Inertie ... Mécanique nique nique....

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Auteur	Sujet : Inertie ... Mécanique nique nique....

XamamaX

Bonjour,
J'ai vraiment du mal avec le calcul d'inertie.
Qu'est ce que un tenseur d'inertie ?
Un moment d'inertie ?
Un produit d'inertie ?
Les axes principaux d'inertie ?

Prenons un exemple :

Citation :

On considere un parallelipipede rectangle de cotes a, b et c, ayant une densite de
masse homogene .

1. Determiner les axes principaux dinertie de ce solide, sans effectuer de calculs.
2. Calculer toutes les composantes du tenseur dinertie de ce solide, dans les axes
principaux dinertie.
3. Determiner les moments principaux dinertie de ce solide.

Pour la a) , l'origine est au centre du para. et les 3 plans d'inertie sont Oxy , Oxz , Ozy. Pourquoi ?

Pour la b) , le calcul commence :
$http://futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?I_{xx}%20%20=%20\int\limits_{%20-%20c/2}^{c/2}%20{\int\limits_{-b/2}^{b/2}%20{\int\limits_{-a/2}^{a/2}{\rho%20(y^2%20+%20z^2%20)dxdydz}%20}%20}$

D'ou vient cette expression ? Les bornes ?

Idem pour :

Citation :

2. Une patineuse artistique tourne sur elle-meme les bras tendus à lhorizontale. Après
avoir levé les bras à la verticale, sa vitesse angulaire semble avoir fort augmenté.
(a) Calculer le moment dinertie de la patineuse par rapport à son axe de rotation,
lorsque ses bras sont horizontaux, puis lorsquils sont verticaux. On modélise le
corps de la patineuse par un cylindre de masse M, de rayon R et de hauteur
H, ses bras par 2 tiges minces ayant chacun une masse DeltaM et une longueur L,
et partant du bord du cylindre à lhorizontale ou à la verticale.

On démare avec :
$http://futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?I_{zz}%20(cyl)%20=%20\int\limits_{%20-%20H/2}^{H/2}%20{\int\limits_0^{2\pi%20}%20{\int\limits_0^R%20{\frac{M}{{\pi%20R^2%20H}}(x^2%20%20+%20y^2%20)rdrd\theta%20dz}%20}%20}%20%20=%20{\int\limits_0^{2\pi%20}%20{\int\limits_0^R%20{\frac{M}{{\pi%20R^2%20}}r^2%20rdrd\theta%20}%20}%20}$

Je ne vois pas du tout d'ou vient l'expression de l'intégrale ni même la première intégration...
En bref, je suis un peu perdu, si quelqu'un savait me dépétrer un peu, je lui serait reconnaissant :cry:

Merci

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pfuitt

bon de tete...
si je me souviens bien le centre d'inertie d'un corps, c'est son centre de gravité. comme ton solide a une densité d emasse homogène...c'est le 'milieu' ta boite.
les moments d'inertie sont calculés sur le volume, donc si le centre du repere est au centre de ta 'boite', tu comprendras aisement les bornes de l'integrale triple (ie. les coordonnées des coins de la boirtes dans ton systèmes d'axes)
pour la formule, rho est constant (dans l'enonce) il ne depend pas de x, y, z. le reste revoit la demo et la def dans ton cours
les moments principaux (Iyy et Izz) se trouve aisement à partir de Ixx...bon là, à priori il y a des axes de symetrie, donc ca peut servir

pour le second pb. comme ta patineuse c'est 3 cylindres, tu evalues le moment d'inertie d'un cylindre, puis tu sommes les trois en faisant gaffe au repere et à la diff de masse. comme cest des cylindres on passe en coordonnées cylindrique (R, theta, z), donc pour decrire un cylinde, de rayon r et de hauteur z, on a une triple integrale sur r :0->R, sur z:-h/2->h/2 (centre de gravite est au milieu de ton cylindre), et pour theta 0->2pi

voila, je ne sais pas si cela t'aide

arobase6

Je rajoute juste que dans le cas où rho est constante, les axes principaux d'inertie sont les axes de symétrie géométrique du solide qui ne sont autres que les axes de symétrie massique.
Après les expression des différents élements de ton tenseur d'inertie,c'est du cours. Peut être n'as-tu pas compris que l'expression M/(pi*R^2*H) est analogue à un rho?

Message cité 1 fois

XamamaX

Oki merci ,je cerne un peu mieux le truc !
J'avais simplement pas capté que $http://futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?I_{xx}%20%20=%20\int\limits_{%20-%20c/2}^{c/2}%20{\int\limits_{-b/2}^{b/2}%20{\int\limits_{-a/2}^{a/2}{\rho%20(y^2%20+%20z^2%20)dxdydz}%20}%20}$
Etait la formule "de base" , je pensais que c'était une equation de solide modifiée ou je ne sais quoi. C'est pour ça que je "bloquais" dés le départ !

Et pour ce qui est d'assimiller la démo de tout ça, j'ai abandonné l'idée vu la gueule du truc ^^.

XamamaX

arobase6 a écrit :

Peut être n'as-tu pas compris que l'expression M/(pi*R^2*H) est analogue à un rho?

Aussi ^^

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