C'est ce que j'imaginais comme fonctionnement, et donc normalement, non. Sauf si il fait des choses dans ton dos. Je connais mal Claude Code, mais toutes les apps/cli de ce genre stocke le contenu intégral des sessions +/- en clair (du jsonc, du sqlite..).. donc tu peux toujours faire une petite recherche locale dedans.
 

On est un des plus gros fournisseurs de serveurs au monde donc ça ne devrait pas être un souci de monter une infra qui envoie du bois, mais quid de la rentabilité..