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  spé maths les tiroirs de Dirichlet

 



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Auteur Sujet :

spé maths les tiroirs de Dirichlet

n°878185
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 15:46:07  profilanswer
 

Bonjour, voici l'excercice que je dois faire.
 
S1,S2,S3,...,S8 sont huit entiers naturels définis par S1=1,S2=11,S3=111,..,S8=11 111 111
1/a/ Démontrer que parmi ces huit entiers, il y en a deux au moins, qui ont même reste dans la division par 7.
b/On note Sp et Sp' ces deux entiers avec 1p<p'8. Démontrer que Sp'-Sp est divisible par 7.
2/Démontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 et dont l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
3/Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel divisible par n dont l'éciture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
 
Pour les questions 1/ et 2/ c'est pas trop compliqué à démontrer mais pour les 2/ 3/ je ne sais pas trop comment faire. Merci de votre aide.

Message cité 1 fois
Message édité par nicolas63 le 18-10-2006 à 15:46:54
mood
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Posté le 18-10-2006 à 15:46:07  profilanswer
 

n°878195
dr4cul4-
Posté le 18-10-2006 à 15:58:50  profilanswer
 

Comment arrives tu au 2/ ?

n°878198
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 16:02:42  profilanswer
 

Pour la 1/a/ les restes de la division euclidienne de S1,S2... par 7 sont 0,1,2,3,4,5,6 donc 7 restes en tout et comme il y a 8 nombres 2 ont au moins le même reste.  
Pour la 1/b/ on a Sp=7q+r et Sp'=7q'+r donc Sp-Sp'=7q-r-7q'-r=7(q-q'). Après je sais pas comment faire.

Message cité 2 fois
Message édité par nicolas63 le 18-10-2006 à 16:04:04
n°878203
dr4cul4-
Posté le 18-10-2006 à 16:09:36  profilanswer
 

La question 2/ met en application une particulité des cas que tu a montré précédement.

n°878204
Oski
Posté le 18-10-2006 à 16:11:41  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Pour la 1/a/ les restes de la division euclidienne de S1,S2... par 7 sont 0,1,2,3,4,5,6 donc 7 restes en tout et comme il y a 8 nombres 2 ont au moins le même reste.  
Pour la 1/b/ on a Sp=7q+r et Sp'=7q'+r donc Sp-Sp'=7q-r-7q'-r=7(q-q'). Après je sais pas comment faire.


Demande toi à quoi ressemble ton nombre Sp'-Sp . Ensuite pose ton crayon et relis tout ce que tu as fait jusque là et la réponse à la question 3 devrait t'apparaître tout seul.


Message édité par Oski le 18-10-2006 à 16:12:44
n°878216
RaMo
Posté le 18-10-2006 à 16:32:31  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Pour la 1/a/ les restes de la division euclidienne de S1,S2... par 7 sont 0,1,2,3,4,5,6 donc 7 restes en tout et comme il y a 8 nombres 2 ont au moins le même reste.  
Pour la 1/b/ on a Sp=7q+r et Sp'=7q'+r donc Sp-Sp'=7q-r-7q'-r=7(q-q'). Après je sais pas comment faire.


 
J'ai la réponse du 2, j'ai la flemme pour le 3. Le souci est que j'utilise pas les questions d'avant.
Alors :
Tu prends les restes des divisions de 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 par 7, ça donne : 1,3,2,6,4,5. A partir du million, on reboucle sur les mêmes restes, dans le même ordre que celui donné avant. Il suffit de le vérifier pour le million et le prouver par une petite récurrence rapide après.
Donc comme l'écriture décimale d'un nombre est : la somme (coef n* 10(puisssance(n)) (Coef n, c'est un An) alors si tu divises, comme tu boucles sur les restes, tu vas pouvoir faire 6 tas au final de restes en plus des quotients par 7. Ces 6 tas de restes sont multipliés par 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. Chaque tas de reste est une sommes de Coef n (avec le meme pas les séparant : coef 1, coef 6, coef 11 ...). Ces coef sont égaux à 0 ou 1 pour faire un chiffre dont l'écriture décimale est constituée de 0 ou de 1 uniquement.
Je récapitule : tu dois prouver qu'il existe un chiffre dont ces coef sont égaux à 0 ou 1 et dont les tas de restes peuvent etre divisés par 7 (le quotien l'est par définition). Tu peux en trouver autant que tu veux, en jouant sur ces coef. Exemple : dans le tas de reste qui est multiplié par le reste 5, tu prends un coef à 1 et autant que tu veux en 0, et dans le tas de reste qui est multiplié par 2, tu en prends un à 1 et le reste en 0. ça te donne par exemple 100 + 100 000 = 100100 qui est divisible par 7.
Je sais, c'est super confus comme démonstration, je l'ai fait de manière propre, mais sans sigma et et indices, c'est dur d'expliquer très clairement.

n°878218
dr4cul4-
Posté le 18-10-2006 à 16:34:30  profilanswer
 

Il existe une solution qui tient en 3 lignes.

n°878224
RaMo
Posté le 18-10-2006 à 16:41:28  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Il existe une solution qui tient en 3 lignes.


 
Oui, en une même. Mais ça m'amusait de jouer avec des sommes :)
Puis une fois à 7, suffit de généraliser à n.

n°878225
Pascal Orf​ila
Posté le 18-10-2006 à 16:42:03  profilanswer
 

Bon une propriété générale de la divisibilité par 7 qui peut t'aider:
Soit abcdefgh un nombre de huit chiffres.
Le reste de la division par 7 correspond au reste de la division par 7 du nombre suivant:
h  
+ 3 x g  
+ 2 x f  
- 1 x e
- 3 x d
- 2 x c
+ 1 x b
+ 3 x a
 
(démo très simple si tu sais calculer dans Z/7Z)  
 
Avec ça tu démontres facilement 2/ et 3/

Message cité 2 fois
Message édité par Pascal Orfila le 18-10-2006 à 16:44:05
n°878230
dr4cul4-
Posté le 18-10-2006 à 16:47:30  profilanswer
 

Pascal Orfila a écrit :

Bon une propriété générale de la divisibilité par 7 qui peut t'aider:
Soit abcdefgh un nombre de huit chiffres.
Le reste de la division par 7 correspond au reste de la division par 7 du nombre suivant:
h  
+ 3 x g  
+ 2 x f  
- 1 x e
- 3 x d
- 2 x c
+ 1 x b
+ 3 x a
 
(démo très simple si tu sais calculer dans Z/7Z)  
 
Avec ça tu démontres facilement 2/ et 3/


 
Etonnante propriété!

mood
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Posté le 18-10-2006 à 16:47:30  profilanswer
 

n°878234
Oski
Posté le 18-10-2006 à 16:49:21  profilanswer
 

Mais arrêtez de l'embrouiller alors que c'est tout con ! (vous allez lui faire détester ce qu'il fait  :D )
 
Regarde ton nombre Sp'-Sp et c'est tout ce dont tu as besoin. La question 3 n'est qu'un récapitulatif.

n°878236
Oski
Posté le 18-10-2006 à 16:50:35  profilanswer
 

dr4cul4- a écrit :

Etonnante propriété!


En effet c'est très joli.

n°878237
RaMo
Posté le 18-10-2006 à 16:51:26  profilanswer
 

Oski a écrit :

Mais arrêtez de l'embrouiller alors que c'est tout con ! (vous allez lui faire détester ce qu'il fait  :D )
 
Regarde ton nombre Sp'-Sp et c'est tout ce dont tu as besoin. La question 3 n'est qu'un récapitulatif.


 
Je sais, c'est méchant  :jap:

n°878243
Oski
Posté le 18-10-2006 à 16:58:16  profilanswer
 

Pascal Orfila a écrit :

Bon une propriété générale de la divisibilité par 7 qui peut t'aider:
Soit abcdefgh un nombre de huit chiffres.
Le reste de la division par 7 correspond au reste de la division par 7 du nombre suivant:
h  
+ 3 x g  
+ 2 x f  
- 1 x e
- 3 x d
- 2 x c
+ 1 x b
+ 3 x a
 
(démo très simple si tu sais calculer dans Z/7Z)  
 
Avec ça tu démontres facilement 2/ et 3/


Et ca te permet vraiment de repondre à la question 3/ ça ?

n°878309
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 18:31:15  profilanswer
 

Pour la question 2/ il suffit juste de dire en fait que sp'-sp est un entier naturel divisble par 7 et comme sp' et sp sont composés que de 1 la différence ne sera composée que de 0 ou 1. C'est ça ? Après pour la 3/ je sais pas si c'est plus compliqué.

n°878319
Oski
Posté le 18-10-2006 à 18:43:43  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Pour la question 2/ il suffit juste de dire en fait que sp'-sp est un entier naturel divisble par 7 et comme sp' et sp sont composés que de 1 la différence ne sera composée que de 0 ou 1. C'est ça ? Après pour la 3/ je sais pas si c'est plus compliqué.


Oui c'est ça (même si tu dois expliquer un peu plus "proprement" le pourquoi des 0 et des 1). Pour la 3/ ce n'est pas plus compliqué, pose ton stylo, relis tout et tu devrais trouver.

n°878353
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 19:15:02  profilanswer
 

Comment est--ce que je peux dire rigoureusement que l'on a que des 0 ou des 1 en faisant sp'-sp ? J'ai pas l'impression que c'est possible en exprimant une forme générale de l'entier s.

n°878359
Oski
Posté le 18-10-2006 à 19:22:01  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Comment est--ce que je peux dire rigoureusement que l'on a que des 0 ou des 1 en faisant sp'-sp ? J'ai pas l'impression que c'est possible en exprimant une forme générale de l'entier s.


1/ Qu'est-ce qui se passe si Sp' est plus grand que Sp
2/ Qu'est-ce qui se passe sinon
 
Edit : meme pas, tu avais déjà p'>p, donc c'est juste le cas 1/ en fait.


Message édité par Oski le 18-10-2006 à 19:22:57
n°878437
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 20:55:29  profilanswer
 

D'après la définition j'ai bien Sp, - Sp >0 mais comment justifier clairement qu'on a que des 0 ou des 1. Parce que ça semble évident.

n°878464
Oski
Posté le 18-10-2006 à 21:11:36  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

D'après la définition j'ai bien Sp, - Sp >0 mais comment justifier clairement qu'on a que des 0 ou des 1. Parce que ça semble évident.


T'es d'accord que 111 = 1*100 + 1*10 + 1*1 ? Et ben essaie ca (indice general : des qu'on te parle des chiffres qui constituent un nombre, il est rarement mauvais d'ecrire celui-ci en base 10 puisque c'est celle qu'on utilise pour ecrire nos nombres justement).

n°878523
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 21:58:03  profilanswer
 

Pour le 3/ il suffit de travailler dans Z/NZ.
 
Dans Z/NZ on considère les nombres suivants:
X0=10^0+10^1+....10^N
X1=10^1 + 10 ^2...+ 10^N
...
XN= 10^N
Deux possibilités:
- il existe un ou plusieurs Xi tel que Xi=0 => on a gagné.
- Aucun Xi est nul.
Dans ce cas, on montre qu'il existe i,j i>j tel que Xi=Xj (P1).
En effet si P1 est fausse, cela voudrait dire qu'on a N+1 éléments dans un groupe de N élément (Z/NZ - {0}).
On a gagné, le nombre en question est Xj-Xi.

Message cité 2 fois
Message édité par nazzzzdaq le 24-08-2009 à 10:32:27
n°878537
Oski
Posté le 18-10-2006 à 22:07:52  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

Bon pour le 3/ il suffit de travailler dans Z/NZ.
 
Dans Z/NZ on considère les nombres suivants:
X0=10^0+10^1+....10^N
X1=10^1 + 10 ^2...+ 10^N
...
XN= 10^N
Deux possibilités:
- il existe un ou plusieurs Xi tel que Xi=0 => on a gagné.
- Aucun Xi est nul.
Dans ce cas, on montre qu'il existe i,j i>j tel que Xi=Xj (P1).
En effet si P1 est fausse, cela voudrait dire qu'on a N+1 éléments dans un groupe de N élément (Z/NZ - {0}).
On a gagné, le nombre en question est Xj-Xi.


Mouais, vu le niveau de l'exo, ca m'etonnerait qu'il faille ecrire des choses compliquees comme ca. Suffit d'aller jusqu'a Sn (ce qui revient a la meme chose que ce que tu dis, mais sans vouloir rendre les choses compliquees alors qu'elles sont simples).

n°878548
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:12:02  profilanswer
 

J'ai la flemme de passer par les étapes intermédiaires (1/a b c 2/ même pas lues...). MAis si tu exposes ta solution je la lirai c'est promis. En particulier Sn c'est quoi?

n°878552
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:13:19  profilanswer
 

En plus j'ai pas trop l'impression d'être HS parceque ma solution contient l'aspect "tiroirs de Dirichlet".

n°878557
Oski
Posté le 18-10-2006 à 22:17:30  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

J'ai la flemme de passer par les étapes intermédiaires (1/a b c 2/ même pas lues...). MAis si tu exposes ta solution je la lirai c'est promis. En particulier Sn c'est quoi?


Tu n'es pas HS du tout, c'est tout a fait juste ce que tu marques. Ce serait meme tres tres bien si il y avait juste la question 3/
 
Mais vu le detail des questions, ce n'est pas le niveau de reponse qu'on attend, clairement.
 
Quant a Sn, si tu veux savoir ce que c'est, lis l'enonce (des fois ca sert pour repondre a une question ;) ).


Message édité par Oski le 18-10-2006 à 22:19:51
n°878564
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:23:21  profilanswer
 

.

Message cité 1 fois
Message édité par nazzzzdaq le 18-10-2006 à 22:27:27
n°878567
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:25:29  profilanswer
 

Oui OK je vois

n°878568
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:26:22  profilanswer
 

ON se tape Dirichlet à partir du 1/a

n°878572
Oski
Posté le 18-10-2006 à 22:27:16  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

Ben je lis mais je ne vois pas ce que tu appelles Sn car dans les premières questions on parle de p compris entre 1 et 8.
Sn récurrence à partir de S7? ( [:athlonxp2100+] )


 

nicolas63 a écrit :

S1,S2,S3,...,S8 sont huit entiers naturels définis par S1=1,S2=11,S3=111,..,S8=11 111 111
1/a/ Démontrer que parmi ces huit entiers, il y en a deux au moins, qui ont même reste dans la division par 7.
b/On note Sp et Sp' ces deux entiers avec 1p<p'8. Démontrer que Sp'-Sp est divisible par 7.


 
Toujours pas ?
 
Edit : OK.


Message édité par Oski le 18-10-2006 à 22:27:37
n°878602
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 22:41:36  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

Bon pour le 3/ il suffit de travailler dans Z/NZ.
 
Dans Z/NZ on considère les nombres suivants:
X0=10^0+10^1+....10^N
X1=10^1 + 10 ^2...+ 10^N
...
XN= 10^N
Deux possibilités:
- il existe un ou plusieurs Xi tel que Xi=0 => on a gagné.
- Aucun Xi est nul.
Dans ce cas, on montre qu'il existe i,j i>j tel que Xi=Xj (P1).
En effet si P1 est fausse, cela voudrait dire qu'on a N+1 éléments dans un groupe de N élément (Z/NZ - {0}).
On a gagné, le nombre en question est Xj-Xi.


 
C'est quand même un peu compliqué ça.

n°878608
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:47:11  profilanswer
 

T'es en quelle classe nicolas 63?

n°878613
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 22:49:54  profilanswer
 

Pour la 3/ je peux dire que on a n reste dans la division euclidienne par n donc pour n+1 on a au moins deux entiers qui auront le même reste dans la division par n. La différence de ces deux entiers est divisible par n donc si cette différence est composée que de 0 ou de 1 on peut dire qu'il existe un entier naturel divisible par n donc l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1. Ca à l'air clair ?

n°878614
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 22:50:10  profilanswer
 

terminale S

n°878618
Oski
Posté le 18-10-2006 à 22:52:10  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Pour la 3/ je peux dire que on a n reste dans la division euclidienne par n donc pour n+1 on a au moins deux entiers qui auront le même reste dans la division par n. La différence de ces deux entiers est divisible par n donc si cette différence est composée que de 0 ou de 1 on peut dire qu'il existe un entier naturel divisible par n donc l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1. Ca à l'air clair ?


Exact. Et c'est bien que tu trouves en reflechissant, meme avec des indices (je dis ca pour ceux qui veulent te cracher une solution toute cuite ou t'impressionner - mais je ne dis pas ca mechamment ! ;) ).

n°878623
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:53:13  profilanswer
 

OK j'ai cru que t'étais en Math spé (cf titre du message).

n°878626
Oski
Posté le 18-10-2006 à 22:54:49  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

OK j'ai cru que t'étais en Math spé (cf titre du message).


Ah oui c'est sur que s'il etait en maths spe, on attendrait plus un truc du genre de ce que t'as marque, effectivement. Mais il n'y aurait pas les questions 1/ et 2/.

n°878627
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:55:21  profilanswer
 

Oski a écrit :

Exact. Et c'est bien que tu trouves en reflechissant, meme avec des indices (je dis ca pour ceux qui veulent te cracher une solution toute cuite ou t'impressionner - mais je ne dis pas ca mechamment ! ;) ).


Bien sûr!

n°878628
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 22:55:49  profilanswer
 

J'en reviens au 2/ pour montrer que sp'-sp est composé de 0 et de 1. Je peux peut-être exprimer sn tel que sn=s(n-1) (indice) +10^(n-1) avec s1=1. Du coup je peux montrer que sn - s(n-1) est composé de 0 et de 1 mais pour les autres ?

Message cité 2 fois
Message édité par nicolas63 le 18-10-2006 à 22:59:35
n°878629
nazzzzdaq
Posté le 18-10-2006 à 22:56:05  profilanswer
 

nicolas63 a écrit :

Pour la 3/ je peux dire que on a n reste dans la division euclidienne par n donc pour n+1 on a au moins deux entiers qui auront le même reste dans la division par n. La différence de ces deux entiers est divisible par n donc si cette différence est composée que de 0 ou de 1 on peut dire qu'il existe un entier naturel divisible par n donc l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1. Ca à l'air clair ?


Moi je comprends pas. Ta réponse n'est pas claire.

n°878630
nicolas63
Posté le 18-10-2006 à 22:57:35  profilanswer
 

Oski a écrit :

Ah oui c'est sur que s'il etait en maths spe, on attendrait plus un truc du genre de ce que t'as marque, effectivement. Mais il n'y aurait pas les questions 1/ et 2/.


 
math spé c'est ce que j'envisage mais déja la spécialité maths ça me donne un "petit" aperçu.

mood
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