Le symbole 0, ou zéro, est apparu il y a plus de vingt siècles en tant que chiffre. En numération décimale le zéro n'a pas de valeur par lui-même, mais placé à la droite d'un nombre il décuple la valeur de celui-ci. Ainsi, le nombre dix est représenté par le chiffre 1 suivi d'un zéro, le nombre 230 représente le décuple du nombre 23.      
 
 
Un nombre
Ces considérations valent bien entendu pour tout autre système de numération. Par exemple, dans le système binaire, les chiffres employés sont 0 et 1. Les nombres de un à dix sont représentés respectivement par 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1 000, 1 001 et 1 010. Dans ce système, un zéro placé à la droite d'un nombre double la valeur de celui-ci. Grâce aux mathématiciens indiens du premier millénaire, le symbole zéro a cessé de n'être qu'un signe de séparation, pour devenir un nombre. Suivant le point de vue historique de Cantor, un entier naturel est le cardinal d'un ensemble fini (c'est-à-dire le nombre d'éléments de cet ensemble). Or, parmi les ensembles finis figure l'ensemble vide, noté Ø, n'ayant aucun élément. Le cardinal de cet ensemble est le nombre 0. (On remarquera que, dans cet ordre d'idées, 0 est bien un nombre entier naturel, tandis qu'il y a encore quelques décennies, on faisait commencer la suite des entiers naturels au nombre 1: un, deux, trois, quatre, etc. Le nombre 0 était alors introduit avec les entiers rationnels, ou relatifs.)
   
 
   
 
 
Actuellement, on définit les cardinaux non comme des nombres d'éléments, mais comme des ensembles particuliers. L'ensemble vide est un cardinal; il est son propre cardinal, ce qui permet de dire que 0 n'est qu'une autre notation pour Ø. (D'ailleurs, en informatique, on emploie parfois le symbole Ø pour désigner le chiffre 0, afin d'éviter toute confusion avec la lettre O.) De même, le chiffre 1 n'est qu'une autre notation pour l'ensemble des parties de l'ensemble vide, etc.
   
   
 
 
L'addition est une loi de composition interne sur l'ensemble N des entiers naturels. Muni de cette loi, N est un monoïde commutatif. Le nombre 0 est l'élément neutre, ce qui signifie que 0 + 0 = 0; 1 + 0 =1; 2 + 0 = 2. Plus généralement, pour tout entier naturel n, n + 0 = n. Par analogie, on est amené à noter 0 l'élément neutre pour tout monoïde dont la loi de composition est notée additivement.
   
   
 
 
Considérons enfin l'ensemble N comme une partie de l'ensemble ordonné Z des entiers rationnels. Les entiers naturels sont les éléments supérieurs à 0. Les opposés des entiers naturels sont les éléments inférieurs à 0. Plus généralement, soit A un anneau ordonné; l'élément neutre pour l'addition est noté 0. On dit qu'un élément de A est positif s'il est supérieur à 0, négatif s'il est inférieur à 0. Ainsi, les éléments positifs de l'anneau ordonné Z ne sont autres que les entiers naturels, tandis que les éléments strictement positifs de Z sont les entiers naturels non nuls.
   
   
 
 
Zéro absolu
On désigne par zéro absolu la valeur la plus basse de l'échelle des températures absolues (ou thermodynamiques). Cette valeur minimale peut être déduite de l'équation d'état des gaz parfaits: la pression du gaz étant constante, son volume massique (c'est-à-dire le volume de l'unité de masse) est proportionnel à la température absolue; le zéro absolu est donc la température qui correspond à un volume massique nul. C'est d'ailleurs l'équation d'état des gaz parfaits qui a servi, pendant longtemps, à la définition légale de l'unité de température.
   

 Thèmes associés
 
 
 
En fait, les gaz parfaits n'existent pas dans la nature, ce qui rend la définition précédente peu satisfaisante. Actuellement, la température absolue, que l'on désigne par T, et dont l'unité est le kelvin, est définie par la relation: T = t + 273,15; t est la température mesurée à l'échelle Celsius, qui est définie par sa valeur correspondant au point triple de l'eau, à savoir t = 0,01 °C. Le zéro absolu (T = 0) correspond donc à la température Celsius t = - 273,16 °C. De nombreuses expériences ont été réalisées afin d'obtenir des températures aussi voisines que possible du zéro absolu. Le procédé consistant à soumettre un gaz à une série de détentes adiabatiques suivies chacune d'une compression isotherme n'a qu'une portée limitée, car tous les gaz réels subissent, sous une température suffisamment basse, un changement d'état; ainsi, l'hélium se liquéfie sous une température de 4,2 K (4,2 kelvins). On peut refroidir l'hélium liquide à son tour, en le plaçant dans une enceinte soumise à un vide très poussé, maintenu grâce à l'évacuation continue de la vapeur produite par l'ébullition de l'hélium liquide. Ce procédé permet de descendre à une température d'environ 0,3 K.
   
   
 
 
Pour obtenir des températures encore plus basses, on a recours à la démagnétisation adiabatique de certaines substances, dites paramagnétiques, telles que l'alun de fer et d'ammonium ou l'alun de chrome et de potassium. Le minimum de température pouvant être obtenu par cette méthode est de l'ordre de 0,01 à 0,001 K. On peut réaliser un refroidissement encore plus poussé en soumettant à la démagnétisation les noyaux atomiques, au lieu des électrons comme dans le cas précédent; en effet, les noyaux atomiques ont des moments magnétiques notablement inférieurs à ceux des électrons. Ce procédé permet d'obtenir des températures de l'ordre de
   
   
 
 
Il est bien entendu qu'une température de cet ordre ne peut être mesurée par des thermomètres à liquide ou à gaz, ni par des thermocouples. En fait, la détermination d'une telle température peut être effectuée grâce à l'établissement de certaines lois physiques (loi de Curie, loi de Curie-Weiss). On trace dans un diagramme des courbes correspondant chacune à une valeur fixe du champ magnétique et, en particulier, à un champ nul.
   
   
 
 
L'inaccessible zéro
Mais, malgré tous les progrès accomplis dans le domaine de la technique des basses températures, le zéro absolu n'a jamais pu être atteint. Cet insuccès n'est pas dû à l'imperfection des méthodes utilisées; il doit être attribué à une impossibilité physique qui est fondée sur la variation des chaleurs massiques des corps en fonction de la température.
   
 
   
 
 
L'expérience montre en effet que, pour tous les corps, la chaleur massique a une valeur à peu près constante aux températures élevées, mais, dans le domaine des basses températures, elle diminue rapidement et tend vers zéro lorsque la température absolue tend vers zéro. Cette constatation a pu être expliquée par Einstein, grâce à une théorie fondée sur la mécanique statistique; on assimile les atomes d'un solide à des oscillateurs harmoniques vibrant autour de leur position d'équilibre. Pour une température donnée, à chacun de ces oscillateurs correspond un niveau d'énergie déterminé, et le calcul permet de trouver la répartition des oscillateurs entre les différents niveaux d'énergie possibles. De plus, en partant de cette répartition, on peut établir l'expression de l'énergie interne de l'ensemble des oscillateurs considérés et en déduire la chaleur massique de celui-ci. On constate ainsi que la chaleur massique tend bien vers zéro en même temps que la température absolue. Des raisonnements fondés sur la théorie des quanta permettent de vérifier que la conclusion reste valable dans le cas des gaz.
   
   
 
 
Or on peut démontrer que, dans ces conditions, lorsque la température absolue d'un corps tend vers zéro, l'entropie tend vers une valeur finie. Conformément au troisième principe de la thermodynamique, énoncé par Nernst en 1906, cette valeur limite est la même pour tous les corps. Planck a complété cet énoncé en fixant cette valeur limite de l'entropie à zéro. L'une des conséquences du troisième principe est l'impossibilité d'atteindre le zéro absolu, et cette conclusion est si importante qu'on la considère souvent comme l'expression même du troisième principe.
   
   
 
 
Le zéro absolu est donc, même théoriquement, inaccessible, mais la différence entre cette valeur limite et les températures minimales obtenues réellement n'est que de l'ordre du millionième de kelvin.