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  help please DM de math niveau supérieur

 


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Auteur Sujet :

help please DM de math niveau supérieur

n°1639177
sliffersto​rm
Toshiba X200-21E
Posté le 20-04-2008 à 13:47:08  profilanswer
 

Bonjour à tous,
 
Bon c'est pas dans mon habitude de venir chercher de l'aide en math sur des forums mais là je suis coincé....
C'est un DM de probabilité, et je suis une bille dans cette discipline.
Voilà l'énoncé:
 
http://img20.imageshack.us/img20/8845/dmmathminesdedouaiwa0.th.jpg
 
Je coince quasiment à toutes les questions, donc si quelqu'un pouvait me donner des indications afin de m'aider à démarrer, ce serait super!
 
Merci d'avance de votre aide!


---------------
"Celui qui s'endort avec le cul qui gratte se réveille avec le doigt qui pue"
mood
Publicité
Posté le 20-04-2008 à 13:47:08  profilanswer
 

n°1640089
StephKing1
Posté le 20-04-2008 à 22:30:41  profilanswer
 

Pour la 1.1 je dirais que T=sup{Xk}
 
après je ne sais pas ce qu'est une densité de proba  :o  
 

n°1640345
_Quant_
Posté le 20-04-2008 à 23:50:20  profilanswer
 

slifferstorm a écrit :

Bonjour à tous,
 
Bon c'est pas dans mon habitude de venir chercher de l'aide en math sur des forums mais là je suis coincé....
C'est un DM de probabilité, et je suis une bille dans cette discipline.
Voilà l'énoncé:
 
http://img20.imageshack.us/img20/8 [...] wa0.th.jpg
 
Je coince quasiment à toutes les questions, donc si quelqu'un pouvait me donner des indications afin de m'aider à démarrer, ce serait super!
 
Merci d'avance de votre aide!


 
 
 
1.1 Deja repondu
 
1.2 Remarquer que (T <= t ) = intersection (X_k <=t) et supposer l'independance des X_k.  
 
Les details:

Spoiler :


Soit F la fonction de repartition de T, F_k celle de X_k.
 
F(t) := P(T <= t) = produit P(X_k <= t) (en supposant l'indep.)
                        = F_1 (t)^n (les X_k ont meme loi que X_1)
                        = 1(t>=0) * [1 - exp(-lamba * t)]^n
 
En derivant F on trouve la densite f de T:  
 
f(t) = 1(t>=0) * n * lamba * t * exp(-lambda*t) * [1 - exp(-lamba * t)]^(n - 1)


 
1.3 E[ T ] = integrale sur R+ de { t * f(t) } dt
0<= t * f(t) <= n * lamba * t^2 * exp(-lambda*t) qui est integrable
 
2.1 Pour tout n >= 0, P(N - 1 = n) = exp(-mu) * mu^n / n!  
Donc pour tout n >= 1, P(N = n) = exp(-mu) * mu^(n - 1) / (n - 1)!  
 
2.2 P(T <= t | N = n) = F(t) calcule plus haut, qu'on note desormais F_n  
 
2.3 F_T(t) = E[ 1(T<=t) ]  
           = E[ 1 { (T<=t) inter [union de n=1 a +inf de (N = n) ] }]     (union de n=1 a +inf de (N = n)  =  Omega)
           = somme n=1 a +inf de P({T<= t} inter {N = n})                 (les evenements {N = n} sont disjoints)
           = somme n=1 a +inf de { P(T<= t| N = n) * P(N = n) }         (formule conditionnelle)
           = 1(t>=0) * somme n=1 a +inf de { [1 - exp(-lambda * t)]^n * exp(-mu) * mu^(n - 1) / (n - 1)! }
 
2.4 T est une v.a. continue car F_T serie CV de fonctions continues. f_T(t) se calcule en derivant F_T(t) comme precedemment.
 
2.5 Meme majoration qu'en 1.3 puis serie CV.


Message édité par _Quant_ le 21-04-2008 à 00:22:20
n°1640469
sliffersto​rm
Toshiba X200-21E
Posté le 21-04-2008 à 01:36:43  profilanswer
 

Merci à vous deux de m'avoir répondu.
 
Quant, je ne comprends pas ta réponse à la 1.2: concernant le calcul de la densité, T étant le max de {Xk}, T suit également la loi exponentielle, donc la densité de probabilité n'est pas la loi exponentielle????
 
Merci de m'éclairer sur ce point, qui me semble flou.


---------------
"Celui qui s'endort avec le cul qui gratte se réveille avec le doigt qui pue"
n°1640850
_Quant_
Posté le 21-04-2008 à 12:30:29  profilanswer
 

C'est le T' := min{ X_k, 1 <= k <= n } qui suit une loi Exp(n * lambda). Ca se demontre de la meme facon en remarquant que {T' > t } = intersection des {X_k > t}.
 
Mais T NE suit PAS une loi exponentielle (ok, sauf si n = 1), c'est ce que montre dans le 1.2.
 
Sinon en 2.3 on peut developper un peu plus:
F_T(t) = 1(t>=0) * [1 - exp(-lambda*t)] * exp {-mu*exp(-lambda*t)}, sauf erreur.

n°1641630
sliffersto​rm
Toshiba X200-21E
Posté le 21-04-2008 à 18:22:23  profilanswer
 

merci de ta réponse,
 
cependant, pour la question 2.3, pour moi, la question 1 représente T<=t inter n=N, tandis que la question demande T<=t sachant n=N....
donc on utiliserait la formule P(A|B) = P(A inter B)/P(B) non???


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"Celui qui s'endort avec le cul qui gratte se réveille avec le doigt qui pue"
n°1642783
_Quant_
Posté le 22-04-2008 à 12:15:48  profilanswer
 

Non, dans la 1ere partie on s'interesse a {T <= t | N = n}.  
Si on note T_n := Max{ X_k; 1 <= k <= n }, le max de n v.a.r., dans 2.3 on a T = T_N (la v.a. N est en indice) le max de N v.a.r., ou N est lui-meme aleatoire.
 
D'ou P(T <= t | N = n) = P(T_N <= t | N = n)
                               = P(T_n <= t | N = n)
                               = P(T_n <= t)   car T_n independant de N.


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