Bonjour à tous.
 
En lisant Tintin "On a marché sur la Lune", j'ai vu le moment où le Capitaine Haddock essaie de boire son whisky en appensanteur. Le whisky s'échappe du verre sous forme d'une boule.
 
Je me suis alors posé cette question : est-il possible de démontrer (et si oui comment) que dans l'espace la surface minimale entourant un volume donné est celle d'une sphère ? Repectivement dans un plan, où le périmètre minimal entourant une surface donnée est celui du cercle ?  
 

Rapport entre un problème de géometrie et le titre?  

Parce que c'est la forme qui minimise la tension superficielle.

Ce n'est pas exactement une question de surface minimale, mais de tension superficielle (laquelle est peut-etre directement proportionnelle a la surface, mais je n'ai aucune certitude).  
 
El zozo: parce-que la "Mise en boule" est une minimisation de l'energie du systeme.

C'est aussi ce que dicte mon intuition, mais de là à en apporter la démonstration formelle ...

La tension superficielle est une énergie par unité de surface (due aux forces de Van der Waals etc). Un volume de forme sphérique ayant la plus petite surface, il aura la plus petite énergie de surface (il faudra consommer de l'énergie pour lui faire assumer une autre forme).

 
Y'a pas une explication plus générale ? D'accord, là on parle d'un liquide mais quid pour les planètes qui sont sphériques et solides elles ?
 
Ca vient du fait qu'elles étaient "liquides" à un moment donné ? (ont-elles été liquides à un moment donné aussi ?   )

 
Non, pour les objets de masse importante, planètes et étoiles, il s'agit de la gravité qui attire tout vers le centre de masse.

Je comprends que le principe d'entropie veuille qu'un corps au repos échange un minimum d'énergie avec l'extérieur, donc en vertu de la tension superficielle, il faut que ce corps adopte une surface minimale pour son volume.
 
L'observation montre que c'est une sphère. Mais ce n'est pas une démonstration  

Tu demandais la demonstration géometrique?

Yep. Par exemple, dans le plan :
 
"Montrer que pour toute fonction réelle f et une constante C telle que f(x,y) = C, on a Integrale[f(x,y), R] minimum si et seulement si f(x,y) = x²+y²"
 
(ou quelque chose dans ce goût là)

je comprend pas la question de départ!!
 
une masse d'atome, avec les forces d'interractions, va forcément produire une sphère.
(Moi je vois ça naïvement...)
C'est d'autant plus visible avec du liquide (eau ou magma des étoiles)
 
 

 
En prenant d'abord le cas en deux dimensions, le problème est de trouver la courbe plane de perimètre donné renfermant la surface maximale.  
 
1. On note d'abord que cette courbe doit être nécessairement convexe (car si elle était concave, comme p.e. un contour de type "pomme croquée", il serait possible de construire une courbe convexe de même perimètre et renfermant une surface plus importante, simplement en réfléchissant la partie "croquée"  vers l'extérieur).  
 
2.  On démontre que si l'on choisissait sur cette courbe deux points divisant son perimètre en deux parties égales, le segment unissant ces deux points diviserait aussi la surface en deux parties d'aire égale (car si une partie était plus grande, on pourrait remplacer l'autre partie par une copie de la première et obtenir ainsi une autre courbe de même perimètre mais de surface supérieure).  
 
3. On démontre enfin que parmi tous les arcs de longueur donnée compris entre les extremités d'un segment, celui qui renferme la surface maximale est le demi-cercle. Il suffit pour cela de démontrer que le triangle ayant ce segment AB pour base et le sommet C touchant l'arc doit avoir un angle droit en ABC (car s'il n'était pas un angle droit, on pourrait bouger A ou B jusqu'à qu'il devienne droit, en laissant la courbe "flexible", et on aurait alors renfermé une surface plus importante).
 
1., 2. et 3. prouvent S1: parmi toutes les courbes planes de même perimètre, le cercle renferme la surface maximale. On prouve ensuite que cela équivaut à S2 : parmi toutes les courbes planes renfermant une même surface, le cercle a le plus petit perimètre.
 
Plus rigoureusement, on exprime S1 et S2 algébriquement avec l'inégalité suivante, et on la prouve avec les outils de la géometrie différentielle :
4 pi A ≤ L²  (A=aire, L=perimètre, pour un cercle substituer pi r^2 et 2 pi r), ou en 3D : 36 pi V² ≤ S^3 (l'égalité est satisfaite par un cercle et une sphère respectivement).

Bravo xantox