salut,
On sait que la tension T (en Newtons) accumulée par un ressort est égale à k.d avec k
constante de raideur en newtons par mètre et d allongement par rapport à la position "au
repos", en mètres. On considère que toute la masse du ressort est concentrée à son
extrémité, pour simplifier (sinon chépa faire ^^).
la 2ème loi de Newton dit que :
vecteur somme des forces extérieures = masse multipliée par vecteur accélération
or, quelles sont les forces extérieures quand tu lâche ton ressort ? la tension T du ressort
uniquement. donc :
vecteur T = m.vecteur a
donc T et a colinéaires ce qui permet de passer direct à leurs normes :
T=m.a d'où a=T/m=d.k/m (1)
maintenant on étudie la composante horizontale de a qu'on appelle aussi a pour pas
s'emmerder (en supposant que tu étudies ton ressort horizontalement) :
tu sais que a=d²x/dt² (dérivée seconde de la position par le temps). Ayant fixé l'origine
des abscisses à la position de l'extrémité du ressort au repos, on a x=d, d'où :
a=d²d/dt² (2)
en reliant les égalités (1) et (2) :
d²d/dt²=d.k/m c'est une équation différentielle du 2nd ordre. Elle a pour solution générale :
d(t)=A.exp(racine(k/m).t)+B.exp(-racine(k/m).t)
(merci google parce que c'est pas au programme de terminale)
ensuite pour trouver A et B, c'est simple :
à t=0, d=dmax (dmax est l'allongement initial) donc A+B=dmax mais ça suffit pas.
en réfléchissant, quand t tend vers + l'infini, d'(t) tend vers 0 (logique). On a :
d'(t)=A.racine(k/m).exp(racine(k/m).t)-B.racine(k/m).exp(-racine(k/m).t)
or, si t tend vers + l'infini, -B.racine(k/m).exp(-racine(k/m).t) tend vers zéro, il faut
donc que A.racine(k/m).exp(racine(k/m).t) tende vers 0 aussi, ce qui n'est possible que si
A=0.
On trouve donc, A=0 d'où B=dmax.
DONC la solution est : d(t)=dmax.exp(-racine(k/m).t)
là tu as donc l'expression de l'allongement d en fonction du temps, à partir du moment où tu
lâche le ressort. Le reste est simple : on cherche la valeur de t quand d = environ 0 (le
problème c'est qu'avec ma solution d n'est jamais nul). On va donc dire pour d = 0.001
mètres (là on peut considérer que le ressort est revenu) :
dmax.exp(-racine(k/m).t)=0.001 => -racine(k/m).t=ln(0.001/dmax) =>
t=-ln(0.001/dmax)/racine(k/m)
donc pour t=-ln(0.001/dmax)/racine(k/m), on peut considérer que le ressort est revenu dans
sa position initiale.
après tu peux biensûr avoir la vitesse moyenne...
exemple avec les données suivantes :
dmax=0.2 m
k=20 N/m
m=0.05 kg
ça donne environ t=0.265 secondes.
Je ne suis pas certain de cette réponse (avec mon petit niveau de terminale) mais, ça me parait logique, après revérification..
@+
Message édité par simius_computus le 30-04-2007 à 18:31:54