Bonjour, j ai un devoir a rendre et je ne sais pas comment faire, voici l enonce:
On se place sur [0,pi/2] et on considere la serie de fonction un=(sin²x)(cos^n x), il faut calculerSn(x) la somme partielle de rang N de cette serie.
J ai commencer par dire que un=(sin²x)(cos^n x)=(1-cos²x)(cos^n x)=(cos^n x)-(cos^n+2 x) mais apres je ne sais pas.

ben, série téléscopique, non ?

Ce qui veux dire quoi exactement

c'est de la forme u_n=v_n-v_n+2
donc quand on va sommer , beaucoup de v_n vont sauter

Oui mais avec mais cos  mais x et mais n je suis perdu

Donc Sn=U1+U2+U3+...Un
Avec U1= (cos^1 x)-(cos^1+2x) et ainsi de suite

nonon, tu te trompes,u_n=cos(x)^n-cos(x)^(n+2) et là, tu fais comme g dis

Sn est bien a U1+U2+...+Un
mais U1=cos(x)^1-cos(x)^3

Il va donc rester Sn=cos(x)+cos(x)²+cos(x)^n-cos(x)^(n+2)

Ce n est pas plutot egale a Sn=cos(x)+cos(x)²

 
N'est-il pas plus simple de considérer la suite géométrique de raison cosx    U0=sin²x  U1=sin²x*cosx  U2=sin²x*cos²x .... Un=sin²x*(cosx)^n       Un=U(n-1)*cosx
Sn=sin²x(1+cosx+cos²x+ ... +(cosx)^n) et la parenthèse est la somme des n puissances de cosx.
Or la somme des n puissances d'un réel q     (1+q+q²+q^3+ ... + q^n) = (1-q^(n+1))/(1-q)

Bonjour, gipa je n est pas compris pourquoi tu m etait Un=U(n-1)*cosx
et ce que vaut Sn

Est ce que Sn=sin²(x)((1-cos(x)^(n+1))/(1-cos(x)))

Comment ce fait il que l on ne trouve pas les même résultats  

Dans une suite géométrique, chaque terme est égal au précédent multiplié par la raison, j'ai écrit Un=U(n-1)*cosx pour souligner cette propriété, c'est tout.
 
Pour la somme, il suffit de l'écrire Sn=U0+U1+U2+ ... +Un = sin²x(1+cosx+cos²x+ ... +(cosx)^n) et comme je l'écrivais  
 (1+q+q²+q^3+ ... + q^n) = (1-q^(n+1))/(1-q) il n'est pas très difficile de trouver  (1+cosx+cos²x+ ... +(cosx)^n)
En simplifiant l'expression que tu obtiens, tu retrouve la même que celle obtenue avec la démarche de mirkocrocop.
NB: je fais démarrer la série à U0.
 

J aurais bien voulu simplifie sin²x par 1-cos²x mais j ai le ² qui m embette

Je trouve avec la demarche de mirkocrocop Sn=1+cosx+cos^n x-cos^(n+2) x

Avec la demarche de Gipa je trouve Sn=(1-cos²(x)+cos^(n+2))/(1+cosx)

 
1-cos²x est une différence entre 2 carrés, 3e identité, classe de 3e  a²-b²=(a-b)(a+b)

oui et c'est le même résultat que mirkocrocop à condition de ne pas faire d'erreur dans la dite méthode : le résultat que tu trouves Sn=1+cosx+cos^n x-cos^(n+2) x  est faux.  Ecris davantage de U les uns sous les autres U0 U1 U2 U3   puis U(n-3) U(n-2) U(n-1) Un pour voir les termes qui disparraîssent quand tu additionnes.
 
Pense que (1-cosx) au diviseur doit être différent de 0, mais l'incertitude est vite levée.  

Je trouve Sn=1+cos(x)-cos^(n+1)(x)-cos^(n+2)(x)

 
Dans les deux derniers termes, tu peux mettre -cos^(n+1)(x) en facteur  

Donc Sn=1+cos(x)-cos^(n+1)(x)(1+cos(x))

 
Il faut vraiment tout te macher. Que peux-tu faire maintenant de (1+cosx) ? regarde bien !

Désolé je dirais que Sn=(1+cos(x))(1-cos^(n+1)) et la je pense que l on peut ne faire mieux

Merci GIPA et  MIRKOCROCOP

Mémorise la formule que je t'ai donnée sur la somme des puissances d'un nombre, elle va te servir pour toutes les suites géométriques. Sa démonstration est ultra simple.

Il faudrait que je trouve la limite SN(x) quand N tend vers l infini en separant les bornes et l interieur du compact [0,pi/2]

Merci gipa du conseil

Tu as Sn=(1+cos(x))(1-(cosx)^(n+1))
x appartient à [0,pi/2] . Tu te débarasses d'abord des cas des deux bornes. Pas trop difficile, si x=0 cosx=1 donc (cosx)^(n+1)=?  Si x=pi/2   cosx=0  donc .....
Quand x appartient à ]0,pi/2[  0<cosx<1 , demande toi comment varie a^n quand a est strictement positif, strictement plus petit que 1 et que n augmente et trouve sa limite quand n tend vers l'infini.

J
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Je trouve pour x=0 Sn=0 et x=pi/2 Sn=1
De plus lorsque n tend vers l infini je dirais que(1+cos(x))(1-cos^(n+1)(x))=1+cos(x)
Donc S(x)=1+cos(x)
 
 
 
 

Sinon j avais mis:
soit a^n avec o<a et o<a<1
lim a^n=0 lorsque n tend vers l infini
Donc limSn(x)=1+cos(x) lorsque n tend vers l infini

Grâce a la limite trouve sur [0,pi/2] je peux dire directement que Un=(sin² x)(cos^n x) converge simplement vers 1+cos(x) car sa limite entre [0,pi/2] est égale a 1+cos(x)

 
J'ai l'impression que tu confonds Un et Sn.
Un=sin²x*(cosx)^n        Sn=(1+cosx)(1-(cosx)^(n+1))
1+cosx est la limite de Sn (la somme des Un) ce n'est pas la limite de Un
Je t'ai fait remarquer que la suite Un est une suite géométrique de raison cosx. Revois ton cours sur les suites géométriques.
Une adresse parmi bien d'autres  http://homeomath.imingo.net/suitgeo.htm

Tres interessant le lien
Si j ai bien compris on peut dire que Un est une suite geometrique qui peu s ecrire Un=U(n-1)*cos(x)
Comme Icos(x)I<1 pour x compris entre [0,pi/2]
Un est convergente et converge vers 0

Je ne pense pas que c est ca puisqu apres on me demande d étudier la continuité sur [0,pi/2]de la fonction limite simple obtenue avant

Pour x=0 Un=0
Pour x=pi/2 un=0
Je ne vois pas trop comment faire surtout s il faut trouver vers qu elle fonction elle converge sur [0,pi/2]

Je te l'ai déjà dit plus haut, tu confonds Un et Sn. La limite calculée plus haut est la limite de Sn quand n tend vers l'infini.Tu as trouvé que cette limite (je répète, limite de Sn, pas de Un) est égale à 1+cosx. Vers quoi tend cosx quand x tend vers 0 donc vers quoi tend cette limite quand x tend vers 0 ? Or qu'as-tu trouvé comme valeur de cette limite pour x=0 ?  Tu as écrit plus haut "Je trouve pour x=0 Sn=0 et x=pi/2  Sn=1". Continuité ou pas ?