SAlut, j'ai un probleme avec un exo de sup et j'aurais besoin d'aide :
 
Determiner les applications continues f:IR-->IR telles que  
 
Pour tout (x,y) € ID² f(x+y)=f(x)+f(y)
 
Merci

ID² ?

Je pense que c'est l'ensemble des decimals.
 
Travaille sur les entiers naturels d'abord
 
Montre que ID est dense dans R, et que si 2 fonction sont continues sur R et que f restreint à ID egal g restreint à ID alors f=g

 
Je vois toujours pas

montre qu'une fonction de ce type est complètement déterminée par sa valeur en 1

 
Fais le pour IQ et appliques la continuite

 
Soit  x un decimal, on verifie par reccurence que f(p*x)=pf(x) ou p est un entier naturel de même f(-x)=-f(x). Soit f(1)=a ,on a bien, f(p)=pf(1)=ap où p appartient à N. Comme f est impaire, on peut etendre à Z, on a donc f(p)=ap où p appartient à Z.
 
Or, on sait Que tout decimal x  s'ecrit sous la forme p/10^k où p appartient à Z et k appartien à N.
 
Ainsi,f(p)=f(10^k*x)=10^kf(x)=ap donc f(x)=ax où x appartient au decimal.
 
Or , ID est dense dans R car tout reel x est limite de la suite u_n=E(10^n*x)10^-n.
 
que si 2 fonction sont continues sur R et que f restreint à ID egal g restreint à ID alors f=g:
 
Soit x appartenant à R, il existe une suite x_n de D tel que x_n tend vers x
f(x_n)--->f(x) quand n tend vers l'infini car f est continue sur R de meme g(x_n)----->g(x) quand n tend vers l'infini.
or g(x_n)=f(x_n) donc f(x)=g(x).
 
Ainsi, on a f(x)=ax

 
Très bel exercice de khôlle, très classique aussi donc à savoir.
Démonstration parfaite!

Merci, j'aurais jamais pensé à faire comme ceci. CEux qui m'ont repondu, vous etes en quelle année si c'est pas indiscret?

 
Ne t'inquiete pas si tu n'as pas trouve, c'est un exercice difficile et ca ne prejuge en rien de tes capacites a integrer telle ou telle ecole! (100% des gens qui ont integre ont appris des choses en prepa )
 
Pour info, je suis en troisieme annee d'école d'ingé.

j'etais en L2, je passe en L3 maths. Thortue, tu es dans quelle ecole

 
Mines paris

Drapal, cet exo me dit quelque chose mais je saurais pas le refaire

 
Tu peux postuler si ca t'interesse mais si c'est purement des maths que tu veux faire, ce n'est pas la bonne formation...

 
C'est vrai qu'aux mines c'est tres generaliste, mais à la fin tu peux faire ce que tu veux. En L2, j'ai fait tout le programme de taupe en physique vu que je comptais passer le concours de L'ens Lyon, donc ce n'est pas la fizik qui va me gener en ecole d'inge.Enfin  pour etre realiste, je  vise une ecole legerement en dessous des mines, où je puisse me specialiser dans les maths rapidement et où les chances d'etre pris sont assez grande.

 
Je ne disais pas que si tu n'as pas fait de physique alors ce n'est pas la peine de postuler, simplement que si tu veux te spécialiser dans les maths, c'est "dommage" de t'orienter vers une école où tu feras aussi de la physique, de l'économie et du divers et varié et finalement pas tant de maths que ça (quoique avec tous les cours au choix, si tu veux, c'est possible d'en faire pas mal mais bon, ce n'est pas le but).
 
A mon avis, il ne faut pas uniquement viser des écoles "où tes chances d'être pris sont assez grandes", ce serait t'autocensurer et je pense que des gens ratent des opportunités avec ce type de raisonnements Donc c'est bien d'assurer le coup mais il faut quand même tenter ta chance dans toutes les écoles dont le cursus t'intéresse.

Je suis d'accord avec ça mais bon, quelles ecoles peuvent faire conccurence ,en ce qui concerne les maths appli, aux ecoles generalisteS?