Bonsoir à tous, j'ai vraiment du mal avec cette exercice, voici l'intitulé:
 
Déterminer les couples (x;y) d'entiers naturels solutions du systèmes
 
 
) x²-y²=5440
)PGCD(x,y)=8
 
Merci beaucoup pour votre aide.

Cela s'écrit (x+y)(x-y)=5440

x+y est donc un diviseur de 5440 et x-y s'en déduit aussitôt.

Toutefois pgcd(x,y)=8 d'où x=8x'  et  y=8y'  avec x' et y' premiers entre eux.On remplace et on détermine x' et y'.

64(x'+y')(x'-y')=5440

(x'+y')(x'-y')=85

on recherche alors les diviseurs de 85.

x'+y' est l'un d'entre eux , x'-y' s'en déduit ; on ne garde que les couples d'entiers naturels premiers entre eux.

mais il y a plein de diviseur de 85 en effet D85=-85, -17, -5, -1, 1, 5, 17, 85
mais comment puis-je trouver x' et y' ?  
je dois faire : (x'+y')=-85 et (x'-y')=-1
de même on peut avoir (x'+y')=-17 et (x'-y')=-5
c'est ça???
mais dans ce cas on a : x'=-17-y' et x'=-5+y'
donc -17-y'=-5+y' et -12=2y' et y'=-6
c'est ça???  
alors dans ce cas on a y'=-6 et x'=-11 et de là on a un couple (x,y) où x=-88 et y=-48 c'est juste??

On ne recherche que des entiers naturels.
 
x'+y' est forcément positif.

d'accord donc les 4 possibilités sont:
 
x'+y' =85 et x'-y'=1
x'+y' =1 et x'-y' =85
x'+y' =17 et x'-y'=5
x'+y' =5 et x'-y'=17
 
c'est ça???
merci d'avance

Etant donné que x' et y' sont naturels on a forcément x'+y'>x'-y'

merci donc on prend juste  
x'+y' =85 et x'-y'=1  
et x'+y' =17 et x'-y'=5  
merci beaucoup pour ton aide

tu sais ce que veux dire ^??? quand on dit a^b=3?

parce que j'ai du mal aussi avec l'exercice là  
 
n désigne un entirer naturel tel que n>2
 
a=2n+5 b=n+1
 
1)a. Calculer a-2b  
 
b. En deduire que PGCD(a,b) est un diviseur de 3
 
2) Dans chaque cas déterminer les entiers n tels que:
a. PGCD(a,b)=3 b. PGCD(a,b)=1

Dans ton contexte a^b est le pgcd de a et b.
Pour l'exercice précédent il faut vérifier que x' et y' sont premiers entre eux.Tu y as pensé ?

et comment puis-je le vérifier?

pour x'+y' =85 et x'-y'=1  
on a 84=2y' soit y'=42
de là on a x'=43
alors on fait
43=42*1+1
42=1*42+0
donc x' et y' sont 1er entre eux non?

Gato66 tu m'a ecrit "64(x'+y')(x'-y')=5440
 
 
(x'+y')(x'-y')=85
 
 
on recherche alors les diviseurs de 85.
 
 
x'+y' est l'un d'entre eux , x'-y' s'en déduit ; on ne garde que les couples d'entiers naturels premiers entre eux
"
mais comment sait tu que x'-y' et x'+y' doivent etre des couples 1er entre eux?

Parce que l'on a écrit x=dx' et y=dy' avec d pgcd de x et y.

d'accord merci et ça c'est juste alors?
 
pour x'+y' =85 et x'-y'=1    
on a 84=2y' soit y'=42  
de là on a x'=43  
alors on fait  
43=42*1+1  
42=1*42+0  
donc x' et y' sont 1er entre eux non?

et pour x'+y'=17 et x'-y'=5
on a x'=17-y' alors 17-2y'=5 et 12=2y' et y'=6
alors x'=11
je vérifie  
11=6*1+5
6=5*1+1
5=5*1+0
donc 11 et 6 sont premiers entre eux c'est ça?

Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux : on le voit facilement avec Bezout : x'-y'=1
42 et 43 sont premiers entre eux.

11 et 6 sont premiers entre eux car 11 est premier donc premier avec tout entier qui n'est pas un de ses multiples.

donc mon exercice est fini la non?

merci beaucoup pour ton aide

Reste à dire que x=8x' et y=8y'.

tu peux m'aider pour cet exercice stp
 
 désigne un entirer naturel tel que n>2  
 
a=2n+5 b=n+1  
 
1)a. Calculer a-2b  
 
b. En deduire que PGCD(a,b) est un diviseur de 3  
 
2) Dans chaque cas déterminer les entiers n tels que:  
a. PGCD(a,b)=3 b. PGCD(a,b)=1  
 
 
J'ai trouver  
 
1a. a-2b=3
b. j'ai montrer grace aux combinaisons linéaires  
2a et b. j'ai pa réussi  
a. on sait que 3 divise a et b car a^b=3
donc a=3a' et b=3b'
avec a' et b' premier entre eux mais comment continuer avec n ?

oui bien entendu en finissant j'obtient les couples
(344,338) et (88,48)

42*8=336

ah oui dsl c'était une erreur de frappe

encore merci beucoup pour ton aide

pourrais tu encore m'aider stp je suis perdu

PGCD(2n+5,n+1)=PGCD(2n+5-(n+1),n+1)=PGCD(n+4,n+1)=PGCD(n+4-(n+1),n+1)=PGCD(3,n+1)

merci mais j'ai du mal a comprendre pourquoi tu fais ça

je dois touver les entiers n tel que PGCD(a,b)=3 et PGCD(a,b)=1
 
il faut alors PGCD(2n+5,n+1)=3

pourquoi as tu le droit de soustraire plusieur fois n+1 a 2n+5 ???
après je comprend ton raisonnement tu fais cela pour chercher les n tel que PGCD(3,n+1)=3  
je sais que 3 divise 3 et que 3 divise n+1 or les diviseurs entier de 3 sont -3, -1, 1, 3 donc n=-4 ou n=-2 ou n=0 ou n=2
mais dans l'énoncer on a n>2 donc il n'y a pas d'entier n tel que PGCD(a,b)=3 c'est ça?

donc PGCD(3,n+1)=3 à résoudre dans un premier temps

Algorithme d'Euclide : PGCD (a,b)=PGCD (a-b,b).

PGCD (3,n+1) est assez facile à trouver selon que n+1 est ou non multiple de3.

PGCD(3,n+1)=1 si ce n'est pas un multiple
et PGCD(3,n+1)=3 si c'est un multiple  
c'est ça?

si c'est un multiple de 3 il s'écrit 3k
donc n+1=3k  
et ensuite?

je suis vraiment nul j'arrive pas

C'est fini : n+1 multiple de 3 soit n de la forme -1+3k , k entier supérieur ou égal à 1.

donc quand ils disent déterminer les entiers n tel que PGCD(a,b)=3 je dois dire les entiers n sont soit de la forme -1+3k soit il fait que 3 et n+1 soit 1er entre eux

c'est ca? non ?

(x+y)(x-y) = x²+2xy-y²
et non pas (x+y)(x-y) = x²+y²