Je prends le parti de présenter un article qu'il aura fallu en quelque sorte extorquer à Rémi. Rémi travaille dans un secteur d'activité ou le traitement numérique sert à l'encodage de l'analogique vers le numérique et lycée de Versailles. D'autre part, Rémi a le goût de l'Audio et depuis trois années maintenant il participe activement à TVC. Au fil de ses différents travaux, une idée à commencer à germer, qui s'est développée petit à petit. Nous avons eu l'occasion d'en discuter à maintes reprises, et ce qui n'était au départ qu'une idée séduisante s'est transformé petit à petit en projet.
Vous savez comment cela se passe, les projets ne sont parfois jamais enclenchés. Mais Rémi est pugnace et le projet à commencé à prendre forme. En ayant travaillé sur les question du signal SPDIF et d'horloge, des interfaces de sortie mais aussi d'entrée, sur les convertisseurs et sur l'audio numérique en général, il était tentant de réutiliser toutes ces briques, d'en ajouter d'autres et de concevoir le projet exposé ci-dessous.
De nos échanges quotidiens, j'avais deux sentiments : d'une part qu'il fallait que le projet soit exposé au lectorat de TVC et du fil, parce qu'il éclaire de nombreux points, je vais y revenir, et d'autre part je savais pertinemment que j'étais incapable de produire un compte rendu fidèle du projet : Rémi m'accuse en rigolant de "faire des approximations de Bac+5", le salop 
. Pour ne pas produire des approximations caricaturales, Rémi a réussi à trouver le temps de rédiger une présentation du projet et je l'ai un peu aidé de telle sorte que sa production littéraire ne soit pas totalement absconse pour le commun des mortels, du moins c'est ce que j'espère !
Sur la question de "poser les choses", il fut un temps ou je perdais le sommeil car je participais à quelques forums dans lesquels je pouvais lire qu'à partir du moment où l'on est en numérique, le son est parfait, qu'il n'y pas de différences entres les platines, surtout si elle ne sont utilisées qu'en drive etc 
... Aujourd'hui je dors bien mieux parce que je sais qu'il n'y a pas mort d'homme, nous sommes dans le domaine du loisir, et d'autre part, grâce aux travaux de Rémi, je peux expliquer pourquoi tous ces équipements sonnent différemment... Sauf que maintenant je m'en fiche, je préfère travailler sur les projets que chercher à convaincre les sourds.
Pour revenir au projet, il s'agit d'utiliser les travaux du génie qu'était Moses Wadia dont le premier brevet date de 1989 : vintage d'exception et audio, en avant !
Refaire un wadia
L'apparition de Wadia a été dans le monde de la HIFI l'équivalent d'un tremblement de terre. Pour la première fois, un DAC externe, construit comme un ordinateur avec des unités de calcul et de la mémoire pour les algorithmes audio, pour la première fois un appareil à la conception "scientifique" (dans le sens ou l'on pourrait l'opposer au terme "audiophile" ) proposait un rendu sonore dépassant tout ce qui était proposé à l'époque. Même les interface SPDIF étaient en avance sur leur temps. Wadia a défini une date charnière, dans l'histoire de la HiFi il y a un avant et après Wadia.
Les premiers Wadia, c'est à dire les Wadia 2000, 1000 et plus tard les X32 et les X64 sont des produits d'ingénieurs sans concession. Il faillait faire un convertisseur sur-échantilloné à 64 fois la fréquence de base (X64), et les ingénieurs ont mis les unités de traitements, les processeurs (CPU) nécessaires pour parvenir à leurs fins. La fréquence élevée de suréchantillonnage avec la méthode Wadia (interpolation fréquentielle) permet un filtrage spécifique par Wadia et se trouve donc condition requise pour le fonctionnement à la Wadia". Hélas Robert Wadia Moses décéda trop rapidement, seulement quelques années après la création de l'entreprise homonyme et c'est ainsi que l'esprit pionnier de Wadia s'étiola dans les produits suivants. L'exemple typique de cette déchéance est le Wadia 12 des années 1994. C'est une machine "budget" avec boitier misérable, une alimentation bien sage, et les nouveaux ingénieurs de la sociétés sont de cultures "hard" : le filtre est donc implémenté dans un FPGA. Mais comme ce type de composant est onéreux, le facteur de surchantillonage n'est que de 16x, ce qui ne permet pas de mettre en oeuvre correctement le système (interpolation fréquentielle et filtrage spécifique) imaginé par le fondateur. Le temps des ingénieurs au sein de Wadia est alors terminé, place aux commerciaux...
Motivations
Aujourd'hui, devant la quantité énorme de musique disponible au format CD Audio défini en 1983 (16 bits / 44.1 Khz), réaliser un convertisseur numérique / analogique (Digital Analog Converter ou DAC) optimisé pour jouer du 16 bits en 2010 a du sens. Quoi de mieux pour exploiter le CD audio avec des technologies adaptées ? Le lecteur DVD qui sur le papier des caractéristiques au dessus du CD fait un piètre lecteur de CD car ce n'est pas sa problématique principale. Le DVD a introduit le 24 bit 96 Khz, puis 192 Khz, le SACD est une branche morte dont le monde n'en fera rien même si tout DAC de TI, CS et autre ont un mode DSD.
Dans le monde DIY, un projet DAC est sympathique à plusieurs égards : projets à géométrie variable du simple au moyennement complexe, faible courant, faible tension, technologie nouvelle, la possibilité d'avoir les mêmes circuits que les constructeurs, la faible offre sur le marché de DAC a prix moyen jusqu'à quelques années en arrière ou les cartes DAC d'origine chinoise ont envahi le monde.
Dans le paysage audio :
- d'un coté le NOS a pris une place importante auprès des audiophiles maniant le fer à souder (Do It Yourself - DIY) et l'on verra que ce n'est pas une solution idoine,
- de l'autre côté on constate l'implémentation des PCM179x pour lesquels tout est figé dans le silicium par Texas Instrument, implémentation dans des DAC chinois : à quoi bon proposer un circuit de conversion avec 24bits alors que le bruit résiduel de l'alimentation ne permet pas de dépasser 16bits ? Pourtant, bien mise en oeuvre, la voie "Texas PCM179x" est bonne pour les constructeurs car c'est une solution économique permettant de proposer un DAC avec des mesures excellentes en dessous de 2500€.
Le NOS est une voie sans issue, une hérésie intellectuelle : on ne suréchantillone pas (NON OVER SAMPLING) et l'on ne peut pas filtrer à la sortie du DAC (anti-aliasing) ! Pour celui qui peut comprendre la théorie du filtrage numérique, ce qui n'est pas le cas de la plupart des bricoleurs. D'autres fabriquant de DAC savent pertinemment où sont les limites de leurs productions mais se taisent : les clients veulent du NOS, alors produisons du NOS ! Il faut absolument filtrer la sortie du DAC sans quoi ce n'est pas un DAC audio : les effets de recouvrements du spectre dûs a l'échantillonnage sont audibles. Même en NOS, il faut filtrer mais c'est encore plus difficile qu'avec de l'oversampling, voire extrêmement difficile. L'avantage du x64 et de rejeter l'image du spectre à plus de 3 Mhz : concevoir un filtre ouvre d'énormes possibilités tant les contraintes des systèmes x4 ou x8 ont été relâchées. Un filtre simple ordre dont la fréquence de coupure est située à 30 kHz, donne une atténuation -120 db a 3 Mhz (à confirmer).
La "troisième voie" est présentée dans cet article. On peut l'appeler TVC. Nos récents développements nous ont fait redécouvrir le Wadia X32 dont le prix en occasion est autour de 450€, pas beaucoup plus onéreux finalement que les DAC NOS dans un boîtier de misère, avec une alimentation gadget digne d'une calculatrice. Nous n'avons pas la prétention de faire mieux, le Wadia est déjà parfait - dans une certaine mesure - mais seulement l'intention de proposer une alternative au marché alors que les X32, produits d'occasion, sont rares.
Ainsi les lecteurs TVC qui voudront faire le pas auront un DAC à la hauteur. En 2010 il existe des DSP accessibles et peu coûteux : 10€ pour la fonction filtre suréchantillonneur, et les DACs PCM56 (http://focus.ti.com/lit/ds/symlink/pcm56.pdf) et PCM1702 ou PCM1704 (http://www.stereophile.com/news/10221/) sont encore en production bien que plus chers que les convertisseurs Delta Sigma avec filtre intégré PCM179x. Ces derniers sont plus faciles à mettre en oeuvre car ils nécessitent de moins d'alimentation et sont stéréo avec un ré-alignement temporel du canal gauche par rapport au droit.
Il est désormais possible de "refaire" un DAC X64, voire x128, à la Wadia. Pour la petite équipe TVCAudio c'est un projet très ambitieux, le résultat d'un parcours personnel, de rencontres et de passions, un projet qui a déjà pris 5 mois de recherches sur le filtrage et l'interpolation et va en prendre au moins encore autant, mais c'est aussi un projet complètement grisant. Bien entendu ce serait une belle cerise sur le gâteau de trouver quelques acheteurs, mais ne rêvons pas, sans notoriété, comment vendre un appareil alors que le marché est déjà bien encombré ? Un convertisseur TVCAudio ne fait pas travailler l'imagination
Histoire, le brevet
En 1989, Wadia Moses a déposé un brevet N°US5075880 (téléchargeable ici : http://www.patents.com/Method-appa [...] 5880.html) ou sont exposées les motivations d'un système de suréchantillonage x64. Ensuite Wadia donne rapidement la méthode générale pour réaliser un interpolateur temps réel, sans toutefois donner une application numérique.
A partir du brevet, une étude est nécessaire pour celui qui n'est pas spécialiste du filtrage numérique. Néanmoins avec google on trouve rapidement les articles fondateurs et toute une somme d'articles autour de la question.
Le brevet repose sur 3 points : le sur-échantillonnage élevé , les polynomes de Lagrange et la structure hybride logiciel/matériel du sur-échantillonage produite par :
un logiciel donnant un facteur 16 fois
une structure particulière des DAC donnant un facteur 4 fois soit un équivalent a 64 (16*4) avec 18 bits de résolution.
C'est l'ensemble des trois points qui font un wadia.
Sur échantillonnage
Le schéma ci dessus illustre la réplication du spectre dans un signal échantillonné. Sur la ligne du haut, la fréquence d'échantillonnage est de 48kHz et a chaque multiple de 48 kHz on trouve une répliquation du spectre vu a zéro. Toute la difficulté est de filtrer ces réplications et c'est le rôle du filtre d'un DAC. Si la bande audio va de 20 Hz à 20 Khz, il faut filtrer de 20 Khz a 24 Khz , ce qui est très difficile en analogique car les filtres d'ordre élevé ont tendance a chahuter la phase.
Tout les convertisseurs intégré comme les PCM179X et cs4394 ont un filtre intégré x8. Si le filtre entre 20 Khz et 384 kHz est relativement facile à faire (un ordre 3 suffit), Wadia fait la remarque que les images à 384k, 768k, 1152 Khz perturbent le fonctionnement des ampli op car les réplications sont dans la bande passante du composants. Voila pourquoi un dac chinois ne pourra pas faire un Wadia.
Le Wadia met la première réplication à plus de 3 Mhz, zone ou les ampli-op de l'époque ne sont plus sensible (OPA606 par exemple).
La limites du brickwall
Les filtres proposé par les sociétés de semi-conducteur comme BurrBrown (DF1700, DF1704) ou NPC utilisent une technique par transformées de Fourier pour faire le filtrage en fréquentiel et revenir en temporel. Ces filtres sont appelés "brickwall" mur de brique en raison des nombreux rebonds dans le spectre au delà de la fréquence de coupure. De telles solutions ont un mauvais comportement en phase, ce qui est rédhibitoire en audio, mais ultra répandu. C'est le noeud de la critique émise par Wadia à l'encontre de ce système, responsable du pré ringing et du post ringing, phénomène très visible sur la photo de droite (CD94, sommet de la gamme Marantz en 1986 motorisé par le Philips SAA7220).
Réponse sur une impulsion Wadia 1000
Réponse sur une impulsion Marantz CD94
Photos (c)2009-E. Juanéda
Les références en Audio
En plus de Wadia, on peut citer trois essais de constructeurs audio pour obtenir une impulsion "propre" (à des coûts extrêmes !) : le convertisseur Denon DA-S1 ainsi que le Luxman DA-07 et le Krell x64. Citons aussi Pioneer qui utilisa "son système" Legato Link dont les courbes étaient calquées sur celles du X32 et dont les avocats de Wadia se sont occupés (Pioneer CD65 présente un son "à la Wadia X32" mais Pioneer n'a pas bien copié et il reste davantage de résidus numérique dans le spectre audio. Une machine collector malgré tout !). Voici un schéma extrait de la documentation de Luxman (pour leur Fluency DAC) qui a le mérite de poser les choses d'un point de vue graphique :
Attention toutefois, les courbes proposées sont tirées de la documentation commerciale de Luxman. D'ailleurs, le signal stimuli de la courbe "Impulse Respone" est une vue d'artiste car dans la réalité, il s'agit d'un dirac c'est a dire des zéros partout sauf en 1 point.
La réponse du filtre
Tout DAC a une réponse particulière produite par son filtre. Par exemple, un PCM1792 une réponse comme suit :
Bien sur le niveau de ripple est très faible, moins de 10-5 db mais le fait est que le ripple existe ! L'image ci dessus est tiré de la documentation (datasheet) du PCM1792 et il est toujours intéressant de jeter un oeil sur le graphe de la réponse du filtre sur echantilloneur.
La simulation de filtre de Lagrange donne une réponse sans ripple. Le ripple est le signe d'une conception du filtre de surechantillongage
Le son du filtre
Tout ce qui est imagé ci-dessus se traduit a l'écoute par le son du filtre numérique. On peut bien avoir les meilleurs étages analogiques, le filtre numérique est toujours là, impossible de s'en défaire. Et ce n'est pas en optant pour le NOS que l'on règle le problème !
En prenant deux DAC de haute qualité, par exemple un Audio Synthesis et un Wadia X64, on constate qu'ils n'ont pas du tout la même proposition sonore, même si ce sont deux convertisseurs de très haut niveau : leur tonalité est différente. A ce titre, les essai dans les revues actuelles montrent rarement la réponse à l'impulsion, qui en dit beaucoup plus que les commentaires du journaliste ! La "sonorité" du filtre concerne 95% des DAC chinois ! On peut résumer cet état de fait par la maxime suivante : "sans bon filtre, point de bon DAC" !
La voie Wadia
Les références en Telecom
L'interpolation de Lagrange a été utilisé dans les années 50 pour retrouver des points à partir des points analogiques, mais cela n'a jamais une audience très large. C'est pourquoi, l'interpolation de lagrange n'est jamais décrite dans les textes de vulgarisation. Plus tard, on utilisera des interpolateurs pour augmenter le débit des communications numériques, sans considération de qualité auditive. Un article fait date (1973) et fait partie des références du brevet Wadia (la 4°). L'auteur s'arrête à l'ordre 8 car les tables ne vont qu'à 8. Néanmoins le choix d'un ordre 8 n'est pas une fantaisie et réponds à un meilleur filtre d'interpolation.
Aujourd'hui, les filtres up-sampler sont réalisés avec un algorithme Remez qui spécifie le filtre FIR par une ondulation dans la bande et hors bande et une atténuation. Cette méthode est la garantie d'un mauvais comportement en phase.
Interpolation et sur échantillonnage
Le sur-échantillonnage demande des points supplémentaires. Si le signal a 48 Khz donne 48000 échantillons / seconde, un système sur-échantillonneur L doit en donner Lx48000. cela fait L-1 nouveaux points supplémentaires. Pour un système x64, cela fait une fréquence d'échantillonnage de 3.072 Mhz et 63 nouveaux échantillons interpolés entre 2 échantillons vrais. L'interpolation est une vision temporelle du problème, tandis que le sur-échantillonnage est une vision fréquentielle.
La transposition dans l'audio
Au cours des lectures sur les interpolateurs, on rencontre plusieurs vues de la même problématique. La vue polynomiale est rassurante car on n'est pas très loin des mathématiques, c'est clair, mais l'interpolation des systèmes échantillonés n'est pas abordée. Dans le monde des filtres, le polynôme de Lagrange est vu comme un polynôme dont les coefficients sont calculables. Et puis se profile la notion de filtre passe bas pour filtre les alias dont la réponse impulsionnelle est déduite des Lagrangiens et au moment de la réalisation pratique, le FIR et les système polyphases entrent en jeu.
Si Wadia dans son brevet ne parle que de FIR c'est parce que les systèmes polyphases sont apparus aprés et le filtre Wadia est en fait un système polyphasé.
Pour ma part, je suis un informaticien et je pense "temps réel". Aucune des lectures effectuées durant ma recherche documentaire ne parlent de ma vision alors je vais l'introduire. Comme l'implémentation sera software et non hardware ( FPGA)
Toutes les x µs, il y a des calculs a faire. Une implémentation doit faire ces calculs dans le temps imparti. Ces calculs sont une interpolation de lagrange comme les livres de math exposent. Si on considère un x64 d'ordre 12 cela fait 64x12 soit 768 multiplications par unité 1/48000 de temps. Si l'on dispose d'un calculateur capable de calculer un polynôme pendant 1/32 de temps de sample de 48 Khz, alors on pourrant réaliser un filtre.
Simulation
Pour apréhender correctement la problématique, un logiciel de simulation est nécessaire pour tout vérifier avant d'avoir la platforme. Ce logiciel outre les calculs des coefficients, permet d'avoir des stimuli (sinus, step, dirac) et quelques fonctions de calcul pour obtenir le spectre de la sortie du filtre. Les algorithmes sont là, il suffira de les reporter dans la plateforme matérielle.
L'approche temporelle
Parmi tous les types de polynôme pour faire de l'interpolation polynomiale, celui de Lagrange est bien connu en Telecom mais demande un peu CPU pour calculer les "samples" ou "échantillons" intermédiaires (voir Interpolation dans Wikipedia). Toutes les autre polynomes sont proches mais moins couteux à implémenter. Pour nous, les polynômes de Lagrange constituent un point de départ. Ainsi il est possible de réaliser un sur-échantillonneur x32 ou x64 facilement. L'ordre des polynômes de Lagrange doit être assez élevé pour avoir une bonne interpolation, un ordre 8 est un minumun. Wadia dans son brevet décrit un système d'ordre 12, pour faire un 16-18 bits.
Sachant cela, la conception d'un logiciel de génération des coefficients des polynômes de Lagrange est nécessaire. On trouve des coefficients dans un recueil de Mathématiques (livre d'avant les ordinateurs dans les années 1930, Handbook of Mathematical Functions d'Abramowitz et Stegmun de page 900 à 913) jusqu'à l'ordre 8. Il faut donc concevoir un logiciel pour les ordres supérieurs avec le facteur de sur-échantillonnage voulu.
Développer les coefficients d'ordre 10 ou 12 est pénible, l'ordre 14 est tout simplement horrible, j'ai une pensée émue pour les calculateurs (spécialistes du calcul numérique avec crayon de papier et gomme), qui sans ordinateur faisaient déjà un tas de choses. Maintenant tout le monde dispose d'un PC surpuissant pour faire le kakou sur le Net. Quel gâchis !
Maxima est un logiciel de calcul symbolique, truc que les étudiants en math auraient voulu avoir, bien que les promoteurs de Maxima ne le conseillent pas, rien ne compense la compréhension. Les coefficients sont calculés à partir de ce programme :
A(Q, k, time) := b(Q, k) * po(Q ,k, t);
b(Q, k) := (-1)^(k+Q/2)/(((Q-2)/2+k)!*(Q/2-k)!);
po(Q ,k, t) := product(t+(Q/2)-i,i,1,Q)/(t -k) ;
C'est assez abscon, cela produit les polynomes sous la forme d'une sortie imprimante. C'est quand meme plus facile d'utiliser un calculateur symbolique que de le calculer à la main.
5 4 3 2
t t t t t
- --- + -- - -- - -- + --
120 24 24 24 20
5 4 3 2
t t t 2 t t
-- - -- - -- + ---- - -
24 6 24 3 2
5 4 3 2
t t 5 t 5 t t
- -- + -- + ---- - ---- - - + 1
12 4 12 4 3
5 4 3 2
t t 7 t 2 t
-- - -- - ---- + ---- + t
12 6 12 3
5 4 3 2
t t 7 t t t
- -- + -- + ---- - -- - -
24 24 24 24 4
5 3
t t t
--- - -- + --
120 24 30
Avec cela on peut calculer les polynomes jusqu'a l'ordre 14, mais il n'y pas de limite réelle. Lors de l'implémentation on verra qu'il y a quand même une limite.
L'interpretation de ces sorties imprimante est difficile mais une lecteur ( logiciel pour interpréter les lignes au dessus) permet de faire 95% du boulot. La misère pour un informaticien, pas en panne, pas totalement en fonctionnement non plus. Alors il faut contrôler à la main les ordres 1 et 0 la ou le lecteur ne peut pas décider. Comme l'usage est une seule fois, c'est convenable.
((-1/120 1/24 -1/24 -1/24 1/20 0)
(1/24 -1/6 -1/24 2/3 -1/2 0)
(-1/12 1/4 5/12 -5/4 -1/3 1)
(1/12 -1/6 -7/12 2/3 1 0 )
(-1/24 1/24 7/24 -1/24 -1/4 0)
(1/120 0 -1/24 0 1/30 0))))
Pour faire le calcul des coefficients du filtre, il faut conserver les nombres rationnels car se sont des nombres exacts. C'est a ce moment que l'on traduit le facteur de sur-échantillonnage, un ordre 16 comme ici donne 16 lignes. La premiere ligne est le temps 0, la ou la donnée vraie est prise et multipliée par le coef A(6,0) donc 1. Ensuite la ligne suivante est celle du temps 1/16, suivie de 2/16 ou finir 15/16. Ainsi on couvre l'espace entre 0 et 1. C'est la condition de phase linéaire de l'interpolateur de Lagrange avec un ordre pair. Ce point est fondemental et Wadia dans son brevet le dit. Le programme de sortie est fait en flottant pour pouvoir comparer avec le recueil de math. Mais suivant la plateforme il conviendra de sortie en virgule fixe.
Le calcul numérique est art, et le fait d'avoir des nombres rationnels (fraction) est un avantage car ils sont exacts. Quand on vise de faire un interpolateur d'ordre 12 voire 14, la précision des calculs n'est pas a sous estimé. Pour faire ce logiciel, un seul langage comme Common Lisp est envisageable. Pas la peine d'essayer en Java, C# c'est hors d'atteinte. Mais personne ne connait ce langage Lisp. Seul quelques programmeurs sont formés a cela, ils le pratiquent comme un art martial. En tout cas, les exemples de codes seront en Lisp et ce serait une bonne occasion pour un lecteur d'approcher Lisp.
A(6,-2) A(6,-1) A(6,0) A(6,1) A(6,2) A(6,3)
0.000000000000 0.000000000000 1.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000
0.002789013400 -0.027115407000 0.976154600000 0.061009664000 -0.014790222000 0.001952309300
0.005245598500 -0.049695146000 0.944207800000 0.125894370000 -0.029506494000 0.003853909200
0.007335950000 -0.067857540000 0.904767160000 0.193878680000 -0.043779057000 0.005654794600
0.009036826000 -0.081761755000 0.858498460000 0.264153360000 -0.057233230000 0.007306369500
0.010334844000 -0.091604290000 0.806117800000 0.335882430000 -0.069492914000 0.008762150000
0.011225779000 -0.097615466000 0.748385260000 0.408210130000 -0.080184130000 0.009978469000
0.011713856000 -0.100055850000 0.686097270000 0.480268100000 -0.088938534000 0.010915183000
0.011811049000 -0.099212810000 0.620080060000 0.551182270000 -0.095396930000 0.011536373000
0.011536373000 -0.095396930000 0.551182270000 0.620080060000 -0.099212810000 0.011811049000
0.010915183000 -0.088938534000 0.480268100000 0.686097270000 -0.100055850000 0.011713856000
0.009978469000 -0.080184130000 0.408210130000 0.748385260000 -0.097615466000 0.011225779000
0.008762150000 -0.069492914000 0.335882430000 0.806117800000 -0.091604290000 0.010334844000
0.007306369500 -0.057233230000 0.264153360000 0.858498460000 -0.081761755000 0.009036826000
0.005654794600 -0.043779057000 0.193878680000 0.904767160000 -0.067857540000 0.007335950000
0.003853909200 -0.029506494000 0.125894370000 0.944207800000 -0.049695146000 0.005245598500
0.001952309300 -0.014790222000 0.061009664000 0.976154600000 -0.027115407000 0.002789013400
On peut remarquer que A(6,0) est symétrique avec A(6,1) c'est la caractéristique des lagrangiens. Evidemment pour des applications high end audio un ordre 6 n'est pas suffisant.
avec la table ci-dessus on peut calculer les samples supplémentaires. Pour cela il faut avoir une mémoire Q samples, et donc d'un point de vue temps réel le système introduit un retard Q/2 samples.
Le calcul du filtre et Le bon Ordre
Si j'interroge mes collègues aucun me donnera deux fois la même réponse. Le seul point ou tout le monde est d'accord est que l'interpolation linéaire n'est pas convenable. Alors il faut évaluer la précision de l'interpolateur en comparant un stimuli et sa réponse à travers le filtres. Ainsi, si on veut faire un DAC 16 bit ou peut être se contenter d'un ordre moins élevée que pour un système 24 bits.
Réponse spectrale
Spectre de la phase
Réponse Impulsionnelle sin x /x fonction d'appareil
La simulation permet de voir les performances du filtre avant de l'avoir concu la carte avec les DSP. Les courbes ci-dessus permettent de qualifier les futures performances de l'interpolateur.
Des les premiers instant de la simulation, je fais face a un problème de précision. L'ordre 10 et 12 donnent le même résultat que l'ordre 6 ! Je modifie mon logiciel pour travailler en 'double-float et de suite l'ordre 12 et 14 dépassent le 10-15 ( petit, trés petites). Comme je suis en sinus, c'est un signal lent, je refait le test avec un dirac et
l'ordre 14 est meilleur qu'un ordre 12. Bof...... De toutes facons, c'est du logiciel on pourra le changer facillement.
Réponse de la phase
La phase linéaire est recommandé en audio, cela sonne juste.
Bande passante
A mesure que l'ordre et que le nombre de points pris en compte pour interpoler les nouveaux échantillons augmente, le bande passante s'accroît. Cela tends vers l'interpolateur idéal.
La bande passante de l'interpolateur parfait est
Conclusion
La réponse impulsionnelle est bien ressemblante à la réponse mesurée sur un Wadia réel. Le facteur de suréchantillonnage n'influence que spectre avec les réplications et bien sur le débit et n'a pas d'influence sur la réponse du filtre d'interpolation. Le seul paramètre qui agit sur la réponse est l'ordre de l'interpolateur de Lagrange. Et plus le l'ordre de l'interpolation est élevé plus l'interpolateur est performant.
Dans ce qui a été présenté dans cet article, sont des Lagragien d'ordre pair. L'ordre impair n'a pas une phase linéaire et c'est pour cette raison pour laquelle on le laisse de coté en audio. Il existe d'autre polynomes pour réaliser un interpolateur, ce que l'on reproche aux polynomes de Lagrange c'est leur cout d'implémentation. Il existe des filtres optimaux plus économiques mais qui n'interpolent pas mieux. Notre implémentation sera "software" et le cout est un facteur moins important.
Dans les premiers Wadia, l'ordre du polynôme est de 12 ce qui pour l'époque est un petit exploit car les outils de calcul symbolique n'étaient pas répandus comme aujourd'hui. Dans le cadre du projet, l'ordre sera choisi par les possibilités de calcul. Il est probable que l'on dépassera au moins l'ordre 12.
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