Reprise du message précédent :
On a déja expliqué l'arithmétique des cardinaux. T'as qu'à lire... on parlera de Cantor quand tu aura appris tes leçons.
 
PS: pas taper, c'est pour rire

 
on enroule la droite des réels sur le cercle trigo , un cercle fait tenir sur une feuille la représentation d'une droite infinie

(deflag) top relou les gamines qui se la racontent un poil trop, on en reparle qd t'aura l'X ou ton agreg ok ?
 
edit : spa pour toi magic panda, mais pour le ton global du topic

salut à tous !!!
 
ca fait un bail que je suis pas passé sur le topic unik math, du coup, je fais une petite réaparition ici !!!
 
en fait, je voulais juste faire une petite remarque concernant la comparaison des infinis qui n'a pas été faite jusque là :
 
si on passe à la limite en +infini, toutes les applications suivantes tendent aussi vers l'infini :
 
x->x
x->x^n (avec n entier naturel non nul)
x->x^a (avec a réel strictement positif)
x->exp(x)
.
.
.
etc
 
on obtient donc "à la limite" plusieurs applications qui tendent vers l'infini, mais elles ne le font pas toutes à la meme vitesse (l'exponentielle croit plus vite que n'importe quelle fonction puissance par exemple)...
 
même si ca n'ait pas à proprement parlé "une comparaison d'infini" (mais plutot une comparaison de valeurs, aussi grandes soient-elles...), je pense que ca pourrait aider certains à évacuer quelques idées reçues de leur pensée !!
 
voilà, c'était tout, bonne soirée à tous !

=>

Pas de chance tu sais, parce que parmi les intervenants de ce topic, il y a a la fois des gens qui ont eu l'X et d'autres qui ont eu l'agreg.
Alors :lol:
 
Edit: le pluriel peut ou non etre applicable, il est la pour eviter de reveler la vie des personnes concernees.

Super essayer de faire "celui qui sait" alors que tu ne connais même pas en surface le sujet

Parce que tu as l'X ou une agreg pour te permettre de raconter n'imp sur le sujet d'un ton péremptoire? Bah non. Alors chut.

 
L'idée qu'il existe des ensembles de cardinalité infinie est quand même franchement pratique, même si c'est vrai si ca se trouve il n'existe aucun domaine en physique où l'on trouvera quelque chose d'infini (peut être que  l'univers ne correspond pas à un modèle continu, peut être qu'il existe une "petitesse" limite des éléments de l'univers,peut être qu'il est borné et qu'on ne peut pas compter sur un temps sans fin pour constituer de véritables ensembles infinis).
 
En effet même si on incapable de noter tous les nombres entiers naturels sur une feuille et si on ne peut pas en exhiber la liste complète en disant "voici un ensemble infini", il est clair qu'il est intéressant d'admettre qu'ils appartienne tous à un même ensemble N (après tout on voit tout de suite que 1; 446867; 458872131564687 et 795 ont quelque chose en commun, même si on énumère pas tous les entiers avant eux.. donc on peut directement dire "ils appartiennent à N" sans avoir dressé la liste de tous les éléments de N pour autant). Ce choix est contestable c'est évident (après tout faut se méfier des évidences quand on manie les ensembles), mais il est parfaitement légitime quand même, et après c'est juste une question d'axiomes: en suivant ces axiomes on peut donc faire des ensembles qui comme N contiennent clairement un "nombre infini" (sic) d'éléments, cad qui a une cardinalité infinie (N est en bijection avec ses parties comme cela a déjà été dit): ca n'a rien à voir avec des limites (l'ensemble existe et A une cardinalité infinie, le "nombre d'éléments" qu'il contient d'évolue pas... c'est pas comme un truc qui croit en dépassant n'importe quelle valeur au bout d'un certain temps... )
 
Après en admettant l'existence d'ensembles infinis on est obligé d'admettre qu'ils peuvent avoirdes cardinalité différentes: comme avec des ensemble de cardinalité fini, si les cardinalités sont égales on peut faire des bijections (entre N, Z et Q notamment),cad les associer deux par deux sans en oublier aucun (la encore même si on ne le fait pas en pratique on peux toujours créer des algorithmes et apres en voyant l'entier relatif -46578 on peut par exemple dire qu'il est en 93148ème position dans la liste - en assignant 0 a la 1ere place, 1 a la deuxieme, -1 a la troisième, tout entier n<0 sera a la (-2n+1)ème place),sinon si on ne peux pas les faire bijecter c'est que leur cardinalité est différente (ou on décrète "on ne peut pas comparer les infinis" mais on avance pas beaucoup... pourquoi ne pas étendre les règles des ensembles finis aux ensembles infinis, a partir du moment ou ca reste consistant?). C'est le cas notamment lorsque l'on admet l'existence d'un ensemble continu (sans trou) avec des nombres possédant une infinité de décimale (comme pi): l'emsemble des réels compris entre 0 et 1 a une cardinalité supérieure à N par exemple. Et comme on peut facilement faire une bijection entre l'ensemble des points d'un segment et l'ensemble [0;1] (si on admet qu'un point n'a pas de longueur ni rien d'autre de ce genre -ce qui est quand même la base de la géométrie...-, alors les coordonnées de tous les points du segments correspondent à un intervalle que l'on peut ramener à [0;1]), la cardinalité de l'ensemble des points d'un segment et aleph(1)
 
Bon j'ai été multi-grillaid etc... mais ca m'énerve de voir des mecs qui se refusent absolument à réfléchir sur des ensembles de cardinalité infinis sans raison..

 
 
En toute rigueur, précisons qu'affirmer card(R)=aleph(1) revient à admettre l'hypothèse du continu, qui est indécidable dans la théorie des ensembles axiomatisée par Zermano-Fraenkel.

Vi c'est ce que j'ai vu dans le topic un peu après avoir posté... Mais *traditionnellement* la définition de "aleph(1)" n'est-elle pas "card(R)", indépendamment du problème de l'hypothèse du continu? Car l'hypothèse du continu c'est juste savoir si il y a quelque chose entre card(N)=card(Z)=card(Q)=aleph0 et card(R)=aleph1?

Ben non en fait c'est dans l'autre sens : aleph(1) c'est le cardinal de ce qui vient juste après card(N), donc s'il y a quelque chose entre card(N) et card(R), ben son card serait aleph1 et card(R) sans doute aleph2.
On ne peut donc pas se passer d'admettre l'hypothèse du continu pour dire card(R) = aleph1
 
c'est un peu fou d'ailleurs.

 
Faux. Un segment contient une infinite de points.

Oui j'ai vu après que aleph(1) fait bien référence au cardinal juste après  card(N). Mais ca me parait un peu restrictif: c'est tout de même déjà admettre que même si card(R) est pas le cardinal juste après card(N), il en existe bien un autre. En gros c exclure le cas ou il existe une infinité de cardinaux compris entre card(N) et card(R) répartis de facon "continue" (je pensais que l'expression "hypothèse du continu" faisait référence à un choix à faire entre cardinaux transfinis répartis de facon discrete - on passe directement de card(N) a card(R) a card(P(R))... avec P(R) l'ensemble des parties de R - ou de facon continu -card(N); card(R).. ne sont que les points 0; 1... de la demi-droite [0;+inf[ en quelque sorte.. il y en a plein entre) et pour tout cardinal aleph(x) strictement superieur a card(N) on en trouve toujours un plus proche de card(N) que aleph(x).. Faut croire que ce cas est vraiment reconnu comme impossible..  

L'ensemble le plus grand demontré aujourd'hui n'est pas celui dans lequel entre 2 reels il y en a une infinité ?
Et on cherche toujours un ensemble plus grand. Grand est effectivement mal chois car celui-la est deja infinie.

L'infini c'est par là

C'est pas "le" plus grand. C'est en fait avec l'intervalle [0;1] ou plus généralement R qu'on peut voir le premier exemple d'ensemble avec un cardinal ("nombre d'éléments"; ca fait référence a la taille de l'ensemble quoi -pour eviter le terme "grand" ) supérieur a celui de N (on suppose que card(N) est le plus petit petit cardinal possible pour un ensemble "infini".. en dessous l'ensemble est fini.. de plus on montre aussique l'on peut faire des bijections entre des ensembles dits "dénombrables" courants comme N, Z et Q -cad que l'on peut assigner un numero a tous les elements de Q sans en oublier aucun, donc il y a autant d'elements dans Q que dans N-, et ils ont donc le même cardinal que l'on note "aleph(0)" ): la question est alors de savoir si il y a des ensembles avec un cardinal entre card(N)=card(Z)=..=aleph(0) et card([0;1])=card(R): c'est l'hypothèse du continue, qui est indécidable mais on va l'admettre pour simplifier ici. On notera donc card(R)=aleph(1)>aleph(0)
 
Ca c donc le cas souvent étudier de card(N) et card(R), mais ce principe de comparaison d'ensembles a ete generalise par Cantor qui a enonce que "le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble E est plus grand que le cardinal de E". Avec un ensemble fini, c'est evident: par exemple pour l'ensemble E={1;2;3} on a card(E)=3 et l'ensemble des parties de E est E'={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} (avec {} l'ensemble vide, j'avais pas le symbole sur mon clavier..). on a donc card(E')=8 cad card(E')>card(E)
Generalement pour des raisons de simplicité on note l'ensemble des parties de E par "P(E)" et le fait que card(P(E))>card(E) avec E un ensemble fini(en fait etant que pour former chaque partie de E on procede pour chaque element au choix "je prends" ou "je prends pas" il y a 2^(card(E)) possibilités de parties différentes, et card(P(E))=2^(card(E)) ) se retrouve donc aussi selon le théorème de Cantor pour les ensembles transfinis et on va avoir (en généralisant l'hypothèse du continu):
- card(P(N))>card(N) d'ou card(P(N))=card(R)=aleph(1)
- card(P(R))>card(R) d'ou card(P(R))=aleph(2) (je repete c'est arbitraire y a peut etre des trucs entre card(R) et card(P(R)).. c indecidable)
- card(P(P(R)))>card(P(R))>card(P(R)) d'ou card(P(P(R)))=aleph(3)
etc...
R (ou [0;1] c'est pareil) est donc loin d'etre le plus "grand" des ensembles. Mais c'est a partir (du moins on le suppose) des ensembles définis de facon continue que l'on commence a avoir des ensembles plus "grand" que l'ensemble N.  
 
Pour le théorème de Cantor: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem

En fait, il semble que les théories récentes penchent de plus en plus pour adopter une axiomatique dans laquelle l'hypthèse du continu serait fausse

Ah bon ?
Tu aurais un site de maths où on parle de ça de façon "relativement" abordable (pour un niveau au plus license/maitrise disont ) ?

xD

c'est débile ton raisonnement : tu parles de l'infini et tu essaies de le dénombrer en comparant les deux cas.
 
pose un probleme mathématique, avec deux fonctions :
 
f1(x) = x correspondant au nombre de points sur ton segment
f2(x) = x² correspondant au nombre de points sur ta feuille
 
évidemment, il y a une infinité de points tu fais tendre x vers l'infini et mathématiquement, en passant à la limite les deux tu peux montrer que que lim f1/f2 = 0 quand x tend vers l'infini.
 
ça montre pas que y a plus de point sur la feuille que sur la ligne mais simplement que la feuille y tend plus vite...

zytrahus5, il vaut mieux éviter de passer par des limites quand on compare les infinis. Ce qui interessait mat1979 c'était des cardinaux (le "nombre de points" ) et c'est pas avec des limites de fonctions de R dans R que tu va comparer des cardinaux.
 
Lis un peu le topic avant de répondre.
 
Et pour me répeter encore une fois (et répéter ce qu'a très bien expliqué Stephen), indépendament de la notion de vitesse de convergence (que tu as parfaitement assimilé, bravo), il y a différents cardinaux infinis qui ne sont pas tous de même "taille".

 
 
Une excellente et tout à fait accessible référence sur le net est :
 
http://www.ii.com/math/ch/
 
Notemment, sur ce point précis, la dernière partie.

On peut répondre à sa question plus simplement je crois.
Oui infini^3 = infini.
L'arithmétique des Aleph est super simple
א * n = א
א / n = א
א + n = א
א - n = א
א = א + א
א = א * א
 
Pas compliqué disais je...

Il manque de dire que l'on ne definit pas l'operation  ?  - ?  ni ?  /  ?  
Ce qui doit choquer certains de se dire qu'on ne peut pas definir les operateurs sur tous les couples d'operandes.

Zut, je peux pas reproduire le symbole...

Merci