Bonjour,
Voici un exercice que je dois rendre pour lundi, mais je dois avouer que je ne comprends pas grand chose aux suites:
 
Soit la suite (Un) définie par :
 
U0=0  
Un+1= (2Un+3)/(Un+4), n appartient à N
 
1) Montrer par récurrence que pour tout n>0,
                     0<Un<1
 
2) En déduire que (Un) est croissante.
 
3) Soit la suite (Vn) définie pour tout n de N par :
        Vn= (Un-1)/(Un+3)
Montrer que Vn est une suite géométrique.
 
4) En déduire l’expression de Un en fonction de n
 
Ce que j'ai essayer de faire:
 
1) Montrons par récurrence que pour tout n>0, 0<Un<1
Notons Pn la propriété: Un+1= (2Un+3)/(Un+4)
Verifions P1: U1= (2*1+3)/(1+4) faux U1 = (2*U0 +3)/(U0 + 4) et U0=0, refais le calcul, U1 est bien compris entre 0 et 1
Supposons que Pn soit vraie Oui donc Un >0 et Un <1, il faut démontrer que Un+1 > 0 et Un+1 <1
Pour démontrer Un+1 > 0 il suffit de démontrer en utilisant Un > 0 que numérateur et dénominateur sont tous deux positifs
Pour démontrer Un+1 <1 il suffit de démontrer en partant de Un < 1 que le numérateur est plus petit que le dénominateur ( tous deux positifs)

... je ne pense pas que ca soit correcte ce que jai commence!  
 
2) pour prouver que croissante on fait:
Un+1 - Un donc ca donne
Un+1-Un= (2Un+3)/(Un+4) - Un
et apres je fais quoi? Tu réduis au même dénominateur, tu développes et réduis le numérateur puis tu démontres que le numérateur est positif (en 1 tu auras prouvé que Un <1, ce qui va te servir ici) et le dénominateur est positif (déjà démontré en 1)
 
Je ne comprends vraiment pas grand chose aidez moi s'il vous plait!!
 
Merci d'avance  

merci beaucoup pour ton aide
donc si jai bien compris ca donne:
 
1) verifions P1:
U1= 3/4 soit 0,75  
Supposons que Pn soit vraie:  
- Un+1 > 0   ça, cest à démontrer
Un > 0
0,75 > 0      0,75 c'est U1, pas Un ni Un+1
 
- Un+1 <1  
Un <1 car Un=0,75 donc <1 Mais non Un n'est pas égal à 0,75, c'est U1 et seulement  U1 qui est égal à 0,75
 
donc Pn+1 est vraie
On adémontré par recurrence que pour tout n>0, 0<Un<1
 
c'est bon comme démonstration ca? certainement pas, voir ci-dessous
 
2) je ne comprends pas trop
Un+1 - Un = (2Un+3/Un+4) - Un
               = (2Un+3/Un+4) - Un*(Un+4)/Un+4   il faut terminer les calculs
 
= (2Un+3)/(Un+4)-(Un²+4Un)/(Un+4) = (2Un+3-Un²-4Un)/(Un+4) = (3-2Un-Un²)/(Un+4)
Maintenant il faut montrer que 3-2Un-Un² >0. Un<1, comment est -2Un ?  comment est Un² ? donc comment est -Un² ?On peut ajouter des inégalités de même sens : comment est -2Un-Un² , et en ajoutant 3 aux deux membres on arrive au résultat cherché.
Comme le diviseur Un+4 est >0 (déjà démontré précédemment) le quotient est positif ce qui permet de conclure que Un+1>Un

 c'est ca ?

-Démontrons que si Un>0 alors Un+1>0
 
Un>0 donc 2Un>0 et 2Un+3 >0
Un>0 donc Un+4>0
On en déduit que leur quotient son positif
donc Un+1 > 0
 
 
- Démontrons que si Un<1 alors Un+1<1
 
Un+Un+3<1+Un+3
ca donne 2Un+3<Un+4
 
donc Un+1 <1 Pour qu'un quotient soit <1, il ne suffit pas que le dividende soit plus petit que le diviseur ! par exemple -5<-2 et -5/-2 n'est pas plus petit que 1.
La propriété reste donc encore vraie au rang n +1.
La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.
 
on a démontrer par recurrence que pour tout n>0, 0<Un<1.
 
c'est bon?  C
 
 
2) pour prouver que croissante on fait:
Un+1 - Un donc ca donne
Un+1 - Un = (2Un+3/Un+4) - Un
= (2Un+3)/(Un+4)-(Un²+4Un)/(Un+4)
= (2Un+3-Un²-4Un)/(Un+4)
= (3-2Un-Un²)/(Un+4)
 
= (3-2Un-Un²)/(Un+4) = -(Un+3)(Un-1)/(Un+4)
 
(Un+3)>0 ; (Un+4)>0 et -(Un-1)>0   (Un+4)>0  a déjà été démontré plus haut donc on peut l'affirmer ici sans le redémontrer, mais (Un+3)>0  et -(Un-1)>0 n'ont pas été démontrés, il faut le démontrer ici (c'est très court)
 
donc Un+1 > Un
En en déduit que (Un) est croissante.
   
c'est bon?
 
et pour la 3) et 4) vous pourriez m'aidez s'il vous plait? Pour la 3) il suffit de calculer Vn+1 en fonction de Un et de comparer le résulatat avec Vn
Pour la 4) tu étudies ton cours sur les suites géométriques.
merci