Si quelqu'un à le courage mais c'est hard !
RM = rendement de la monnaie, il est certains, on le suppose souvent nul
RT = rendement des titres aléatoires
Le rendement global sera donc aléatoire.
Ma richesse global va avoir un comportement aléatoire que l’on va caractériser par une espérance :
E(R) = R
Elle est aussi caractériser par une variance que l’on va noter : V(R)
On fait l’hypothèse que la fonction s’écrit : Ʋ (R) = a R + b R²
On pose 2 conditions :
1 :
d Ʋ (R) / d R > 0
L’utilité est croissante avec le rendement de ma richesse.
⇔ a + 2 b R > 0
2 : Les agents sont risquophobes ⇔ d² Ʋ(R) / d² R² < 0 or d² Ʋ(R) / d² R² = 2b < 0
Donc dire que la dérivée seconde est négative revient à faire l’hypothèse que b < 0
On va d’abord déterminer l’expression de l’espérance d’utilité, puis on va rechercher le partage optimal entre monnaie et titre qui maximise cette utilité espérée.
E [ U (R) ] = E [ a R + b R² ] = aE(R) + bE(R²)
Notons que V(R) = E [ (R – E(R))²] = E [ R² + (E(R))² - 2RE(R)]
= E (R²) + R² - 2R²
= E(R²) – R² = σ²
On peut écrire E(R²) = R² + σ²
Donc E (U(R)) = a R + b (R² + σ²)
= a R + bR² + σ²
On note R = αTRT + αMRM
α t représente la proportion de richesse détenu sous forme de titre et α m est la proportion de richesse détenu sous forme de monnaie.
Remarque :
αT +αM=1
Sachant que E(RM) = 0
On peut écrire :
E (R) = αTE(RT) ⇔ R = αTRT
Cela veut dire que
On exprime la variance du portefeuille en fonction de αT, sachant que la variance de R :
V (R) = V (αTRT + αMRM)
On trouve que : σ² = α²T +α²M
Avec σ² = V (RT) La variance du rendement des titres
Démonstration :
Rappel : V (AX+ BY) avec X et Y 2 valeurs aléatoires = A²V(X) + B²V(Y) + 2AB cov(XY)
Appliqué sur : V (R) = V (αTRT + αMRM)
On a : V(R) = (α²TV(RT )+ α²MV(RM) + 2 αT αMCOV (RT RM) = α²T α²M
Avec V(RM) = 0 et COV (RT RM) = 0
Rendement de la monnaie est fixe.
Merci