Bonjour à tous ,
J'ai commencé à étudier les développements limités mais je bloque sur 2 questions de mon exercice ...
 
On me dit :
soit f la fonction définie par f(x) = √(1+x)+ x^3 sin(1/x) si x différent de 0 et f(o)=1
 
1) Montrer que f admet un DL2(o) et le déterminer
2) Peut-on en déduire que f'(0) et f''(0) existent ?
 
je me suis donc penché sur la question et mes résultats donnent :
 
1) Pour montrer que le DL existe, je sais comment faire avec les limites, mais ça prouve que f'(0) et f''(0) existent, or c'est la deuxième question donc je suis bloqué...
 
√(1+x)= 1 + (1/2)x - (1/8)x² + x² ε(x)
et
x^3 * sin(1/x) = 0 + 0x + 0x² + x² ε(x)
 
Donc le DL 2(0) , on calcule seulement le DL de √(1+x)
 
2) Je ne comprend vraiment pas comment s'y prendre pour cette question et n'ai aucune piste...
 
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

|Sin(1/x)| <= 1, donc x^3 * Sin(1/x) =  x² ε(x)
 

Merci de ta réponse, je pense que la 1) je peux donc la faire facilement.
 
Pour la 2, quelqu'un a une piste svp ?

Si tu fait un DL d'ordre 1, tu trouves 1+1/2x  + o(x).
Or f'(x)=lim (x->o) (f(x)-1)/x. Cette limite existe bien et est 0, tu as donc trouvé f'(0).
En revanche le DL ne te renseigne pas sur f''. Tu peux d'ailleurs faire le calcul de f" comme lim (f'(x)-f'(0))/x, tu trouves quoi?