Bonsoir à tous,
 
J'ai une demonstration à faire mais j'arrive pas à trouver la solution ça m'énerve quelque peu, en plus c'est pour demain -_-, à savoir :
 
On a "n entier naturel non premier, tel que n = pq avec 1 < p < n et 1 < q < n.
Démontrer que 2^n - 1 est divisible par 2^p - 1 "
 
et comme info on a :
 
x^m - 1 = (x - 1) * (x^(m-1) + x^(m-2) + ... + x + 1)  
 
Si y'a quelqu'un pour m'aider, ça fait une plombe que je suis dessus et je trouve rien  
 
Merci beaucoup

indice : 2^n - 1 est divisble par 2^p - 1 <=> il existe un entier q tel que 2^n - 1 = (2^p - 1)*q

Euh bah oui
 
Le problème c'est que justement j'arrive pas à trouver une expression pour q.
 
Si on remplace 2^n - 1 et 2^p - 1 par l'expression donnée, on a (2-1) * (2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2 + 1)  et (2-1) * (2^(p-1) + 2^(p-2) + ... + 2 + 1)
 
Donc q = (2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2 + 1) / (2^(p-1) + 2^(p-2) + ... + 2 + 1) (qui revient à (2^n - 1) / (2^p -1))
 
Mais après j'en fait quoi de ça (je crois que je suis vraiment pas en forme)
 
Edit : merci d'avoir répondu

tu as besoin de x = 2^q. réfléchis

En gros tu veux :
 
2^n = (2^p)^q car n = pq
 
Donc (2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2 + 1) = ((2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 + ... + 2 + 1) ?
 
Et donc q = ((2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 + ... + 2 + 1) / (2^p-1 + 2^p-2 + ... + 2 + 1) ?
 
Ou alors j'ai encore rien compris.
 
Si c'est ça je vois toujours pas quoi en faire après (et donc ça m'étonne)

je ne vois pas pourquoi tu t'embêtes  
 
x^m - 1 = (x - 1) * (x^(m-1) + x^(m-2) + ... + x + 1) c'est valable pour tout x et pour tout m. applique le pour x = 2^q et m = p, et tu auras ce qu'il te faut

Bah c'est ce que j'ai fais là :  
 
((2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 + ... + 2 + 1) sauf que q et p sont inversés, et que j'ai viré le x-1 alors qu'il faut pas -_-
 
Donc q = [ (2^q -1) * ((2^q)^(p-1) + (2^q)^(p-2) + ... + 2^q + 1) ] / [ (2-1) * (2^(p-1) + 2^(p-2) + ... + 2 + 1) ]  ?
 
 

ben, euh, si tu veux, mais on ne te demande pas de donner d'expression explicite de q, et ça me fait mal à la tête de vérifier que ce que tu écris est exact

(Désolé pour ta tête )
 
Ca m'aurais arrangé de pouvoir le réduire mais j'ai pas l'impression que l'on puisse.
 
Merci bien pour ton aide
 
Edit : (vais pas avoir beaucoup de sommeil   ça m'apprendra à m'y prendre au dernier moment, même si sur le coup j'ai bouletté pas mal)

en quoi ça t'aurait arrangé ? y a pas besoin pour ce qu'on te demande tu as écrit 2^n - 1 sous la forme (2^p - 1)*(un machin entier), c'est tout ce qu'on te demande, y a pas à en faire plus
 
bonne nuit

C'est vrai c'est vrai
 
Bonne nuit