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  D.M. spé maths

 



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Auteur Sujet :

D.M. spé maths

n°884745
Crossman8
Posté le 29-10-2006 à 16:51:21  profilanswer
 

Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)

mood
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Posté le 29-10-2006 à 16:51:21  profilanswer
 

n°884798
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 19:07:18  profilanswer
 

Crossman8 a écrit :

Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)


Pas de récurence, normalement tout est simple.
 
Quelle est la conclusion générale de l'exo?

n°884799
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 19:10:30  profilanswer
 

Crossman8 a écrit :

Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)


faux
edit c'est ok (j'avais pas compris le n=0


Message édité par nazzzzdaq le 29-10-2006 à 19:40:05
n°884816
Crossman8
Posté le 29-10-2006 à 19:28:44  profilanswer
 

Ma conclusion est (x^2)+(y^2)+(z^2)congru a (2^(n-1))-1  a partir du rang n=3 et je prouve ceci avec de la reccurence ( il faut bien le prouver non ?)
 
Et j'ai compris pour " (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)" car l'énoncé dit pour au moins 2 sur 3 qui soient pairs donc le dernier peut être pair ou impair.  
 

n°884823
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 19:42:38  profilanswer
 

Crossman8 a écrit :

Ma conclusion est (x^2)+(y^2)+(z^2)congru a (2^(n-1))-1 a partir du rang n=3 et je prouve ceci avec de la reccurence ( il faut bien le prouver non ?)
 
Et j'ai compris pour " (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)" car l'énoncé dit pour au moins 2 sur 3 qui soient pairs donc le dernier peut être pair ou impair.


pour x,y,z impairs non?

n°884826
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 19:44:46  profilanswer
 

et pour n >= 1


Message édité par nazzzzdaq le 29-10-2006 à 19:50:57
n°884833
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 19:56:30  profilanswer
 

x, y ,z impair donc
x= 2p+1
y=2q+1
z=2r+1
tu remplaces dans X²+y²+z² t'obtiens
4(P²+q²+r²+p+q+r)+3 = 8(p(p+1)/2 +q(q+1)/2+r(r+1)/2) + 3=  3 mod(8)
 
où est la récurrence?


Message édité par nazzzzdaq le 29-10-2006 à 20:04:00
n°884835
nazzzzdaq
Posté le 29-10-2006 à 20:00:52  profilanswer
 

Quant à la conclusion relis le début de l'énoncé:
"On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n] "
Conclusion:
ben oui, ça existe
Quand n = 0 x, y,z = n'importe quel entier de N
Quand n>=1 c'est lensemble des x,y,z tous impairs

n°884902
Crossman8
Posté le 29-10-2006 à 21:00:54  profilanswer
 

Oui je me suis trompé la conclusion était pour tous impairs.
 
Mais la derniere question montre que la proposition ( dont on veut demontrer lexistence) est fausse pour tous impairs et de même ( la question d'avant) que c'est faux pour 2pairs et 1 impair.
 
Donc je suis un peu embrouillé car là on a lexistence que pour n=0 et n=1 et n=2 (avec que des impairs) et je pense que ta conclusion est fausse aussi ( cf derniere question ) éclaire moi stp   :pt1cable:  
 
 
Ps: merci pour prouver que (P²+q²+r²+p+q+r) divisble par 2 je l'avais pas fait avec les nombres consecutifs c'est pour ca que c'etait plus long ;)
 

n°885002
nazzzzdaq
Posté le 30-10-2006 à 00:44:05  profilanswer
 

Non, en fait les deux première questions sont là pour te faire "réfléchir" sur des cas concrets. La troisième question est vraiment une généralisation pour tout n>=1.

mood
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Posté le 30-10-2006 à 00:44:05  profilanswer
 

n°885003
nazzzzdaq
Posté le 30-10-2006 à 00:49:14  profilanswer
 

Crossman8 a écrit :

Oui je me suis trompé la conclusion était pour tous impairs.
 
Mais la derniere question montre que la proposition ( dont on veut demontrer lexistence) est fausse pour tous impairs et de même ( la question d'avant) que c'est faux pour 2pairs et 1 impair.
 
Donc je suis un peu embrouillé car là on a lexistence que pour n=0 et n=1 et n=2 (avec que des impairs) et je pense que ta conclusion est fausse aussi ( cf derniere question ) éclaire moi stp   :pt1cable:  
 
 
Ps: merci pour prouver que (P²+q²+r²+p+q+r) divisble par 2 je l'avais pas fait avec les nombres consecutifs c'est pour ca que c'etait plus long ;)


Ben , pour tous xyz impairs et pour n >=1, la proposition est vraie.
Pour n = 0, la proposition est vraie quelquesoit x,y,z (c'est une conséquence du modulo 1...)


Message édité par nazzzzdaq le 30-10-2006 à 01:05:36
n°885009
nazzzzdaq
Posté le 30-10-2006 à 01:04:56  profilanswer
 

QED


Message édité par nazzzzdaq le 30-10-2006 à 01:05:47
n°885091
Crossman8
Posté le 30-10-2006 à 11:15:45  profilanswer
 

Je comprend pas quand tu dis :  
 
 "Ben , pour tous xyz impairs et pour n >=1, la proposition est vraie."
car la dernière question montre que c'est faux justement (avec n = 3)
 
Ps: Le sous titre de la 2eme partie de l'exo est : " Etude du cas général  
      où n >=3 ".

n°885678
nazzzzdaq
Posté le 30-10-2006 à 22:41:21  profilanswer
 

Non ma conclusion est fausse. (désolé).
En fait "(x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]"  est fausse à partir de n>=3  
 
on a montré que:
(x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8]
Donc si
(x^2)+(y^2)+(z^2) = (2^n)-1[modulo2^n] = -1  [modulo2^n]
Ca veut dire
3 [modulo8] = -1  [modulo2^n]
soit
2=2^n x q - 8  x q'
ou encore
2=8x(2^(n-3) x q - q'), impossible pour n>=3


Message édité par nazzzzdaq le 30-10-2006 à 22:42:45
n°885769
Crossman8
Posté le 30-10-2006 à 23:58:40  profilanswer
 

"soit  
2=2^n x q - 8  x q'  
ou encore  
2=8x(2^(n-3) x q - q'), impossible pour n>=3"
 
Je comprend pas comment tu arrives a cette ligne, un peu plus de détais pour mon cerveau qui suit pas ^^

n°886337
nazzzzdaq
Posté le 31-10-2006 à 21:18:44  profilanswer
 

Putain j'ai encore fait faux (demain j'arrête la dope c'est promis).
Bon en fait il faut lire
4=8x(2^(n-3) x q - q'), tourjours impossible pour n >=3

n°886343
Crossman8
Posté le 31-10-2006 à 21:25:02  profilanswer
 

Oui je comprends bien que c'est impossible pour n>=3
mais comment fais tu pour arriver à cette équation avec des q et q'    
en partant de 3[modulo8] = -1[modulo 2^n] ?

n°886357
nazzzzdaq
Posté le 31-10-2006 à 22:06:30  profilanswer
 

Bon ,en synthèse, on a:
 
Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]  
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
 
1^2+1^2+1^2 mod(4)= 3 mod(4)
3^2+3^2+3^2 mod(4) = 9 + 9 + 9 mod(4) = 1 + 1 + 1 mod(4) = 3mod(4)
5^2+5^2+5^2 mod(4) = 25 + 25 + 25  mod(4)= 1 + 1+ 1 mod(4) = 3 mod (4)
 

 
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)  

x -> x² mod(8)
1 -> 1 mod (8)
2 -> 4 mod(8)
3 -> 9 = 1 mod(8)
4-> 16 = 0 mod(8)
5-> 25 = 1 mod(8)
6 ->36 = 4 mod(8)
7 -> 49 = 1 mod(8)
 
pair + pair -> pair
pair + impair -> impair
 
donc, pour que x²+y²+z²= 7 mod(8), il faut que x²+y²+z² soit impair c'est à dire que:
- soit 1 terme sur 3 impairs -> 3 possibilités: {1,0,0}, {1,4,0},{1,4,4}. Aucune de ces trois possibilités vérifie x²+y²+z²= 7 mod(8)
 
- soit les 3 termes sont impairs -> 1 possibilité {1,1,1}. Cette possibilité ne vérifie pas x²+y²+z²= 7 mod(8)

         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]  
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:  
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)

pair + pair -> pair
pair + impair -> impair
Par conséquent, pour vérifier (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n] , il faut que x²+y²+z² soit impair, c'est à dire qu'il faut que soit un terme sur trois soit impair ou tous les termes soient impairs.
 
 

           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)  

x²=(2p)²=4p²=0 mod(4)
y²=0 mod(4) idem
z²=(2q+1)²=4q²+4q+1=1mod(4)
x²+y²+z²=1mod(4)

           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.  
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  

x, y ,z impair donc  
x= 2p+1  
y=2q+1  
z=2r+1  
 X²+y²+z² =  
4(P²+q²+r²+p+q+r)+3 = 8(p(p+1)/2 +q(q+1)/2+r(r+1)/2) + 3=  3 mod(8)
donc si X²+y²+z² = (2^n)-1[modulo2^n] = -1 mod(2^n) alors
3 mod(8) = -1 mod(2^n)
donc il existe q, q' tels que
8q+3=2^n x q' -1 soit
8 x (2^(n-3) x q' - q) = 4
2 x (2^(n-3) x q' - q) = 1
 
impossible si 2^(n-3) x q' - q appartient à N soit n >=3


Message édité par nazzzzdaq le 31-10-2006 à 22:13:30
n°886360
nazzzzdaq
Posté le 31-10-2006 à 22:11:06  profilanswer
 

.


Message édité par nazzzzdaq le 31-10-2006 à 22:11:32
n°886383
Crossman8
Posté le 31-10-2006 à 23:02:40  profilanswer
 

J'avais tout fait comme toi sauf pour la conclusion ou je bloquais.
Merci pour tout nazzzzdaq :)

n°886418
Crossman8
Posté le 01-11-2006 à 00:01:05  profilanswer
 

Et une dernière question est-ce que je peux rajouter que à partir du rang n>=3 : x^2+y^2+z^2 congru a (2^(n-1)) -1 [modulo2^n] ?  
est-ce vrai ?

n°886424
nazzzzdaq
Posté le 01-11-2006 à 00:35:57  profilanswer
 

Ben non je crois pas. Pour t'en assurer résouds:
2^(n-1) - 1 mod(2^n)=3 mod(8)

n°886431
Crossman8
Posté le 01-11-2006 à 01:16:43  profilanswer
 

J'arrive à (2^n) x (q + 1/2 + q' ) = 0
donc q + 1/2 + q' doit etre égal a 0 pour que l'équation soit bonne or c'est impossible car q et q' positifs.

n°886434
nazzzzdaq
Posté le 01-11-2006 à 01:25:41  profilanswer
 

C'est surtout parceque q et q' sont des entiers...

n°886772
Crossman8
Posté le 01-11-2006 à 18:44:05  profilanswer
 

A oui surtout et même seulement je crois ^^.
 
Merci de m'avoir aidé !

n°887123
Crossman8
Posté le 01-11-2006 à 23:17:21  profilanswer
 

C'est encore moi :) l'énoncé exact de la première question est :
 
1. Dans cette question on suppose n=2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.  
   Est ce que la question posée n'est pas plutôt pour x=1, y=3 et z=5 ? ( car cela marche aussi )  

n°887186
nazzzzdaq
Posté le 02-11-2006 à 08:39:01  profilanswer
 

ca marche dans tous les sens puisque  
1^2=3^2=5^2 =1

n°887399
Crossman8
Posté le 02-11-2006 à 14:00:47  profilanswer
 

Oui j'ai vu mais la question posée c'est pour x=1, y=3 et z=5 ?
 ou x=1, y=1 et z=1
     x=3, y=3 et y=3
     x=5, y=5 et z=5 ?

n°887826
nazzzzdaq
Posté le 02-11-2006 à 22:08:50  profilanswer
 

Ben ça marche dans tous les sens.
La meilleure réponse pour le 1. est:
1^2=1mod (4)
3^2=1mod (4)
5^2=1mod (4)
par conséquent on a prouvé que
x²+y²+z² = 3 mod(4) avec (x,y,z) appartenant à {1,3,5} x {1,3,5}x{1,3,5}


Message édité par nazzzzdaq le 02-11-2006 à 22:11:06
n°887832
nazzzzdaq
Posté le 02-11-2006 à 22:14:53  profilanswer
 

On peut même montrer facilement que
x²+y²+z²= 3 mod(4) pour x,y,z impairs:
Soit n un entier,
n est impair soit n=1mod(4) soit n = 3mod(4) = -1mod(4)
par conséquent n²=1mod(4)
donc
Quelquesoit x,y,z impairs,
x²+y²+z²= 3 mod(4)
donc 1,3,5 satisfient la condition
(réponse encore meilleure pour le 1.)


Message édité par nazzzzdaq le 02-11-2006 à 22:18:15
n°887859
Crossman8
Posté le 02-11-2006 à 22:37:07  profilanswer
 

ok merci pour cette petite précision .

n°888416
kelly0181
Posté le 03-11-2006 à 18:04:32  profilanswer
 

Salut ! j'aurais besoin d'aide pr de la spé !
Trouvez les entiers tq xyz = 4(x+y+z) avec 0<x inférieur ou égal à y inférieur ou égal à z ! merci de me help c pr lundi ! ou au moins me dire de quoi tu pars !

n°888530
nazzzzdaq
Posté le 03-11-2006 à 20:27:31  profilanswer
 

Une question par topic stp!

n°888562
nazzzzdaq
Posté le 03-11-2006 à 21:30:33  profilanswer
 

le réponse est:
il n'y a qu'une seule solution. Cette solution est  
x= 6
y=4
z=2
 
EDIT: C'EST FAUX (VOIR SUJET DEDIE)


Message édité par nazzzzdaq le 07-11-2006 à 21:16:50
n°888834
kelly0181
Posté le 04-11-2006 à 11:48:42  profilanswer
 

Je suis d'accord avec toi j'ai trouvé ça aussi ! mais je sais pas comment démarrer ! t'as fais cmt pr arriver là toi ? au pif cmme moi ou... ?

n°888838
nazzzzdaq
Posté le 04-11-2006 à 11:52:41  profilanswer
 

UNE QUESTION PAR TOPIC
Créé un nouveau topic d'abord, je te donnerai la solution ensuite...
 

n°888952
kelly0181
Posté le 04-11-2006 à 14:55:34  profilanswer
 

Ca y est !

mood
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