Forum |  HardWare.fr | News | Articles | PC | Prix | S'identifier | S'inscrire | Aide | Shop Recherche
1321 connectés 

  FORUM HardWare.fr
  Emploi & Etudes
  Aide aux devoirs

  petite démonstration de maths !

 



 Mot :   Pseudo :  
 
Bas de page
Auteur Sujet :

petite démonstration de maths !

n°878887
mamz3ll3
Imagine, it's easy if you try.
Posté le 19-10-2006 à 13:06:19  profilanswer
 

Bonjour à tous !!!
 
Voilà une petite démonstration de maths qui me pose un peu problème.
Si vous pouviez m'aider ! :)
 
Montrez que n(n+1) est pair.  
Ou encore (formulé differement) Montrez que le produit de deux nombres consécutifs est pair.
 
Merci bcp ! @ bientôt.


---------------
Mam'zelle.
mood
Publicité
Posté le 19-10-2006 à 13:06:19  profilanswer
 

n°878888
Library
Posté le 19-10-2006 à 13:08:03  profilanswer
 

c'est une blague ?

n°878893
double cli​c
Why so serious?
Posté le 19-10-2006 à 13:21:21  profilanswer
 

il se passe quoi si n est pair ? et si n est impair ?


---------------
Tell me why all the clowns have gone.
n°879419
dr4cul4-
Posté le 20-10-2006 à 10:05:52  profilanswer
 

double clic a écrit :

il se passe quoi si n est pair ? et si n est impair ?


 
Et comment est definit un nombre paire?

n°879456
izu
Posté le 20-10-2006 à 10:48:51  profilanswer
 

Pour tout p dans N (ou Z), n = 2p est pair (c'est un multiple de 2) et n = 2p+1 est impair (le reste de sa division par 2 est 1)

n°879460
Oski
Posté le 20-10-2006 à 10:54:38  profilanswer
 

izu a écrit :

Pour tout p dans N (ou Z), n = 2p est pair (c'est un multiple de 2) et n = 2p+1 est impair (le reste de sa division par 2 est 1)


A moins que tu prouves qu'avec les nombres de la forme n=2P et n=2P+1 tu recouvres tout Z, ce n'est pas vraiment une définition d'un nombre pair, mais plus une caracterisation d'un certain nombre d'éléments de Z.
 
Un nombre pair est tout simplement un nombre entier dont le reste par la division par 2 est nul. C'est pas loin de ce que tu ecris, mais c'est dans l'autre sens : "n dans Z est pair ssi il existe p dans Z tel que n=2p".

n°879949
nazzzzdaq
Posté le 21-10-2006 à 01:14:29  profilanswer
 

2p c'est un nombre pé-paire
 
Ok je sors

n°881147
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 14:06:56  profilanswer
 

En partant de la propriété :

Oski a écrit :

"n dans Z est pair ssi il existe p dans Z tel que n=2p"


 
Soit un nombre n dans Z:
si n est paire,  
   il existe un entier q dans Z tel que n=2q.
   n(n+1)= 2q (2q+1) = 2 [q(2q+1)]. Soit p= q(2q+1) dans Z, on a n(n+1)=2p. Donc n(n+1) est pair.
si n est impaire,  
   n+1 est paire donc il existe un entier q dans Z tel que n+1=2q.
   n(n+1)= n (2q) = 2 nq. Donc n(n+1) est pair.

n°881151
Oski
Posté le 23-10-2006 à 14:20:02  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

En partant de la propriété :
 
 
Soit un nombre n dans Z:
si n est paire,  
   il existe un entier q dans Z tel que n=2q.
   n(n+1)= 2q (2q+1) = 2 [q(2q+1)]. Soit p= q(2q+1) dans Z, on a n(n+1)=2p. Donc n(n+1) est pair.
si n est impaire,  
   n+1 est paire
donc il existe un entier q dans Z tel que n+1=2q.
   n(n+1)= n (2q) = 2 nq. Donc n(n+1) est pair.


Si tu tiens à faire un truc rigoureux (ce qui vu le nivequ de la question est quand même la moindre des choses, sinon toute la démo ne sert à rien), ce serait bien d'expliquer d'où tu sors ce que j'ai surligné en gras. Trop facile sinon.

n°881155
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 14:30:07  profilanswer
 

Ha oui, c'est pas faux.
 
Si n est impaire, il existe un entier p dans Z tel que n=2p+1.
n+1 = (2p+1)+1 = 2p+2 = 2(p+1). Donc n+1 est paire.

Message cité 1 fois
Message édité par dr4cul4- le 23-10-2006 à 14:36:09
mood
Publicité
Posté le 23-10-2006 à 14:30:07  profilanswer
 

n°881158
Oski
Posté le 23-10-2006 à 14:38:17  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Ha oui, c'est pas faux.
 
Si n est impaire, il existe un entier p dans Z tel que n=2p+1.n+1 = (2p+1)+1 = 2p+2 = 2(p+1). Donc n+1 est paire.
 
Sauf pour -1 et 1, mais ne me rapelle plus comment cela ce démontre


Ca marche aussi pour -1 et 1, je ne sais pas où tu as vu un problème. En revanche, ce que tu as écrit suppose que tu connaisses la définition d'un nombre impair (ce que j'ai mis en gras), ce dont on n'a pas parlé pour l'instant.
 
Je sais je suis chiant, mais tout le truc quand on revient à des exose de base comme ça c'est d'oublier tout ce qu'on prend pour aquis et de se baser sur l'énoncé, sinon on ne répond pas vraiment mieux à l'exercice que de dire "ben tout le monde le sait" (là j'exagère puisque toi tu fais un effort, mais ce genre d'exercice n'est pas si évident qu'il y paraît à premier abord, et beaucoup ne savent en fait pas prouver des choses qu'ils considèrent "évidentes" ).

n°881160
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 14:43:46  profilanswer
 

Oski a écrit :

Je sais je suis chiant, mais tout le truc quand on revient à des exose de base comme ça c'est d'oublier tout ce qu'on prend pour aquis et de se baser sur l'énoncé, sinon on ne répond pas vraiment mieux à l'exercice que de dire "ben tout le monde le sait" (là j'exagère puisque toi tu fais un effort, mais ce genre d'exercice n'est pas si évident qu'il y paraît à premier abord, et beaucoup ne savent en fait pas prouver des choses qu'ils considèrent "évidentes" ).


 
Un peu... mais c'est vrai qu'il est dur de ce mettre au niveau de l'exercice.
 
Selon mon souvenir, on definit la parité par la définition :  
Un nombre n est pair ssi il existe un entier q dans Z tel que n=2q. Sinon n est impaire.

n°881161
Oski
Posté le 23-10-2006 à 14:47:34  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Un peu... mais c'est vrai qu'il est dur de ce mettre au niveau de l'exercice.
 
Selon mon souvenir, on definit la parité par la définition :  
Un nombre n est pair ssi il existe un entier q dans Z tel que n=2q. Sinon n est impaire.


Meme quand ça, ça reste non évident que cette définition implique que "si n est impair, il existe un entier p dans Z tel que n=2p+1"  :ange:

n°881162
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 15:02:02  profilanswer
 

Et moi qui essayait juste de clore ce post abandonné de son auteur avec la réponse...
 
Aucune idée sinon, et toi?

n°881168
Oski
Posté le 23-10-2006 à 15:35:21  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Et moi qui essayait juste de clore ce post abandonné de son auteur avec la réponse...
 
Aucune idée sinon, et toi?


Pour compléter ta démo, et si on part du fait qu'on a tout oublié sur les nombres pairs et impairs si ce n'est la définition que tu as reprise des nombres pairs ( "n dans Z est pair ssi il existe p dans Z tel que n=2p" ), il suffit de démontrer que tout nombre entier s'écrit soit sous la forme n=2p (avec p dans Z) et est dans ce cas là pair d'après la définition, soit s'écrit n=2p+1 (il n'est pas nécessaire d'introduire le concept de "impair" pour l'exercice).
 
Un petit raisonnement par récurrence fonctionne bien :
 
- n = 0 : ça marche avec p = 0 (0 = 2 * 0 => 0 est pair)
 
- si c'est vrai pour n-1, alors :
      - soit il existe p dans Z tel que n-1 = 2p ==> n = 2p+1
      - soit il existe p dans Z tel que n-1 = 2p+1 ==> n = 2(p+1) et (p+1) est élément de Z
==> la récurrence est faite (il faudrait aussi la faire dans l'autre sens pour montrer que ca marche aussi bien avec les entiers négatifs, mais j'ai la flemme de réécrire la même chose avec un signe moins).
 
A partir de là tu peux reprendre ta démo et ça marche très bien.
 
Tout se fait  :ange: .


Message édité par Oski le 23-10-2006 à 15:46:26
n°881183
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 16:04:37  profilanswer
 

Je ne comprends pas ta récurrence. Tu poses aussi qu'un entier est égal soit a 2p, soit a 2p+1. Quelle est la différence?

n°881189
Oski
Posté le 23-10-2006 à 16:09:58  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Je ne comprends pas ta récurrence. Tu poses aussi qu'un entier est égal soit a 2p, soit a 2p+1. Quelle est la différence?


Je ne le pose pas, je le prouve. C'est la (petite) différence.

n°881192
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 16:15:43  profilanswer
 

Tu ne poses pas qu'il existe un p tel que n-1=2p+1 et n-1=2p ?

n°881194
Oski
Posté le 23-10-2006 à 16:21:34  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Tu ne poses pas qu'il existe un p tel que n-1=2p+1 et n-1=2p ?


Non, ça c'est l'hypothèse de récurrence ( et c'est "ou", pas "et" ).
 
Petit rappel de la récurrence :
 
- on prouve que c'est vrai pour n=0 (ou 1, ou tout autre nombre à partir duquel on veut prouver la propriété)
 
- on suppose pour n >=1 que c'est vrai pour n-1 (ce que j'ai fait) et on prouve que c'est alors vrai pour n.
 
Le raisonnement par récurrence vient alors de prouver que c'est vrai pour tout n positif. Je n'ai rien posé ! ;)


Message édité par Oski le 23-10-2006 à 16:24:03
n°881210
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 16:44:17  profilanswer
 

Soit.
Mais, n'étant pas convaincu, je ne m'avancerai pas la dessus.

n°881213
Oski
Posté le 23-10-2006 à 16:46:02  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Soit.
Mais, n'étant pas convaincu, je ne m'avancerai pas la dessus.


Petite question : tu sais ce qu'est un raisonnement par récurrence ?

n°881223
dr4cul4-
Posté le 23-10-2006 à 16:59:13  profilanswer
 

En effet, ca marche. Je n'avais pas lu avec attention.
 
Les récurrences m'ont toujours été antipathiques. Je préfère la démonstration par modulo.

n°881288
witold1
Posté le 23-10-2006 à 18:42:49  profilanswer
 

Par recurrence :
initialisation1: pour n=1 on a 1x(1+1)=2 <--- paire
hérédité1: Supposons que c'est vrai pour p :
              p(p+1) est paire  
     donc   p^2+p est paire
              p^2+3p est paire car par recurrence on a:
                                                                         (initialisation2: pour n=1 on a :2n=2  ; 2x1=2
                                                                         hérédité2: on suppose que c'est vrai pour p : 2p est paire
                                                                         2p+2 est paire car on ajoute 2 et donc ca reste pair.  
                                                                         2p+2=2(p+1)  donc on peut dire que lorsque on ajoute 2p  
                                                                          le résultat reste pair!  )
             
              p^2+3p+2 reste paire et p^2+3p+2=(p+1)[(p+1)+1]
 
DONC puisque si c'est vrai pour p c'est vrai pour (p+1) on peut dire que c'est vrai pour tout n car ca marche pour n=1


Message édité par witold1 le 23-10-2006 à 18:45:23
mood
Publicité
Posté le   profilanswer
 


Aller à :
Ajouter une réponse
  FORUM HardWare.fr
  Emploi & Etudes
  Aide aux devoirs

  petite démonstration de maths !

 

Sujets relatifs
spé maths les tiroirs de Dirichletexo maths TS
bosser dans la 3D : maths ou info?spe maths
spé maths term S division euclidienneterm S spé maths divisibilité
spé maths Term Smaths
maths : limitesDevoir de maths
Plus de sujets relatifs à : petite démonstration de maths !


Copyright © 1997-2018 Hardware.fr SARL (Signaler un contenu illicite) / Groupe LDLC / Shop HFR