Bonjour,
je cherche à démontrer la divergence de sin n et cos n en utilisant, dans chaque cas, 2 valeurs d'adhérence différentes. Je pense qu'il faut que je prenne des valeurs d'adhérence du genre 1, -1, 1/2, sqrt(2)/2, bref des valeurs bien connues des sin et cos, mais je ne vois pas comment trouver une extraction de IN qui me permette de faire une sous-suite tendant vers cette v.a., il faudrait que je trouve par exemple une extraction qui tende vers 2kpi, et je galère, je vois pas du tout comment faire.
Merci d'avance.

tu peux calculer sin(n+1)-sin(n)...Logiquement si sin(n) était convergente la limite de cette différence serait nulle,tu vas voir que ce n'est pas le cas.
Sinon pour le critère d'adhérence si l'ensemble des valeurs d'adhérences n'est pas réduit au singleton la suite diverge.

Je ne pense pas que tu pouras extraire une sous suite qui te permettra d'avoir une valeur d'adhérence. La méthode ne me parait pas pertinente

Tu peux extraire 2 sous-suites :
u(n) = sin(2*n*pi/2) : on a u(n) = 1 quelque soit n.
v(n) = sin(2*n*(3*Pi/2)) : on a v(n) = -1 quelque soit n.
Comme deux sous-suites tendent vers deux limites différentes, alors sin est divergente.

Merci pour la technique avec sin(n+1), mais en fait j'ai eu cet exo en colle aujourd'hui et la colleuse me l'a fait résoudre par cette méthode, mais elle m'a dit qu'on pouvait aussi le faire avec des sous-suites, d'où ma question.
 
 

 
Oui mais ce ne sont pas des sous-suites (car l'application n->n*pi n'est pas une extraction de IN, car n*pi n'est pas entier). Ce serait trop simple!

 
une extraction de suite n'est valable que dans N.Pi étant irrationnel,çà ne marche pas.

Oui il suffit de considerer
f(n) = partie entière de ((8p+1)pi / 4 +1)
g(n) = partie entière de ((8p-1)pi / 4)
tu demontre que sin(f(n) > 1/racine(2)
et sin (g(n))< -1/racine(2)

Ah oui en effet ce n'est pas exactement la même manière que ce que je voulais faire (puisque tes suites ne sont pas convergentes), mais en fait si parce que par Bolzano-Weierstrass je peux trouver une sous-suite de sin(f(n) convergente et pareil pour sin(g(n)) et leur limites sont différentes par la propriété que tu as énoncée. Merci!
J'en ai parlé à mon prof de maths aujourd'hui, il m'a dit qu'on pouvait trouver directement des sous-suites convergentes de sin (n) et cos (n) mais que c'était pas du tout à notre niveau car ça demande de savoir faire des approximations rationnelles de pi...

Mais pourquoi vouloir à tout prix trouver des sous suites convergentes!

 
En effet !