Charité bien ordonné comme on dit... Pour respecter la charte ci-dessus je me suis chargé des bagages de base, à savoir la relation entre les ondes et la fonction Sinus. C'aura pas été de tout repos mais là comme ça c'est fait, on peut utiliser le sinus!  
 
 

 
* Chapitre 1 - Les ondes, je répète, les ondes...
Qu'est-ce qu'une onde ?
 
Definition : c'est un phénomène où a lieu un changement de position qui a une certaine répétitivité au fur du temps.
 
Concrétement : l'exemple le plus simple est à mon avis celui de la vague.  
Je précise immédiatement qu'on ne va pas expliquer la propagation d'une onde dans tout un milieu, mais juste le phénomène d'ondulation en 1 point donné, ce sera plus que suffisant.  
 
On a tous observé une nappe d'eau parcouru par des ondulations de type vague.  Pour éviter les inévitables complications des cas naturels, on va enfiler une blouse et faire l'expérience en laboratoire.  
   
On aura besoin d'une bassine infiniment grande (ça existe, mais on en vend qu'à l'éducation nationale ). A défaut une bassine cylindrique à base circulaire de 10 m de diamètre suffira. A défaut un dé à coudre, non je plaisante.
Profitons-en pour spécifier la hauteur de la bassine:  10m. On place la bassine bien horizontalement et on la remplit jusqu'à une hauteur d'eau de 5m ('se peut qu'il faille que le fond soit bien parallèle au "géoïde" si on veut obtenir cette hauteur d'eau au repos en tout point de la paroi de la bassine, et on veillera par la même occasion à disposer d'une température, pression homogènes dans la pièce abritant l'expérience, il faut de l'eau bien visqueuse.- Enfin se limiter à un temps d'expérimentation le plus court possible semble souhaitable... J'espère que le lecteur comprend mieux avec cet exemple que le budget de l'Éducation ne doit pas être amputé si on veut encore faire des sciences au collège!).  
 
Bon maintenant prenons une bille de 40g disons. Cette bille devra être quasi ponctuelle (diamètre très petit, 10 mm tout au plus). On lâche cette bille d'une hauteur de 1 à 10cm au dessus d'un point de la surface de l'eau choisi à l'avance, et disons à bonne distance des bords de la bassine (on veut éviter les ondes de retour).  
 
Éloignons-nous alors du point d'impact en parcourant 10 cm à 1m, dans n'importe quelle direction. On se localise alors au dessus d'un deuxième point de la surface de l'eau.  
Restons impérativement fixé sur ce point sans s'intéresser à ce qui se passe autour!
Peu après la chute du boulet, ce point immobile au début de l'expérience, dans les conditions du laboratoire, va se mettre à monter et à descendre en altitude avec un battement oscillatoire régulier, par exemple se répétant tout les 5 secondes! C'est ce qu'on va étudier.
 
Déclenchons un chronomètre à partir du début des oscillations, en mesurant la hauteur H de la surface de l'eau en nôtre point, en fixant H=0m au repos, on pourra relever des valeurs de H variant avec le temps t.  

Schéma de l'expérience
 
Résultats :
 
 
a- À t=0s, H(t=0)=0mm puis l'eau monte
jusqu'à t=1.25s où H(t=1.25)=1 mm ; le point d'eau observé est alors à sa hauteur maximale puis redescend.
b- À t=2.5s, H(t=0)=0mm et l'eau continue de descendre
à t=3.75s, H(t=3.75)=-1mm ; le point d'eau est à 1mm en dessous de la hauteur de départ (rappel : valeur de repos, prise nulle par convention) ; ici le point est à son minimum. Ensuite il y a une remontée.
c- à t=5s H(0)=0mm, l'eau monte, et chose fondamentale tout le cycle décrit reprend à l'identique.  
 
Note : On est parti de t=0s et on a du attendre t=5s pour que le cycle se répète, on a donc un phénomène périodique de période 5s. Il faut bien noter qu'on peut identifier un phénomène périodique parce qu'il se répète à l'identique toutes les 5s, mais ce n'est pas qu'à t=0s, t=5s, t=10s ... qu'il se reproduit, mais dans l'ensemble, dés qu'on observe le phénomène périodiquement toutes les 5 secondes (ou des multiples entiers de ces 5s).  
Et concernant ce qui se passe à n'importe quel moment dans l'intervalle de temps allant de 0s à 5s, on peut connaître la valeur de la hauteur d'oscillation au point observé pour n'importe quel valeur de t.  
Alors quelle sera la valeur de H au temps t=2.9s par exemple?  (notons qu'on aura alors la valeur de H pour t=2.9+5=7.9s, t=7.9+5=12.9s etc.. la période étant fixé à 5s le phénomène périodique se reproduit à l'identique toutes les 5s. Évidemment, un milieu liquide idéal, parfaitement élastique notamment, me ferait moins mentir...).
 
La réponse est H(t=2.9s)=0.001xSinus(2p/5x2.9)=  -0.48mm. La suite va nous permettre de comprendre pourquoi, en introduisant la fonction Sinus.
 
Illustration :

Note sur les conversions :
 1 sec et 15 centièmes de secondes cela équivaut à 1,25 secondes.  
En effet 1,25 sec revient à ceci : 1 sec à laquelle on ajoute 0,25 sec, c'est-à-dire 1 seconde ajouté de 1 quart de seconde (1 divisé par 4 fait bien 0,25), donc au total 1,25 secondes.  
Il faut simplement comprendre que la valeur lue dans l'affichage digital de la montre, on a 60 centièmes pour 1 seconde, donc 15 centièmes pour 0,25 secondes (60/4=15). Il n'y a donc aucune différences entre l'exemple décrit textuellement et l'image, c'est simplement une question de notation, notation décimale d'un côté et « digitale » de l'autre.  1,25 secondes =  1 sec et 15 centièmes de secondes.    
 
 
** Chapitre 2 - Montrez donc ce Sinus que je saurais voir.
Représentation graphique fonctionnelle de l'ondulation sinusoïdale :
 
Important : Différence entre oscillation ponctuelle et celle du milieu  
Ne pas confondre oscillation d'un point matériel avec oscillation d'un ensemble de points, voire du milieu tout entier. Cette remarque va prendre tout son sens lorsqu'on va exhiber le graphique de l'ondulation sinusoïdale. Ce graphique ressemble aux ondulations de la surface de l'eau, vues selon une coupe latérale, c'est-à-dire des vagues !
 
Les vagues ainsi visualisées ne sont qu'une photographie statique à un moment t donné de l'ondulation du milieu.  
La forme graphique est la même mais cette ondulation du milieu aquatique tout entier (dans la bassine) ne nous intéresse pas : on considère l'ondulation d'un seul point de la surface, dont le mouvement se borne à un changement d'altitudes (monter, descendre).  
Pour le cas d'un seul point une photographie à un instant t ne donnerait rien d'autre qu'un des éléments de l'illustration précédente avec le point sur l'eau choisi une fois pour toute, la règle graduée verticale pour mesurer l'altitude relative (hauteur H) et un chronomètre indiquant le temps t choisi. Ça serait donc une représentation très loin de ressembler à des vagues!  
Ceci est une source de confusion remarquable - d'où ma pénible insistance (ne dites pas que je vous bassine ) – dés qu'on va représenter le changement de H d'instants en instants, pas à pas, se dessinera une courbe qui ressemblera à s'y méprendre à l'ondulation du milieu.  
C'est quelque chose qui n'est pas dû au hasard et qui doit pouvoir se démontrer ( un volontaire?), aussi essayons de toujours garder ça en tête : Une onde s'observe aussi bien en 1 seul point, que sur tout le milieu. Et une onde, s'observe aussi bien à un moment figé, ou en montrant pas à pas comment évolue la position du point ou de l'ensemble des points, observé(s).  
 
Définition : Milieu propagatif
Le milieu propagatif comme l'eau est en fait un ensemble de points dont le mouvement de l'un (soulèvement ou abaissement ici) provoque le mouvement en chaîne de tous les voisins. Songer à un collier de perles.

Les molécules d'eau du bassin sont liées comme les perles d'un collier.
 
 
Suivez le sinus, c'est tout droit  
Dessiner la représentation graphique de la variation de hauteur en fonction du temps : H(t)
 
Illustration :

 
En suivant l'illustration, on trace 2 axes perpendiculaires l'un à l'autre. On écrit H en haut de l'axe vertical et t au bout à droite de l'axe horizontal.  
 
Le déplacement du temps se fait donc sur la ligne horizontale et le déplacement en hauteur sur la ligne verticale.  
 
Dessinons ce qui se passe pour notre point sur l'eau :
a- à t=0s, H=0 mm, on place le bout de son crayon au croisement des axes (t=0) et on remonte d'une certaine distance de son choix pour placer H=0 mm. On pourrait mettre H=0, ou même t=0, où on veut, ça ne change rien, les axes tracés nous aident simplement à dessiner. Les puristes mettront le point (t=0;H=0) à l'intersection des 2 axes.
 
b- À t=1.15s, H=1 mm. On place de nouveau son crayon au bout du croisement des axes (t=0) et on avance vers la droite de 1.15s.  
  Il faut fixer une échelle pour dessiner, disons que 1s pourrait bien être représentée par 1cm sur le papier. Mais une autre échelle peut convenir, pour nous ici il ne faut pas cependant que l'échelle change en cours de route!  
Une fois le crayon arrivé en t=1.15s, on monte. Pour le choix de l'échelle de tracé des hauteurs on prendra la distance qu'il faut parcourir pour passer de la ligne d'axe des temps à la ligne horizontale passant par le point représentant (t=0s,H=0 mm) comme étant la longueur valant 1mm. Donc en partant du point valant 1.15s, et en remontant de 2 fois cette longueur, on  arrive à la hauteur -1+1+1, soit H=1mm. N'oublions pas qu'il y a des hauteurs négatives!
 
Pour le reste, on continue ainsi de suite jusqu'à t=5s. Lorsqu'on est à t=5s, tout recommence comme si on était à t=0s, le graphique est périodique. Sa période, notée T, vaut T=5 secondes. On reviendra là-dessus...
 
Illustration :

 
Équation H(t) donnant la hauteur H du point en fonction du temps t:  
 
  H(t)=Sinus(2π/5*t)  
avec comme unité de temps la seconde, et comme unité de longueur le millimètre.
 
Réécrivons la même équation mais donnant la hauteur en mètres :
  H(t)=0.001*Sin(2π/5*t)
 
Voilà comment s'interprètent les chiffres :

 
Avec cette équation on peut enfin calculer la position de notre point de la surface de l'eau affecté par l'ondulation de notre expérience. Exemple : Au bout de 18 secondes, H(18)=-0.0006 m.  
 
Remarques : 2 difficultés à ce calcul.  
+ La première est que le résultat est en mètres. Pour passer en millimètres il faut multiplier par 1000 (on zoome 1000 fois). On obtient alors H(18)=-0.6 mm. Notons qu'on on a arrondi le résultat.
++ La 2ème difficulté est plus ardue, la calculatrice doit calculer la fonction [i]Sinus avec les unités[/i] Radians. Ce réglage est toujours disponible sur les calculatrices, soit c'est noté Rad, soit on supprime Deg et éventuellement Gra. Tout ceci découle du fait que la fonction Sinus sert à des calculs sur le cercle mais aussi à des calculs qui relient les angles et les côtés d'un triangle. Dans ce cas il est pratique de donner à la fonction Sinus des angles en Degrés par exemple. Dans notre cas, la trigonométrie ne nous intéresse pas le moins du monde. Ce qui nous intéresse c'est que le Sinus est lié au cercle, d'où le nombre π (pi). Dans ce cas, on peut considèrer qu'il n'y a pas d'unités d'angle, ou si on doit en spécifier une comme si on faisait de la trigonométrie, on prend le Radian qui fait le pont entre mesures sur le cercle et  calculs de triangles.
 
[...]

*** Chapitre 3 - Sachez moduler vos ondulations.
 
Et voilà, tous ces développements n'avaient pas d'autres buts que d'en venir à la modulation. On peut maintenant parler sans honte d'une forme d'ondulation privilégiée, l'ondulation sinusoïdale, et surtout 2 de ses paramètres les plus importants : l'amplitude et la période de l'onde (le troisième est le déphasage qui n'apparaît pas pour l'instant parce qu'il a pour valeur 0, et ce n'est pas un angle même si les unités sont les mêmes. Penser aux phases lunaires ou des marées, il n'y a physiquement aucun angle hein).

 
L'idée de la modulation du signal est maintenant assez simple à expliquer. Il nous faut 2 ondes, une dominante et l'autre qu'on appellera l'onde modulée... par la dominante.  
 
L'onde dominante va en fait formater l'autre en forçant un des paramètres de l'onde dominée à adopter la forme imposée par l'ondulation dominante. Prenons le cas de la modulation d'amplitude.  

 
Exemple :
Voilà un cas concret :
 
Les graphiques ci-dessous peuvent être obtenus par Octave ou SciLab au choix, logiciels gratuits. Attention lors de la multiplication de fonction, penser au point après les fonctions pour indiquer qu'elles sont numériques et non matricielles.

 
 
ps : A ce stade, il se peut qu'il y ait des erreurs - un signalement = une correction qu'on se le dise !
 
 
* Faîtes comme moi *
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Tu pourrais mettre ça sur la wikiversité

Eh ben pourquoi pas, comme c'est plus une ébauche simplifiée, ça permettrait à d'autres d'y mettre un peu de plomb dans l'aile en effet. Mais je tiens à l'aspect discussion , et questions ouvertes qu'il n'y a pas sur le wiki. Mais c'est noté  

D'y mettre un peu de plomb dans l'aile ?  

J'ai hésité avec plomb dans le cerveau, mais vu les problèmes de saturnisme, je me suis inquiété au niveau sanitaire  
 
Il se peut qu'il y est une bourde quand je donne comme exemple de modulation d'amplitude, la modulation d'une sinusoide de période donnée, 10 je crois, par une autre de période différente, 8. Je crois qu'il faut une période identique, non?