Exercice 1:
 
Etablir pour tout nombre z complexe :
 
Re(z) > 0
/z² - 1/2 / < 1/2
 
 
--> / z - 1/3 / < 2/3
 
(les barres en bleu c'est "module de" )
 
J'aurai besoin d'une piste ...  
 
si vous voulez il y en a deux autres ... mais pour les écrire c plus difficile ...

çà n'a pas l'air que complexe pour moi  

je sens que je vais repartir dans ma piole sans indications    
 
ts pis  
 
 

ah si !  
 
bah g essayé plein de truk ... qui ont pas aboutit  
 
et un mek de ma classe a utilisé l'inagalité triangulaire ... mais g du mal a voir où il veut aller  

Il ne manquerait pas un carré dans la seconde inégalité sur le z ?

L'inégalité est elle vraiment stricte?  

ca se fait avec des epsilon sans problème.
 
tu vois que la première inégalité est vraie lorsque z² tend vers le disque unité cest-à-dire lorsque z tend vers le disque unité.
 
la deuxième égalité fonctionne également si z tend vers le disque unité.
 
 
l'implication dans un sens (il n'y a pas équivalence) vient du fait que z² tend vers le disque unité plus vite que z lorsque z tend vers le disque unité par l'extérieur (et le contraire dans le disque intérieur : z arrive plus vite sur le disque unité que z²)
 
 
PS: une représentation graphique du problème aide bien pour ce genre de question

Bon j'ai un truc pas très convaincant mais bon je l'expose quand même.
En utilisant les conjugués* on obtient:
/z² - 1/2 / < 1/2 et Re(z) >0 => /z²/² < Re(z²) (1)  
donc Re(z²) < 1, donc /z²/²<1 soit /z/ < 1 et Re(z) < 1
 
De la même manière,
/ z - 1/3 / < 2/3 <=> /z/² < 1/3 + 2/3 x Re(z)  (2)
 
or (1) => /z/² < Re(z) = 1/3 x Re(z) + 2/3 x Re(z) < 1/3 + 2/3 x Re(z)  
soit /z/² < 1/3 + 2/3 x Re(z) (2)
 
QED
 
* /z/² = z. z  
Re(z)= (z+z)/2
z+a = z + a

c koi un disque unité ?    
 
sinon le DM est rendu ... je mettrai la correction le w-e prochan pour ceux qui ont cherché  

Le disque unité c'est l'ensemble des complexes de module 1 (c-a-d les complexes de la forme exp(ix)).
 
sur le plan complexe, c'est le disque de centre l'origine et de rayon 1 (il passe notamment par 1;-1;i;-i)