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  term S spé maths divisibilité

 



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term S spé maths divisibilité

n°870722
nicolas63
Posté le 04-10-2006 à 17:30:26  profilanswer
 

Voici l'énoncé.
1) Soit a et b deux entiers relatifs.
a) Montrer que pour tout entier naturel n>=1,a^n-b^n est un mutiliple de a-b.
b) Montrer que si n est un entier impair, alors a^n-b^n est un mutilple de a.
2) Soit n un entier naturel, démontrer que a=2^(3n) -1 est divisible par 7.
 
Pour le début je crois que je peux mettre a^n-b^-n sous la forme  (a-b)(a^n-1 + b^n-1)+a^n-1 -ab^n-1 mais je ne sais pas si cela marche pour tous les cas. Après je trouve que a-b divise a^n-1-ab^n-1 mais ensuite je bloque. Si vous pouvez m'éclaircir et m'adier pour la suite ça serait super. Merci.


Message édité par nicolas63 le 04-10-2006 à 21:28:47
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Posté le 04-10-2006 à 17:30:26  profilanswer
 

n°870850
nicolas63
Posté le 04-10-2006 à 20:07:17  profilanswer
 

Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Je dois le rendre pour demain et j'ai vraiment du mal à avancer.

n°870957
snake143
Posté le 04-10-2006 à 22:33:29  profilanswer
 

Pas de problème mais je tiens  te dire que ton exo est trop simple.
1) a^n  - b^n
identité remarquable donc cela s'écrit de la forme (a-b)(.............)
binôme de Newton 2) application voil j'ai essayé de pas te donner toutes les réponses

n°870966
nicolas63
Posté le 04-10-2006 à 22:43:40  profilanswer
 

J'ai essayé de factoriser a^n-b^n mais  mais il reste b^n-1-a^n-1 et je ne sais pas quoi en faire. Et pour le 2) qu'est-ce que c'est le binôme de Newton ? On l'a pas abordé en cours.

n°870974
snake143
Posté le 04-10-2006 à 22:57:13  profilanswer
 

nan mais le 1) je t'ai donné la solution lorsque tu as un truc du type a^n  -  b^n = (a-b)(...........) ben le truc est divisible par a-b  et donc a-b est multiple

n°870975
snake143
Posté le 04-10-2006 à 22:57:57  profilanswer
 

et aussi tu fais de la récurrence au 1) j'allais oublié

n°870989
nicolas63
Posté le 04-10-2006 à 23:10:08  profilanswer
 

par la récurrence j'arrive à a^n+1-b^n+1=(a-b)(a^n+b^n)+a^nb-ab^n j'arrive pas à factoriser entinèrement.

n°870993
snake143
Posté le 04-10-2006 à 23:12:23  profilanswer
 

la réponse est deux messages plus haut bon ben bonne chance et ++

n°871018
unc99
Posté le 04-10-2006 à 23:33:24  profilanswer
 

1)a)  
preuve par récurrence :
a-b divisible par a-b
a2-b2 pareil
on suppose que a^n-b^n l'est donc on peut écrire a^n-b^n=(a-b)*X
a^(n+1)-b^(n+1) =a.a^n- b.b^n=a(a^n-b^n)+a.b^n-b.b^n=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)=a(a-b)*X+b^n(a-b)=(a-b)(aX+b^n) CQFD
b) l'énoncé est faux : prends n=3 , a=3, b=2 et çà ne marche pas
 
2)par récurrence:
si a=2^(3n)-1 est div par 7 donc  
2^(3(n+1))-1 = 2^(3n+3)-1=2^3n.2^3-1=2^3n.2^3-2^3+2^3-1=2^3(2^3n-1) +7=2^3.a+7 a est div par 7 donc le tout est divisible par 7 CQFD
 
 
 

n°871019
unc99
Posté le 04-10-2006 à 23:33:56  profilanswer
 

bonne nuit


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