Reprise du message précédent :

C'est cela même  

Déjà comment en quelques heures il peut vouloir prétendre ce que des personnes ont mis des années a mettre en évidence c'est quand même assez impressionnant    
 
Je remet pas en cause tes capacités mais rend toi compte de ta bêtise en annonçant fièrement que l'infini est une faute  

 
ce qui est absurde, donc l'infini n'existe pas  

Je vois pas pourquoi.

l'infini n'existe pas, soit. puisque tu as réfléchi plusieurs heures sur le sujet, tu dois donc pouvoir me montrer que l'ensemble des nombres entiers est fini, donc qu'on ne peut pas compter au delà d'un certain nombre. allez, vas-y, j'attends

tout à fait, et ça prouve par ailleurs qu'il y a une infinité d'éléments dans [0;2]

c'est pas dur, tu considères la fonction f définie par f(x) = 2x, elle met [0,1] et [0,2] en bijection, ce qui prouve bien que [0,1] et [0,2] ont le même nombre d'éléments

Je pense qu'il te semble mal
Une série de chiffres peut très bien être longue d'un chiffre. Si tu me trouves un chiffre qui ne se trouve pas dans les développements de Pi, je veux bien devenir curé. Idem si tu trouves une série de 2 chiffres qui ne s'y trouverait pas plus d'une fois. J'irais bien même jusqu'à 3 voire au-delà mais la vérification risque d'être chiante
J'avais testé un site il y a longtemps (dans le même genre, http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi) où ils te faisaient une recherche de ta date de naissance (ou tout autre nombre) dans Pi. J'avais pas fait 36000 tests mais je ne l'ai pas pris en défaut
Donc, là, comme ça, dire qu'il n'y a aucune répétition de série de chiffres dans Pi, je trouve ça, comment dire... suspect

edit : ah je vois d'où notre incompréhension semble venir. En l'occurence, le nombre Pi serait rationnel si une série de chiffres se répèterait à l'infini à partir d'une certaine position (et toutes les séries se suivant !).

Bon, je quote de 3 pages, mais c'était juste pour dire que pour "voir" l'infini, il suffit de te placer entre 2 miroirs : tu verras ton image se refléter à l'infini  

ya pas 2x plus de réels entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2 ?
ça fait longtemps les maths, mais enfin, bon, je sais pas, ça me parait logique...

tu peux faire dire tout et n'importe quoi avec ses notions là.

Si tu prends n'importe que réel  x entre 0 et 1, tu trouveras un autre réel (1+x par exemple) entre 0 et 2 : tu fait une relation de 1 à 2

Si tu prends n'importe quel élément x entre 0 et 2, tu peux définir 1 et un seul élément y entre 0 et 1 (tel que y = x/2, par exemple) : tu fais une relation de 1 à 1

Les deux propositions sont justes, mais aucune ne peut être interprétée strictement comme "il y a a 2 fois plus de réels" ou "il y a exactement le même nombre de réels". Le dénombrement n'a pas de sens dans ce contexte.

Bon ben puisqu'il faut le préciser, je savais bien que pi a une infinité de décimales.  
 

 
Le problème c'est qu'il est difficile de dire des choses comme "2 fois plus" sur des ensembles infinis. Ceci dit on peut quand même comparer la "taille" des différents infinis. Par exemple l'infini des nombres entiers est strictement plus petit que celui des nombres réels: ça veut dire qu'il n'y a pas de bijection entre les entiers et les réels ou encore que tu ne peux pas numéroter les réels par 1,2,3... Par contre il y a "autant" de nombres entiers que de nombre enters pairs. Pour s'en convaincre simplement, on associe à 2 le numéro 1, à 4 le numéro 2, à 6 le numéro 3 etc. Tu vois bien qu'à chaque entier pair correspond un unique entier, donc il y en a autant.

J'ai dû mal comprendre ta remarque.    

Va apprendre deux trois choses sur l'algèbre des alephs, sur les travaux de Georg Cantor, et on en reparlera.

Ouaips. Mais ce n'est encore pas le plus violent pour le "bon sens commun".
Il y a autant de points sur un segment, fini, que sur une droite, infinie, par exemple.

Ah ouais alors ça, je suis contre  
pourquoi ? comment tu fais la bijection en fait ?

une fonction comme la tangente (sin/cos) fait ça très bien, par exemple, ça te met ]-Pi/2;Pi/2[ en bijection avec IR

yeah

Ce que je ne comprends pas n'existe pas, point.

Moi je dis troll, la preuve il a disparu du topic.

Y a-t-il plusieurs formes d'infini ?

@Messiah : Non, il a juste compris qu'il avait tort et ne veux pas enfoncer le clou, c'est tout (sans avouer pour autant qu'il a changé d'avis bien sur)

L'infini est là parceque l'homme a toujours voulu inverser le zéro....

Oui (cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Infinity_symbol.svg )

ah non on va pas repartir là dessus, sinon venousto2 va se ramener et ça va être la foire

L'infini dénombrable IN est-il plus petit que l'infini indénombrable IR ?

 
N=Z=Q < R=C
 
Il est a noter que la proposition "Il existe un ensemble E tel que Q<E<R" est indecidable, on peut aussi bien "choisir"  que la proposition est vraie ou fausse sans etre en contradiction avec quoi que ce soit  

Perso, c'est ma formulation qui choque un peu, je trouve, considérer qu'un infini est plus ou moins grand qu'un autre

 
J'avais compris ce que tu voulais dire. "Est-ce que N et R sont en bijection l'un avec l'autre"  

Un exemple à la fois simple et général de l'utilité de l'infini en physique :
 
pour énormément de systèmes physiques, on a une équation de départ (de façon général un Lagrangien ou un Hamiltonien à minimiser), et une ou plusieurs conditions initiales.  
 
même si l'équation de départ peut sembler simple, on n'a la plupart du temps aucune solution générale au modèle de départ, et on a donc recours à des approximations.  
 
Après, il faut garder à l'esprit qu'on cherche à modéliser un système réel, physique, et non pas à résoudre un problème mathématique : à ce moment là on s'inquiète de savoir si nos approximations correspondent bien à ce qu'on veut décrire.
 
 
Pour revenir à l'infini, lorsqu'on cherche à modéliser un métal, un gaz, ou n'importe quel corps de façon générale, on considère tout d'abord qu'il a une étendue infinie (et même souvent, lorsqu'on parle d'un phénomène, il est infini dans le temps et dans l'espace). Pourquoi ? Parce que c'est le seul moyen de résoudre les équations initiales.
 
Ensuite, on se rappelle que dans la vraie vie un métal, un gaz...etc ne sont pas infinis et il faut inclure, en correctif des effets de surface, d'interface...etc de nouvelles conditions aux limites, des couches limites...tout un arsenal permet de traiter cela correctement. De même, on se rappelle qu'une interaction n'est pas infinie, ni instantanée alors on rajoute la causalité dans les équations : l'effet ne peut pas survenir avant la cause qui lui a donné naissance. En faisant tout cela, on arrive petit à petit à une description correcte d'un système.
 
j'espère que ça t'éclairera un peu
 
De façon générale, on peut aussi garder à l'esprit que l'infini (pas le vrai infini mathématique mais quelquechose qui s'en rapproche vraiment), est quelque chose de relatif :  
 
dans un litre de gaz, tu n'as pas stricto sensu une infinité de particules, tu en as de l'ordre de 10^23. Devant l'impossibilité de résoudre exactement un problème de 10^23 corps en interaction, on a recours à une description statistique du système (thermodynamique) et on définie des grandeurs continues (température, pression en tout point) en se plaçant à l'échelle adéquate : c'est ce passage du discrte au continu qui peut amener l'infini au programme !!
 
voili voilou, je peux citer plein d'exemples (il doit déjà yen avoir pas mal sur le début du topic) qui étaient mon propos
 
à+

 
ça se concoit pourtant asser bien avec la notion de dénombrabilité par exemple.
 
tu peux classer les élements de N dans un ordre (que tu choisis mais que tu gardes une fois pour toute ensuite ):
par exemple: 0, 1, 2, 3, 4....etc
 
de même tu peux le faire pour Z:
 
Par exemple:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...etc
 
Ensuite, tu fais de même avec l'ensemble des rationnels (qui sont définis comme p/q avec p et q entiers relatifs premiers entre eux, q différent de 0) : un entier rationnel est donc un couple (p,q) :
tu les classes, par exemple :
(1,1); (1;-1); (1;2);(1;-2)...etc
 
Par contre, dès que tu arrives aux irrationnels, il y a un problème, tu ne peux plus faire ce classement (cf diagonale de Cator par exemple).
 
avec ce genre d'exemples, on saisit de façon intuitive pourquoi il existe plusieurs types d'infinis.
 
Autre exemple : les progressions arithmétiques et géométriques : tous les lycéens savent ce que c'est, sans forcément avoir compris profondément ce que ça impliquait : ce sont 2 concepts lorsqu'on y réfléchit qui peuvent aider à comprendre pourquoi différents types d'infini existent...

Mwai... attention à pas confondre limite à l'infini et l'infini lui-même, car x²/10 tendra toujours vers l'infini, pas infini²/10 puisque l'infini n'est par définition... pas fini

oula
 
c'est pas tellement ça que je voulais dire
 
disons qu'on prend une grandeur quelconque (supérieure à 1) : en réfléchissant ce qui se passe, si on ajoute cette grandeur à elle-même, c'est-à-dire si on la double, puis on la triple, puis quadruple...etc  
 
progression arithmétique.
 
dans un autre cas, on multiplie la grandeur avec elle-même...progression exponentielle ou géométrique.
 
pas mal d'applications en physique statistique et en biologie par exemple.
 
c'est ça que je voulais dire

 
La question était jusqu'à combien tu SAIS compter, et pas jusqu'à combien tu PEUX compter. La différence est de taille !

 
De toutes façons ce n'est même pas ça l'important: même si on ne savait pas compter arbitrairement loin, l'ensemble des entiers aurait la propriété d'être infini de par sa définition (qui "admet" l'existence d'ensembles infinis justement...) Certains rétorqueront : mais on ne sait pas le construire explicitement (sans l'axiome en question, qui ne correspond pas aux facultés humaines ou d'un ordinateur - pour qui les nombres seront toujours en quantité finie sur un système donné...-) blablabla... Il n'empêche que c'est indispensable, et que même sans jamais aller dans les contrées lointaines des nombres en pratique, le fait seul de savoir qu'ils sont "infiniment nombreux" permet de prouver de nombreuses choses élémentaires :l'existence de racine(2) (dans l'ensemble des nombres dont se sert par exemple un élève de 4ème, qui est effectivement fini (des fractions de nombres compris entre + ou - 100000, combinés avec quelques nombres classiques comme pi et racine(2), et c'est tout en pratique)) nécessite en gros de savoir que dans le segment [0;2] il y a "plein de nombres, tellement que y a pas de trou et que c'est "continu"" (au moins c'est pas discret, donc pas fini).
 
edit pour préciser: Dans le même genre il y a l'axiome du choix (dans une de ses formulations, pouvoir prendre pour une infinité d'ensemble, un élément dans chaque): il est complétement hors de l'intuition humaine (car l'exemple des entiers est assez léger: ca reste intuitif..) et pourtant il n'est pas absurde (c'est "scientifiquement prouvé" ), donc on peut s'en servir. (car il est utile dans pas mal de théories mathématiques, même si il reste peu apprécié malheureusement)

en tant que physicien, le problème de l'axiome du choix est qu'il est...totalement inutile !
 
en gros, on prend un espace vectoriel de dimension infinie, et l'axiome du choix nous dit qu'il existe une base de cet espace vectoriel (e1,e2,......,en,....) : seul problème, il ne donne aucune information sur la façon d'obtenir cette base !
 
si on prend l'exemple des suites réelles R^N (le grand N ici est le même symbole que celui utilisé pour l'ensemble des entiers naturels). On sait que cet espace possède une base mais on est incapable d'en donner l'expression.
 
 
 

 
C'est juste pour donner un peu de grain à la critique des mathématiciens qui utilise l'infini, mais qui pourtant refuse (ou ont une petite réticent pour) l'axiome du choix: ils prétendent que ce dernier est contre-intuitif, mais au final c'est la même chose pour le caractère infini des ensembles usuels: en pratique on n'arrive jamais à prendre une quantité infinie de nombre sur un ordinateur par exemple (ni nous d'ailleurs), mais on le garde car c'est (foutrement) utile formellement. Sachant que l'axiome du choix est moins "dangereux" que l'axiome de l'infini (le premier on sait qu'il est pas contradictoire avec les précédents, pour le deuxième c'est un de ceux qui permettent de créer une arithmétique des entiers, et donc on peut pas prouver que le système est cohérent à partir de la théorie des ensembles etc...) accepter l'infini devrait mener à accepter sans hésitation l'axiome du choix, aussi contre-constructif soit-il.
 
D'ailleurs je tiens à signaler que l'axiome du choix n'est pas un truc qui ne donne que "l'existence de machin qu'on aura jamais explicitement", parce que parfois c'est le refus de l'axiome du choix qui amène à cela. En effet si je reprend ton exemple, l'axiome du choix permet d'étendre la théorie de la dimension à la dimension infinie. On peut alors comparer deux points de vue:
-avec l'axiome du choix: un ev de dimension infinie partage quand meme quelques propriétés de plus avec ceux de dimension finie qu'on peut le croire. Donc ca empêche l'existence de certians objets vérifiant des propriétés "exotiques"
-sans l'axiome du choix: à contrario ces objets exotiques peuvent exister si on a vraiment besoin de l'axiome du choix pr montrer qu'ils n'existent pas. Ainsi leur existence est indécidable et donc on ne peut en trouver des exemples en pratiques (meme des descriptions vagues...)
Bref "physiquement" cela sert à justifier que quand on prend une fonction au hasard, elle est pas trop exotique (j'ai pas d'exemple pour l'axiome du choix, mais par exemple l'existence d'application linéaire non continue dans un Banach est indécidable je crois, et en pratique quand on en prend une explicite, bah on est presque sur qu'elle continue ). Bon j'avoue le physicien s'en fout royalement (après tout pour lui dans 99% une fonction représentant un phénomène physique est indéfiniment dérivable etc...), mais ça sert à justifier mathématiquement des résultats qui finiront peut etre par lui servir.
 
edit: suppression d'un beau truc illogique

OK avec tout cela...mais je reste un peu chagriné
 
si l'on reste sur l'exemple (parlant) des espaces vectoriels, pour moi, (physicien devant l'éternel ) ce n'est pas l'axiome du choix qui me fournit des résultats intéressants sur les ev de dimension infinie !
 
en physique, on a besoin de critères de continuité (dérivabilité) et de convergence qui soient simples et intuitifs : c'est cela qui nous est utile pour tous les passages à la limite (en 0 ou à l'infini) et les interversions de symbole. Ce sont en math des critères forts comme le fait d'avoir toute suite de Cauchy qui converge.
 
Si je ne me trompe pas, un ev de dimension infinie, avec ou sans l'axiome du choix, ne nous donne pas tout cela : il faut passer aux espaces de Hilbert pour retrouver les propriétés des ev de dim finie qui nous intéressent dans des espaces de dim infinie. c'est beaucoup plus restrictif je pense.
 
je ne suis pas expert dans le domaine après, tu pourras certainement m'éclairer !
 

Entre 0.0 et 1.0, il y à un nombre fini de réel.