Bonjour,
 
J'ai un exercice de probabilité qui m'embête, voici l'énoncé:
 
Deux urnes contiennent chacune N boules. La première contient N boules rouges, la seconde N boules blanches.
Les boules sont numérotées B1,...,Bn et R1,...,Rn.
 
On tire une boule dans chacune des urnes, formant une paire (Bi,Nj).
On effectue N tirages sans remise, formant ainsi N paires.
 
Quelle est la probabilité que pour chaque paire (Bi,Nj), on aie i=j ?
 
 
Je procède comme suit:
 
P(Bi,Ni) sur un tirage = 1/N
P(Bi,Ni et Bj,Nj) sur deux tirages = 1/N * 1/N-1
P(i=j) sur les N tirages = 1/!N
 
Je suis pas du tout sûr de ça, la solution me paraît trop simple.
 
Quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer cette réponse ?
 
Merci

Bonjour,
ça me parait en effet un peu vite résolu. Tu réalise un tirage dans chaque urne donc P(Bi,Ni) doit prendre en compte la probabilité de tirer Bi ET celle de tirer Ni qui sont déjà chacune indépendemment égale à 1/N. Ensuite, tu dois prendre en compte le fait que au rang n, pour calculer ta probabilité (i=j), tous tes tirages précédent doivent avoir sorti une paire (Bi,Nj) où i=j ; mais bon pour cette étape, le fait que tes boules blanches et rouges soient indépendantes, le calcul revient à ce que tu as fait au détail près que P(Bi,Ni) n'est pas égale à 1/N.
Je sais pas si j'ai été assez clair, mais j'ai essayé de t'aiguiller du mieux sans te donner la réponse.
 
Bon courage!

Salut,
 
J'ai re-examiné la question et la réponse me semble juste. La réponse sur un autre forum semble le confirmer:
 

 
On veut des paires BiRi.
Mais pas forcément B1R1, B2R2, ..., BnRn
 
Du coup on considère un arrangement de boules Blanches, et on tire N boules rouges pour former une série identique à la première.
 
Pour chaque boule, la probabilité d'avoir la bonne boule est égale à :
 
1 / nombre de boules restantes
 
 
Soit:
 
1/N * 1/N-1 * ... * 1 = 1/N!

 
Autant pour moi    

cela me semble correct aussi.

La question d'après considère que l'une des deux urnes contient 2 fois plus de boules que l'autre. On procède de la même manière jusqu'à ce que la plus petite des urnes soit vides.
 
La probabilité devient donc :
 
1/2N * 1/2N-1 * ... * 1/N+1 = N! / (2N)!
 
car : 2N * 2N-1 * ... * 2N-N+1 = (2N)! / N!
 
 
Me trompe-je ?