Voici l'énoncé :
 
Soient a et b des réels strictement positifs. Prouver que a+2b+ab>(3a²+5a+2)/(a+1). On peut supposer a fixé et poser f(b)=a+2b+ab+a/b+b/a.
 
J'avoue que j'ai du mal à trouver un résultat convenable. J'ai dérivé f et trouvé b tel que f '(b)>0. En factorisant cela fait ((a+1)/rac a-1/b)((a+1)/rac a+1/b)>0 (si je me suis pas trompé) mais je sais pas si la démarche est la bonne parce que après je sais pas quoi en faire de cette inégalité pour arrivé à celle à prouver. Ou peut-être qu'avec l'inégalité (a+1)²/a>a/b² on peut en faire quelque chose ? Merci de votre aide.

ça me semble louche: j'ai l'impression que ce n'est pas vrai quand b tend vers 0...

factorise 3a²+5a+2... puis le reste ça devrait être "piece of cake".

a=2, b=1 => 6> 8

rectification : il faut prouver que a+2b+ab+a/b+b/a>(3a²+5a+2)/(a+1) j'ai oublié a/b+b/a. Peut-être que là ça paraitra un peu plus logique.

(3a²+5a+2)= (3a+2)(a+1)...
tu peux aller plus loin pour montrer à ton prof de math que son énoncé ne tient pas debout et que c'est un gros naze(mais vérifie avant que tu n'as pas fait une erreur en recopiant!)

bon alors, en remarquant que le membre de droite ne dépend que de a, trouve le minimum de ta fonction f(b). Ce minimum ne dépend que de a. Il suffit alors de vérifier que ce minimum est supérieur au membre de droite, et c'est bouclé (qui a dit bâclé ?)

Avec la dérivé de f je devrais trouver le tableau de signes puis trouver le tableau de variation de f et donc le minimum. Mais je ne sais pas ce qu'on peut faire de la forme factorisée f '(b)= ((a+1)/rac a - 1/b)((a+1)/rac a + 1/b) pour trouver le tableau de signes.

Ah oui je me doutais qu'il y avait une erreur dans l'énoncé.
Donc si tu dis que (3a²+5a+2)= (3a+2)(a+1)
alors ton inégalité s'écrit
a+2b+ab+a/b+b/a>3a+2
2b+ab+a/b+b/a>2a+2 on multiplie les deux termes par ab et on obtient
2b²a+(ab)²+a²+b²>2a²b+2ab
ou encore
(b-a)²+2ab(b-a)+(ab)²>0  
et comme (b-a)²+2ab(b-a)+(ab)² = ((b-a) + ab)², je te laisse conclure

vv

J'ai compris cette méthode et ça marche bien. Mais alors je n'utilise pas de fonction f ni de dérivée (pour trouver le tableau de variation) ? Parce que en ce moment en maths je suis dans les applications de la dérivation.

 
Il faudrait alors écrire la démo à l'envers et partir de ((b-a)+ab)²>0 pour être vraiment rigoureux si je ne m'abuse (car partir de l'inégalité qu'on veut démontrer ne serait valable que dans le cas d'une démonstration par l'absurde).
Il faudrait dans ce cas en outre prouver que pour tous réels a et b strictement positif (b-a) + ab est différent de 0...
Ca me semble un poil compliqué pour un première S

b-a +ab <> 0 c'esdt surtout faux: a=1 et b=0,5...

Donc en fait il serait mieux d'utiliser la dérivation ? Je pense pas que ce soit par hasard qu'on me dit qu'on peut supposer a fixé et poser f(b)=a+2b+ab+a/b+b/a. Le problème c'est que j'arrive pas à déterminer le tableau de signe de la fonction f '

Non, on raisonne par équivalence.

?

bah prends a=1 et b=0,5. Calcule alors b-a + ab.

Dans ce cas (a=1, b=0,5)
a+2b+ab+a/b+b/a=(3a²+5a+2)/(a+1)  
 
Cette propriété est déduite de la relation d'équivalence.  
 
a+2b+ab+a/b+b/a >= (3a²+5a+2)/(a+1) sssi  ((b-a) + ab)² >= 0
 
PS: je pense que le raisonnement par équivalence et la factorisation est du programme de 1ier S, si je ne m'abuse...

Est-ce qu'il y a une importance à mettr > plutot que >= ? Parce que dans mon énoncé en fait c'est >= je ne sais pas si ça change quelque chose. Mais est-ce qu'on peut faire quelque chose avec la fonction f(b) = a+2b+ab+a/b+b/a ?

ah bon ben voila.
 
Il y a une importance, oui, parce que ça n'est pas la même chose. ça veut pas dire que l'un est plus difficile à démontrer, mais si on montre >= on ne montre pas >...

Donc je fais comment après ? Je peux utiliser le raisonnement par équivalence ou bien j'utilise la fonction f ?

D'un point de vue logique, les raisonnements par équivalence sont généralement les plus simples et les plus percutants.
 
On ne peut pas te reprocher de n'avoir pas utilisé la fonction f, puisque dans l'énoncé ce n'est qu'une suggestion.

Est-ce que l'on peut m'expliquer comment démontrer l'inégalité en utilisant la fonction f ? J'aimerais savoir en quoi ça peut être utile.

f(b)=a+2b+ab+a/b+b/a = (2+a+1/a)b+ a/b +a
tableau de variations, tu montres que f est à son minimum quand f'(b0)=0 (c'est une fonction de la forme AX+B/X+C)
f'(b0) = 2+a+1/a-a/b0²=0 ou encore (b0)²=a/(2+a+1/a)=a²/(a²+2a+1)
= (a/(a+1))²
b0 = a/(a+1)
tu calcules f(b0)
f(b0)=a+2a/(a+1)+a²/(a+1)+a(a+1)/a+a/((a+1)a)
= (a(a+1)+2a+a²+(a+1)²+1)/(a+1)
=(3a²+5a+2)/(a+1)
 
Beaucoup moins élégant que le raisonnement par équivalence.

Avec la fonction f '(b)=(a+1)²/a-1/b² je ne vois pas comment on peut montrer que 0 est le minimum de f (je n'ai plus de souvenirs de la fonction de la forme AX+B/X+C).

b0 veut dire "B indice 0"! C'est le point où la dérivée s'annule.
La fonction en question est la somme d'une droite et d'une hyperbole, donc elle décroit pour b<b0 et croit pour b>b0