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Primitive de la fonction inverse

n°886149
ggetvy
Posté le 31-10-2006 à 16:31:56  profilanswer
 

Bonjour à tous, voilà j’ai besoin de votre précieuse aide et de vos conseils sur la recherche de La primitive de la fonction inverse qui s’annule en x=1, Dont voilà l’ENONCE en gras et ce que j’ai fait :  
 
On appelle f cette fonction, On la supposera définie sur ]0 ; + ∞ [
 
1) écrire l’équation différentielle dont f est solution

 
Pour cela j’ai répondu que f est solution de l’équation différentielle  f’(x)=1/x car la dérivé de f et x ^ - 1 = 1/x
 
2) Soit a un réel strictement positif. On appelle g la fonction qui à tout réel strictement positif x associe g(x)=f(ax)
a) vérifier que pour tout réel x strictement positif g’(x)=f ‘(x)

 
Soit a un réel strictement positif la fonction g (x) = f (ax) est dérivable sur l’intervalle ]0 ;+ ∞[
 Donc  g (x) = f (ax) est dérivable sur l’intervalle ]0 ; + ∞  [
Dérivons cette fonction : g’ (x) = a.1/ax = 1/x
 Donc f (ax) = f (a)+ f (x) est  dérivable sur l'intervalle ]0 ; + [.
Dérivons cette fonction : f ‘ (x) = f (a)+ f (x) = 0 + 1/x = 1/x
Les fonction g et f ont donc des dérivées égales. Elles sont donc 2 primitives de le fonction 1/x
b) En déduire que g(x)=f(x)+k
 
Il existe un réel k tel que pour tout réel strictement positif x, g (x) – f (x) = k.  
Donc g (x) = f (x) + k  
c) Justifier que k=f(a)
 
Essayons de déterminons ce réel k.            Pour cela, calculons les images de 1 par ces deux fonctions.  
g(x) = f (a × 1) = f (a)      
f(x) = f (a) + f (1) = f (a) + 0 = f (a)
Donc k = 0 et les fonctions g et f sont égales.
 
On a démontré que g (x) = f (ax) = f (a) + f (x) dans la question a)
Donc f (a) = g (x) – f (x)  
De plus on a vu que g (x) – f (x) = k dans la question b)
On peut donc conclure que f (a) = k
 
d)        Quelle relation 1 peut-on alors écrire entre f(ax), f(x) et f(a) ?
 
On peut écrire la relation 1 : f (ax) = f (a) + f (x)
e) Utiliser le relation 1 pour exprimer alors f(a ^ n) en fonction de n et f(a)
f) En considérant f ( a ^ n * a ^ -n) vérifier que f(a ^ -n= -n f(a)
 
Pour les question e) et f) je n’ai pas réussi a faire car je ne les comprend pas vraiment. Donc si vous pouvez m’expliquer ce serai gentil de votre part.

3) Etude de la fonction f sur ]0 ; + ∞ [
a) déterminer le sens de variation de la fonction f

 
Soit a et b 2 réels strictement positif tel que a<b, comme a et b ont même signe, par passage de cette inégalité à l’inverse il vient que :  
 a<b
 1/a > 1/b
Donc   f (a) > f (b)
Ce qui prouve que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ;  + ∞  [, donc f est décroissante sur R*  
 
Tableau de variation
 
 
 
Autre méthode :  
La fonction inverse f : x → 1/x est définie et dérivable sur ] - ∞ ; 0 [ u ] 0 ; + ∞ [
Et pour tout réel x ≠ 0 , f ’ ( x ) = – 1/x ², ce qui est strictement négatif sur IR* .
 
Or f n’est pas décroissante sur IR* ; elle l’est indépendamment sur ] - ∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; + ∞ [ .
 
Tableau de variation
 
 
La double barre en dessous de 0 est là pour indiquer que 0 n'a pas d'image par la fonction inverse.

b) justifier que f(2)>O

 
f (2) > 0 car f (2) = 5
 
c) Soit A un réel strictement positif
i)Justifier que : n appartient à N, n > A/f(2)   →    f(2^ n) > A, puis que pour tout x supérieur à    2 ^n, f(x) > A

 
Pour tout réel A>0, il existe un réel xo tel que si x >=xo alor f (x) >= A
On a pour f (2) > 0 et pour tout entier naturel n, f ( 2^n) = n f (2)
Soit A un réel positif quelconque et no un entier naturel tel que no>= A/ f (2)
On peut prendre par exemple no = E ( A/f (2)+1. On pose xo = 2^no.
Alors pour tout réel x, si x>=xo alors f (x)>= f (xo )  
Alors f (x) >= A
ii) En déduire lim x tend + ∞  f(x)
 
Donc lim x tend + ∞  f(x) = + ∞ Cela signifie que f (x) devient aussi grand que l’on veut pourvu que x soit assez grand.
 
d) Soit A un réel strictement négatif  
i) Justifier que : n appartient N,  n > - A/f(2)     →    f(2^ n) < A, puis que pour tout x inférieur à    2 ^ - n, f(x) < A

J’ai fait une explication analogue par rapport a la question 3 c) mais je ne suis pas sur que ce soit ca qu’il faut faire
 
ii) En déduire lim x tend 0+ f(x)
 
Donc lim x tend 0+ f(x) = + ∞  
 
4) Equation f(x)=1
a) Prouver que l’équation (E) admet une unique solution e sur ]1; + ∞   [

 
On a vu lors de la question 3 a) que f est continue et strictement monotone sur ] 1 ; + ∞  [ et lors de la question 2 c) que f (a) = k donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l’équation f (x) = 1  →    1/x = 1, admet au moins une solution e sur ] 1 ; + ∞  [
Car le réel 1 est compris entre f ( 1.1) et f ( 0.9 ).
 
b) A l’aide de la méthode d’Euler, en fixant le pas à h = 0.2 encadrer e par deux entier
Pour cette question je ne sais pas comment m’y prendre car en classe j’ai appris a le faire en utilisant la formule f ( a+h ) = f (a) + h f’ (a)  avec f ’(x) = -1/x²          et avec f (0), mais le problème ici c’est que f (0) n’a pas d’image.
Mais j’ai fait f (0.2) = f (1)+ 0.2 f’(1) = 1 + 0.2 * (-1) = 0.8
Comme mes résultats étant fausse je n’ai pas réussi a encadré e avec 2 entiers.
 
5) Croissance comparée  
On pose h(x) = racine carré de (x) – f(x)
[b]a) Etudier les variations de la fonction h
[/b]
 
Soit h(x) = racine carré de (x) – f(x) = racine carré de (x) – 1/x =  [racine carré de (x)* (x) – 1]/ x Et je suis bloquée. Du fait que je n’arrive pas a trouver h, je ne peux pas faire son tableau de variation.
b) En déduire que pour tout réel x strictement positif , f(x) < racine carré de (x)
6) Représenter graphiquement les fonctions f et racine

 
Je vous remercie, de me corrigé si j’ai fait des erreur car je ne suis pas sure que ce que j’ai fait soit juste ainsi que pour toute aide que vous pouvez m’apporter pour cet exercice, qui semble facile mais qui est assez délicat pour ma part à démontrer. S’il vous plait pouvez vous me dire quelle sont les questions dont j’ai fait juste et celles dont j’ai fait faux

mood
Publicité
Posté le 31-10-2006 à 16:31:56  profilanswer
 

n°886364
nazzzzdaq
Posté le 31-10-2006 à 22:20:48  profilanswer
 

1: Faux ton résultat n'est pas une équa diff
 
le reste à l'aire plus ou moins juste

n°886495
ggetvy
Posté le 01-11-2006 à 11:07:06  profilanswer
 

mais comment je peux faire pour la trouvé? je te remerci d'avoir jetté un coup do'eil a mon exercice

n°886857
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 01-11-2006 à 20:04:52  profilanswer
 

nazzzzdaq a écrit :

1: Faux ton résultat n'est pas une équa diff

 

le reste à l'aire plus ou moins juste

   


  


Avec plus de rigueur, on veut une condition sur f et non f'(x)

 

Sinon :
Ta question 2.c a l'air fausse...
Pour la question e), par récurrence...sachant que f(a^n)=f(a*a*a*a...*a)...et si tu regardes ce que tu as montré précedemment, tu trouveras surement...
T'es en quelle classe ?
(ta fonction c'est la fonction logarithme néperien, tu dois surement être en première, nan...?, pas entendu parler de dérivée ?)


Message édité par ishamael666 le 01-11-2006 à 20:15:12

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