture est derriere B et le présentateur choisit C
la voiture est derriere C et le présentateur choisit B
la voiture est derriere C et le présentateur choisit C
 
On elimine deux de ces evenements, quand le présentateur a choisi la porte ou est la voiture.
Il reste alors 4 événements équiprobables (et c'est la qu'est le différence avec le problème initial)
la voiture est derriere A et le présentateur choisit B
la voiture est derriere A et le présentateur choisit C
la voiture est derriere B et le présentateur choisit C
la voiture est derriere C et le présentateur choisit B
 
Si je garde mon choix, j'ai 1/4+1/4 = 1/2 chances de gagner
Si je change mon choix, j'ai 1/4+1/4 = 1/2 chances de gagner
 
Enfin, c'est comme ca que je vois les choses.
 
A+,
 
 
 
 
 

oui mais comme il l'ouvre au hasard, ça élimine 2 cas comme l'explique gilou (1/2 d'être dans le cas où il ouvre la bonne porte quand on n'a pas choisit la bonne porte).

Tout à fait, mais tu ne réponds pas à la bonne question.
En fait là tu listes les cas qui pourraient arriver dans le futur et leur probabilités.
Donc tu réponds à la question "quelle est la meilleure stratégie à adopter en ne sachant pas encore ce qu'il y aura derrière la porte ouverte par le présentateur". C'est ce que tu ferais si tu devais décider de changer avant que le présentateur n'ouvre une porte.

Mais tel que j'ai compris le problème, le présentateur ouvre la porte, il n'y a rien derrière "par hasard" et ensuite tu décides si tu veux changer ou pas.
Ta décision est donc conditionnée, les probas ne sont plus les mêmes. Et tu n'as aucune raison de t'en tenir à la décision non-informée que tu aurais prise auparavant.

EDIT : non en fait tu parles bien ta probas conditionnelles à la fin de ton post, que j'avais un peu survolé. Mais le truc qui coince, à ce moment là, c'est le mot en gras. Equiprobables ? J'avais 1/3 de chances d'avoir choisi la bonne porte, et sachant que la porte choisie par le présentateur n'a pas de voiture derrière, en quoi cela change-t-il ma probabilité d'avoir choisi la bonne porte ? C'est exactement le même raisonnement que dans le premier cas.

C'est écrit dans ce que tu as cité
=> Tu ne peux pas modéliser l'expérience en considérant que N est fixé et que l'incertitude est uniquement dans le contenu dans l'autre enveloppe. En fait, l'incertitude est dans le contenu des 2 enveloppes ! (c'est pas parce que tu as ouvert une enveloppe que tu sais si c'est la plus grosse ou la plus petite, en fait que tu l'ouvres ou pas, cela n'a aucune conséquence)
 
Si tu fixes N, cela revient à modéliser l'expérience d'art_dupond : j'ai une somme X, et je tire à pile ou face pour savoir si on me double la somme ou si on me la divise.
 
Ces 2 expériences ne sont pas équivalentes. Dans la 1ère, l'espérance est de 3/2 de la plus petite somme. Dans la 2nde, l'espérance est de 5/4 de la somme de départ.

 
Ben l'exercice impose un N fixé, donc si, tu peux et tu dois le modéliser avec un N fixé. Tu as en face de toi un chèque de 1.378.674 EUR.
L'incertitude réside dans le fait de savoir si l'autre chèque est plus gros ou plus petit, et là seulement. C'est comme ça qu'est posé le problème. Et la question est de savoir pourquoi il semble qu'on ait toujours intérêt à changer.

Oui, dans ce nouveau pb, tu as en effet 1/3 de chances d'avoir choisi la bonne porte, 1/3 de chances que le présentateur choisisses la bonne, et 1/3 de chances que la bonne porte ne soit choisie ni par toi ni par le présentateur.
Mais comme on élimine les cas ou le présentateur choisit la bonne porte, j'ai renormalisé pour que la somme fasse un.
A+,

Bon allez, je donne la réponse en avance, parce que ça commence à faire débat !
 
Pour que les choses soient intuitives, imaginons qu'il y a 100 portes. J'en choisis une. J'ai 1 chance sur 100 de gagner. Le trésor a 99 % de chances de se trouver ailleurs.
 
Si le présentateur sait où se trouve le trésor, il va éliminer 98 mauvaises portes et va en laisser une seule :
- qui est forcément la bonne si j'ai choisi la mauvaise porte, ce qui arrivera 99 fois sur 100
- qui n'est pas la bonne si j'ai choisi la bonne porte, ce qui arrivera seulement 1 fois sur 100
J'ai donc tout intérêt à changer !
 
Si maintenant le présentateur ne sait pas où se trouve le trésor, il va éliminer 98 mauvaises portes au hasard. 2 possibilités alors :
- j'ai choisi la mauvaise porte (99/100) et le présentateur a eu beaucoup de chance (1/99) : la seule porte qu'il a choisi de laisser fermée cache le trésor ! => Ce scénario a une probabilité de 99/100 * 1 / 99 = 99/9900 = 1/100
- j'ai choisi la bonne porte (1/100) et le présentateur n'a aucun mérite ! => Ce scénario a une probabilité de 1/100
Les 2 scénarios ont la même probabilité de se réaliser, donc je n'ai aucune raison de parier sur une porte plutôt que sur l'autre.
 
On peut évidemment ramener la démo au cas où il n'y a que 3 portes.

 
Le problème c'est que des évènements équiprobables a priori peuvent très bien ne plus l'être une fois conditionnés, tu ne peux pas renormaliser en probas, il faut le justifier. En l'occurence, le fait que le présentateur ait ouvert une porte vide nous en dit plus sur l'autre porte non choisie que sur celle choisie, car le présentateur ne pouvait ouvrir de toute façon qu'une des deux portes non choisies. Le conditionnement n'a donc pas le même effet sur la proba de la porte choisie que sur celle de la porte restante, et la renormalisation tombe à l'eau, exactement comme dans le cas où le présentateur sait ce qu'il fait.

Regarde la différence entre ma démo 1) et la démo initiale 2) :
 
1) Posons X la somme minimale :
- 50 % de chances que j'ai tiré le gros chèque. Alors si je change, je gagne X
- 50 % de chances que j'ai tiré le petit chèque. Alors si je change, je gagne 2 X
Donc mon espérance en changeant est de (X + 2 X) / 2 = 3/2 X
 
2) Posons N la somme du chèque tiré :
- 50 % de chances que j'ai tiré le gros chèque. Alors si je change, je gagne N/2
- 50 % de chances que j'ai tiré le petit chèque. Alors si je change, je gagne 2 N
Donc mon espérance en changeant est de (N/2 + 2 N) / 2 = 5/4 N
 
L'escroquerie du second raisonnement, c'est que N n'est pas le même en fonction du scénario : le N du 1er tiret vaut 2 fois le N du second tiret. C'est très subtile

 
Et 3/2 * X itou si on ne change pas.
 
 

 
Et elle vaut N si on ne change pas
 

 
Non, Les deux N sont bien égaux. Le problème n'est pas là. Par contre, la question de savoir quelle est la probabilité (ou la densité de probabilité) que l'oncle décédé ait mis un petit chèque valant X est effectivement un point crucial dans le problème.

Même remarque qu'un post plus haut : après avoir vu que le présentateur a ouvert 98 portes sans rien derrière, tu as plus de raison de penser qu'il a eu de la chance (1/99) plutôt que tu aies choisi la bonne du premier coup (1/100). Donc a posteriori, c'est à dire après avoir vu comment les choses se sont passés, tu as intérêt à changer.

Et si vous n'êtes toujours pas convaincus, regardez ma formalisation du problème postée, les connaissances du présentateur n'y rentrent pas en ligne de compte.

Non ca ne nous dit rien du tout. Ici, on est dans un cas, ou il aurait tres bien pu choisir la porte gagnante. Son choix n'est porteur d'aucune information (il ne serait pas aléatoire sinon).
A+,

Mais cette proba là, on s'en fout, non, vu qu'on sait déjà qu'il a éliminé 98 mauvaises portes ? Comment il les a éliminées, ça n'est pas la question une fois que l'info est connue: si on fait une modélisation informatique du problème, pour trancher (comme ce qui avait été suggéré pour le premier cas), on va être bien emmerdés: dans les deux cas, celui là comme le précédent, je ne vois pas où il pourrait y avoir une différence dans la modélisation, puisque ce qu'on modélisera, c'est les 98 mauvaises portes qui sont éliminées (ton programme sera équivalent que la raison de l'élimination des 98 mauvaises portes soit une préconnaissance de l'animateur ou un coup de bol).

Dans un cas, l'animateur sélectionne les mauvaises portes parce qu'il sait où elles sont, dans l'autre, il les sélectionne parce qu'il a du bol. Je ne vois pas l'utilité de savoir par quel moyen l'animateur obtient la connaissance des mauvaises portes (par bol ou par préconnaissance). L'info qu'on obtient est systématiquement la même. Et je ne vois pas l'intéret de faire remarquer que l'animateur avait 1 chance sur 99 de faire ce choix là, puisque dans le problème, tu ne t'intéresses précisément qu'à ces cas là: les 98 autres chances ne font donc pas partie des "possibilités" à prendre en compte.

Les données d'entrées c'est: J'ai choisi une porte au pif, 98 mauvaises portes ont été éliminées. Dois-je changer ? Intuitivement oui, pour les mêmes raisons que la première fois (enfin à mon sens).

Non, après ouverture de porte vide, nous ne sommes plus dans un cas où il aurait pu choisir la porte gagnante, nous somme dans un cas où il a choisi une porte vide et peu importe pourquoi.
Peu importe l'information donnée par le choix du présentateur (nulle ici en effet), ce qui est important c'est ce qui est révélé par ce choix aléatoire. Ce qui est révélé, c'est que derrière la porte vide, il n'y a rien. A mettre en parallèle avec le cas où le présentateur sait où est la voiture : il ouvre une porte derrière laquelle il n'y a rien.

Après ouverture d'une porte vide, dans les deux cas, tu  retrouves les mêmes évènements. Et les probabilités a posteriori ne s'appuyant que sur ces évènements et sur la connaissance a priori des probabilités que chaque porte soit gagnante, les données des deux problèmes à ce stade sont strictement identiques.

Une fois un évènement passé, les probabilités de cet évènement avait de se produire n'importent plus, et seul compte ce qui est encore incertain.

Voilà, je ne sais pas si je t'ai convaincu, de toute façon les explications avec les mains ne marchent qu'un temps, regarde la formalisation que j'ai faite du problème pour en avoir le coeur net.

Dans le problème initial, le présentateur ne pouvait pas selectionner de porte gagnante, dans le second probleme ca pouvait tres bien lui arriver, simplement pour le tirage précis que l'on considère, cela n'est pas arrivé. La est la dissymétrie des deux problèmes.
A+,

Tu n'as en rien montré en quoi les 4 événements finaux de ma dém ne sont pas équiprobables. J'attends une argumentation a ce sujet avant d'être convaincu.
A+,

 
Il y a 100 possibilités équiprobables :
- 1 où j'ai choisi la bonne porte
- 99 où j'ai choisi la mauvaise porte
 
Dans ces 99 :
- 98 fois le présentateur va se planter
- 1 fois il va laisser la bonne porte
 
Si le jeu continue, c'est que :
- soit j'ai eu vachement de chance et j'ai choisi la bonne porte (1/100) ET le présentateur n'a eu aucun mérite (99/99)
- soit le présentateur a eu vachement de chance (1/99) ET pas moi (99/100)
La probabilité est la même pour ces 2 scénarios.
 
Autrement dit, à ce stade du jeu, il y avait autant de chances que je tombe directement sur le trésor ou que ce soit le présentateur qui le fasse. Ce qui, énoncé ainsi, paraît relativement évident.

 
Dissymétrie d'apparence seulement, car ce qui aurait pu arriver n'importe plus une fois ce qui est arrivé observé.

Oui, toutes les stratégies se valent.
 

Oui, mais N est une variable aléatoire, donc ça n'a aucun sens.
 

Pourtant, dans un cas j'obtiens N/2, dans l'autre 2N => soit 4 fois plus. Il ne peut pas y avoir 50 % de chances d'obtenir une somme et 50 % d'obtenir une somme 4 fois plus grande, alors qu'on sait que le rapport entre ces 2 sommes vaut 2 ! Le raisonnement est faux.

Dans le second problème, ça ne "pouvait pas arriver" non plus, puisqu'on ne choisit d'étudier que les cas où ça arrive. Les cas où ça n'arrive pas sont de fait exclus des cas considérés, non ?

Vla le dialogue qui me semble surréaliste:
- Alors Mr de Vaucanson, vous choisissez de changer de porte ou pas ?
- Hum, et bien ça dépend
- Ah mais regardez, 98 mauvaises portes sont ouvertes, de quoi cela pourrait-il bien encore dépendre, ne disposez vous pas de toutes les informations qu'il vous faut pour faire votre choix ?
- Et bien non, mon choix dépendra de vous
- De moi ?
- Oui: Avez-vous éliminé ces portes au hasard, ou saviez-vous à l'avance lesquelles étaient les mauvaises ?
...
- Hum et bien à vrai dire, je me souvenais de 97 mauvaises mais pour la dernière, j'ai choisi au pif...
- Vous faites chier

Certes, mais c'est le fait que le présentateur disposait d'une info qui fait que ce n'est plus aléatoire et equiprobable dans le premier cas. Parce que les choix du présentateur sont contraints par cette info.
Le dialogue peut donc te sembler surréaliste, mais il est justifié.
A+,

 
Hé oui ! Autrement dit, la question est de savoir qui de vous 2 a de la chance. En matière de probabilités, cette question a tout à fait sa place.

Ce n'est pas mon impression en ce cas précis.
A+,

 
Ce qui me heurte, là dedans, c'est que dans le second cas, les seuls cas que l'on considére sont également contraints de la même façon.  
 
Que penses-tu de ce que je dis plus haut sur la simulation informatique permettant de faire une étude statistique pour vérifier, sur un très grand nombre de cas ? Comment différencierais-tu le premier cas du second ?

 
Hop hop, on se place après que le présentateur a ouvert 98 portes sans rien derrière pour prendre la décision de changer ou pas. A ce moment là, soit tu as eu 1/100 de chances de choisir la bonne, soit dans les 99 fois sur 100 restantes il a tout ouvert sauf la bonne porte.
 
Au temps pour moi, le message auquel tu réponds était faux, en fait tu as très très largement intérêt à ouvrir la porte restante.

Il faudrait aussi prendre en compte tous les cas où le présentateur se plante. Ca ne pose pas de problème puisqu'à ce moment là le jeu s'arrête.

Voici ce qui ne colle pas dans le nouveau probleme, dans la demonstration de _iOn_ IMHO.
A+,
 

 
Probabilité que ma porte soit la bonne = 1/100 (là on est d'accord !)
Probabilité que la porte du présentateur soit la bonne = probabilité que ma porte soit la mauvaise (1er évènement nécessaire) x probabilité que le présentateur élimine toutes les mauvaises portes (2ème évènement nécessaire) = 1/100

 
Pourtant l'on se place dans le cas où la porte ouverte au hasard par le présentateur ne cache pas de voiture. Les données de ce problèmes imposent donc la même contrainte P(B bonne | A choisie, B ouverte) = 0

Et P(la porte du présentateur soit la bonne) != P(la porte du présentateur soit la bonne | le présentateur n'a ouvert que des portes vides)

a priori vs a posteriori
(oui j'aime ce mot )

 
Bah pourtant dans l'énoncé tu ne les prends pas en compte: tu ne te places QUE dans les cas où il a éliminé 98 mauvaises portes, donc la simulation n'a pas à simuler les cas hors sujet.

C'est vrai que comme c'est dit, on dirait qu'on considère que l'animateur est "obligé d'avoir de la chance".

Ah, je comprends où ça coince chez certains.
 
En fait, je me place dans le cas où le présentateur a de la chance, parce que sinon, le jeu s'arrête et je ne peux pas poser ma question ! Ca ne veut pas dire que 98 fois sur 100, personne ne se plante.
 
Il faut bien comprendre : ma question n'a de sens que lorsque le présentateur ou le joueur ont de la chance. Mais pour répondre à la question, il faut bien évidemment prendre en compte toutes les autres possibilités, sinon comment voulez-vous calculer une probabilité !

Ben oui, sinon on se ramène au cas numéro 1 où le présentateur sait où est le trésor.
 
Mais d'un autre côté, il faut bien faire l'hypothèse que le présentateur a de la chance pour poser la question. Bon allez, mea culpa pour la question ambiguë

 
Ah non c'était pas ambigu pour moi, j'avais bien compris le problème comme tu l'as présenté, HdV aussi je pense.
 
Bon on peut faire simple : quand tu choisis ta porte sur 100 tu as une chance sur 100 de trouver la bonne. Et comme la voiture ne change pas de place après, tu as toujours une chance sur 100 d'avoir choisi la bonne voiture, sachant que le présentateur a ouvert 98 portes vides.
 
Est-ce que tu es d'accord avec ça ?

Oui
 
(mais si c'est le début d'une longue série de questions, je te préviens : je pars faire des courses là !)

On peut distinguer deux événements dans l'univers :
 
A : l'auto est derrière la porte 1
 
B : l'auto est derrière l'une des portes 2....100 (extensible à volonté, n portes par exemple )
 
Les événements A et B sont indépendants, donc P(A) = 1/n et P(B) = 1-1/n; Ces probabilités ne changent pas quelque soit le développement ultérieur, car notre univers est toujours constitué de ces deux événements.
 
Donc si, par le plus grand des hasards, le présentateur parvient au hasard à en éliminer toutes sauf une dans l'ensemble B, il faut changer car on a toujours p(B) = 1-1/n.

 
Ah non t'inquiète pas c'était ma seule question    
 
Ces deux évènements sont complémentaires : {choisi la bonne porte} et {choisi la mauvaise porte}
 
Donc P({choisi la bonne porte}|le présentateur a ouvert 98 portes vides) + P(({choisi la mauvaise porte}|le présentateur a ouvert 98 portes vides) = 1
 
P({choisi la bonne porte}|le présentateur a ouvert 98 portes vides) = 1/100
P({choisi la mauvaise porte}|le présentateur a ouvert 98 portes vides) = 99/100
 
En sachant que le présentateur a ouvert 98 portes vides, le choix est donc clair.

 
Bien au contraire, mon cher, ils sont complémentaires c'est élémentaire.

pour moi, il y a
 
1/n qu'on ait la voiture
(n-1)(n-2)!/n! = 1/n qu'on n'ait pas la voiture et que le jeu aille au bout
(n-1)[(n-1)(n-2)! - (n-2)!]/n! = (n-2)/n qu'on n'ait pas la voiture mais que le jeu s'arrête avant la fin
 
 
exemple : A = voiture
Première colonne = mon choix
Dernière colonne = porte restante à la fin
   et le jeu se poursuit jusqu'à la fin
  le jeu se finit avant la fin
 
 
A B C D  
A B D C  
A C B D  
A C D B  
A D B C  
A D C B  
 
 
 
B A C D  
B A D C  
B C A D  
B C D A  
B D A C  
B D C A  
x3
 
En tout, il y a 24 cas possibles :  
6/24    
(2x3)/24
(4x3)/24

Exact   Confusion dans les mots : leur somme est égale à 1.