Bonjour,  
J'ai essayé de faire quelques exercices sur le plan et j'ai bloqué sur un  :  
Soit R² affine muni d'un repère orthonormé. On considère F qui à tout M(x,y) différent de l'origine associe M' projection orthogonale de M sur (PQ), avec P(x,0) et Q(0,y). On fixe Mo dans le plan et on pose :  
Pour tout n appartenant a N, Mn+1 = F(Mn). Etudier la suite (Mn)neN
Je ne vois absolument pas comment partir, si quelqu'un pouvait m'aider à trouver une piste pour démarer.  
Merci

commence par faire un dessin et par regarder comment marchent quelques cas particuliers.

Si X=Y, la suite tend vers 0 et si X ou Y =0 , la suite est constante, mais je ne vois pas comment étudier la suite ... j'ai essayé de calculer les coordonnées du projeté orthogonal et étudier comment il bouge mais ça n'aboutis pas.
J'ai pu me tromper, mais je trouve que les coordonnées du projeté orthogonal (que j'ai appeler (a,b)) :  
 
a= x - (y^3)/(x²+y²) - y²/x
 
b= -y²/(x+y²/x)

avec ces remarques, tu devrais déjà être en mesure d'établir l'existence de la limite et de restreindre les valeurs possibles pour cette limite.

(et accessoirement, je ne trouve pas la même chose que toi pour les coordonnées du projeté)

idem !

oui je me suis trompé, en fait je trouve :  
 
a = (x^3)/(x²+y²)
b= -y[(x²/x²+y²) -1]  
j'ai fais le test avec quelques cas limite (x=0,y=0) et ça me semble bon. J'essaye de m'attaquer au reste du problème ...

ton b peut se simplifier

Bon j'ai essayé de transformé tout ça et ça me donne une suite pour les (an) et une suite (bn) un peu bizarre je vois pas trop comment trouver une suite à tout ça :  
 
an =  (x^(3^n)) / ( produit(k=0 à n-1) ( x^(2*3n) + y^(2*3^n))  
et la même chose pour bn avec y au numérateur au lieu de x. Est-ce juste ? ça me semble un peu tiré par les cheveux comme suite ...

en notant Mn(Xn,Yn), tu peux remarquer plusieurs choses :  
 
- on peut toujours se ramener au cas où x >= 0 et y >= 0
 
- la suite Mn converge (pourquoi ?), donc Xn et Yn convergent
 
- lorsque x > y, par exemple, on a Yn -> 0 (pourquoi ?). reste à déterminer la limite de Xn.