Commençons par factoriser les numérateurs:
 
Factorisons le premier numérateur (3a² + ab - b²) :
On cherche deux nombres qui multipliés donnent -3 et qui additionnés donnent 1 (coefficient de ab). Ces nombres sont 3 et -1.
Donc, 3a² + ab - b² = (3a - b)(a + b)
 
Factorisons le deuxième numérateur (a² - 2ab - 3b²) :
On cherche deux nombres qui multipliés donnent -3 et qui additionnés donnent -2. Ces nombres sont -3 et 1.
Donc, a² - 2ab - 3b² = (a - 3b)(a + b)
 
Maintenant, réécrivons l'expression avec les facteurs:
 
((3a^2+ab-b^2)(a^2-2ab-3b^2))/(a+b) = ((3a - b)(a + b)(a - 3b)(a + b))/(a+b)
 
On remarque qu'il y a un facteur commun (a+b) au numérateur et au dénominateur. On peut donc simplifier:
 
= (3a - b)(a - 3b)

Absolument ! Voyons comment simplifier cette expression :
 
(x^6+a^2.x^3.y)/(x^6-a^4.y^2)
 
Analyse des numérateurs et dénominateurs :
 
Numérateur : Le terme commun est x^3. On peut donc factoriser par x^3 : x^3(x^3 + a^2y)
Dénominateur : On reconnaît une différence de deux carrés : (x^3)^2 - (a^2y)^2. On peut donc factoriser selon la formule a² - b² = (a+b)(a-b) : (x^3 + a^2y)(x^3 - a^2y)
Simplification :
 
En remplaçant les numérateurs et dénominateurs par leurs formes factorisées, on obtient :
(x^3(x^3 + a^2y))/((x^3 + a^2y)(x^3 - a^2y))
 
On remarque que le terme (x^3 + a^2y) apparaît au numérateur et au dénominateur. On peut donc simplifier en supprimant ce facteur commun :
 
x^3 / (x^3 - a^2y)
 
Conclusion :
 
La forme simplifiée de l'expression est donc : x^3 / (x^3 - a^2y).