Reprise du message précédent :

 
je n'affirme rien. J'ai juste pensé que tes idées s'en rapprochaient...
Pour moi, les maths c'est avant tout abstraire. Je vais peut etre melanger toutes les sciences mais je crois que le mathematicien veux expliquer les faits, les predire, faire de la vie concrete (donc de la matiere) une enorme equation. C'est un peu un trip a la matrix mais je l'avais bien avant le film.
Mais ne me prends pas trop au mot parce ce que ce que j'ecris ne reflete pas exactement ce que je veux dire...

   
 
Sur ce topic, j'ai découvert un lien vers le très intéressant site de la société européenne de sémantique générale.
 
"Dans la mesure où les lois mathématiques ont à voir avec la réalité, elles ne sont pas certaines, et dans la mesure où elles sont certaines, elles n'ont rien à voir avec la réalité."
— Albert Einstein, La géométrie et l'expérience, p. 3 (1941).
 
Albert

Je crois que la définition des maths a évolué avec les années.
Au tout départ, on a appelé mathématiques un outil permettant de résoudre certains problèmes de la vie de tout les jours, en suivant une espece de "logique" un peu intuitive.
Les règles qui permettent de passer d'un théoreme a un autre sont les lois de la logique, la logique de notre monde un peu, et jcrois qu'au début on a cru que les maths collaient vraiment a la réalité.
Apres tres vite, dans l'antiquité, on s'est apercu que des choses existaient en réalité, alors qu'elles n'existaient pas dans nos maths (impossible de déterminer avec précision la diagonale de ce fichu carré non di diouuuu). Donc deja on se sent obligé de compléter un peu nos maths. Au début oui, les maths suivaient la réalité, on essayait d'avoir un modèle mathématique qui y colle le plus possible. Les maths suivent la réalité.
 
 
Apres pour trouver des théorèmes, il faut bien partir de quelque chose, on a donc posé ce qu'on appelle des axiomes, des choses qui nous ont toujours paru vrai, et qu'on admet ( en géométrie, une seule droite passe par deux points par exemple...). Donc secundo, les axiomes que l'on pose, ils proviennent de choses qui nous semblent évidente, mais évidente dans NOTRE monde . Et y'a encore suffisament de choses que l'on ne connait pas pour que y'ait toujours un doute sur ces axiomes. Donc les mathématiques sont viciées, de base oui . Et  bien pire, les mathématiques ont été créées pour résoudre des problèmes, et on s'est dit que grace a elles, on pourra montrer n'importe quelle vérité, avec un raisonnement logique, c'est un peu la fonction première !
Mais manque de pot, sacrilège, Godel a montré en 1931 que on pourra prendre n'importe quel systeme mathématique, avec tout les axiomes que l'on veut, ben il existera toujours dans ce systemes des trucs qui seront VRAIS, mais qu'on ne pourra jamais PROUVER ! Donc en fait on bosse vraiment dans du flanc tout le temps... On essaye d'avoir une discipline la plus carré possible, la plus droite, et on s'apercoit que c'est peine perdu, le systeme sera toujours bancal !
C'est un peu comme si on nous disait que on peut prendre les briques, le ciment qu'on veut, toutes les machines qu'on veut, tout les ouvriers que l'on veut, tout les matériaux que l'on veut, et suivant ce qu'on a pris, on pourra toujours trouver une maison qui n'est pas constructible avec le matos qu'on a pris, alors qu'elle existe ! La les mathématiques nous parraissent bien coupés de la réalité tout d'un coup.... Alors qu'elles sont censé etre une représentation la plus fidèle possible de notre réalité.
 
En fait, les mathématiques, c'est la discipline ou, a partir de règles que l'on invente, et a partir de choses que l'on admet, on arrive a montrer d'autres choses. Les chiffres et les mathématiques ça n'a pas grand chose a voir . Forcément, si on prends des règles qui nous sont familieres, et des axiomes familiers, on va retomber, de temps en temps, sur des choses qui sont vérifiés dans notre monde . C'est l'homme qui a créé les mathématiques a mon gout oui. Les règles de la nature existent deja, mais on peut travailler dans des mondes completements différents.
 
Je vais reprendre l'exemple de la géométrie par exemple. Pendant longtemps, on a cru que l'axiome "par un point il ne passe qu'un seule parallèle a une droite" n'en était pas un, donc qu'on pouvait le démontrer a partir des autres axiomes de la géométrie. En fait c'est bien un axiome, et on peut le remplacer par d'autres axiomes, meme s'ils sont faux dans notre monde par exemple, "par un point il passe une infinité de parallèle a une droite", ou "par un point il ne passe aucune parallèle a une droite". Pour le dernier exemple, c'est assez "facile" d'imaginer un tel systeme. Si au lieu de travailler sur un plan, on prend une sphère. Une droite n'est plus une droite, mais un cercle, de tel sorte que ce soit le plus grand cercle possible autour de la sphère (je sais pas si jme fais bien comprendre, un méridien par exemple, c'est un des "plus grands cercles" possible autour de la terre). Pour continuer sur les méridiens, on prends la droite (le méridien) de "greenwich". Ben si on prend n'importe quel point sur la terre, on prend n'importe quel grand cercle qui passe par ce point, elle sera jamais parallèle a greenwich, elle se couperont toujours quelque part. Meme si on la prend la plus "parallèle" possible, par exemple, on prend le méridien qui passe aussi par ce point, ben elles se couperont quand meme au pole nord...
Et hop on a un nouveau système de géométrie, on peut faire des triangles sur une sphère, des carrés, tout ce qu'on veut   Avec des triangles dont les trois angles font 90°, sisisi ! Ca n'existe pas dans notre systeme pourtant mais, dans la nouvelle réalité que l'on vient de créer, y'en a pleins.
 

 
En fait je pense que c'est ton 2eme point qui ressort, l'homme a créé SES mathématiques, et s'auto émerveille devant son nouveau jouet. Pendant des siècles, on a travaillé sur des mathématiques qui collent a peu pres a notre réalité, mais depuis 200 ans, on s'invente des nouveaux sytemes encore plus bizzare, ou plus grand chose de ce que l'on connait n'est vrai. De temps en temps, la physique s'apercoit qu'elle tombe sur des espaces inconnus, ou les lois sont déroutantes, et souvent les mathématiciens ont "inventés" ces espaces, et toutes sortes de théorèmes dessus, depuis des décennies. Par exemple je crois, que quand on a commencé a bosser sur la relativité d'einstein, les physiciens ont eut besoin de ce qu'on appelle les espaces de Hilbert, et encore plus récemment, en physique quantique, les chercheurs tombent je crois sur des espaces non commutatifs (c'est a dire ou 2+3 n'est plus la meme chose que 3+2), espaces que les mathématiciens se sont amusés a explorer depuis quelques temps...
 
En clair oui, les maths y'a rien de plus bancal, et ça n'existe pas, on a tout inventé.
 
Russell (un grand logicien qui a fichu en l'air pas mal de choses...) disait "les mathématiques sont la seule science où l'on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai."
Borel répondait que, en mathématiques, on sait toujours exactement de quoi on parle, et on est sûr que ce qu'on dit est vrai.
 
La première est vrai si on se place dans la réalité, la 2ème est vraie, mais si on se place dans les maths .

Merci pour ton post vulgarisateur (dans le bon sens du terme)

 
Je crains que tu n'aies mal compris ce qu'à prouvé Gödel : il n'a certainement pas prouvé qu'il existait des énnoncés vrais mais improuvables. Ce qu'il a montré, c'est l'existence de proposition indécidables en arithmétique, ce qui n'est pas du tout la même chose. Cela signifie que le système formel les permettant de les formuler ne contiendra aucune contradiction, que l'on choisisse de les condidérer comme vrais ou comme fausses.

En fait j'avoue ch'uis loin d'etre expert en math, et godel j'ai pas encore pris le temps de creuser . Mais j'avais cru comprendre que c'était l'idée... Merci de la correction

Les découvertes de Gödel sont un sujet passionant, mais très subtil et malheureusement pas si facile d'accès. Bon courage !

 
Une phrase de Gödel, c'est une proposition vraie dans le système formel mais qui ne peut pas être prouvée dans ce système.

C'est toujours pareil, en logique il faut employer un langage précis. Si je considère un système formel S, il est faux de dire que Gödel a prouvé qu'il existait des théorèmes de S qui soient indémontrables. Il a montré qu'il existait des propositions de S qui sont indécidables. Et pour faire cela, il construit une formule au niveau formel supérieur de S, qui elle est vrai, mais non démontrable à partir de S.
 
C'est vraiment difficile d'en parler sans faire appel à un formalisme rigoureux, et je me vois mal le faire ici.

 
 
Une phrase de Gödel, c'est une proposition vraie dans le système formel mais qui ne peut pas être prouvée dans ce système.
 
Une proposition indécidable, au sens de Gödel, c'est une proposition du système formel qui ne peut pas être prouvée vraie, et qui ne peut pas être prouvée fausse.

Sisi, je viens de tracer un segment sur une feuille, qui est l'étalon de ma nouvelle unité de mesure de longueur : le julien. Mon segment est de longueur Pi juliens par définition. Hop.
 

 
 
Il devrait y avoir un 3eme théorème qui dise : dès que l'un des deux théorèmes de Gödel est invoqué, il y a 90% de chance que les propos soient erronés.
 
Bon, ton obstination me fait douter, donc je me vois contraint de te demander si tu peux me donner une référence à ta citation afin que je puisse éclaircir tout ça pour mon compte.
 
De mon côté, je base mes affirmations sur les ressources suivantes :
 
Eric W. Weisstein. "Gödel's Incompleteness Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Goede [...] eorem.html  
 
Eric W. Weisstein. "Gödel's Completeness Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Goede [...] eorem.html  
 
http://www.eleves.ens.fr/home/olli [...] l.html#tig
 
En particulier : "Informally, Gödel's incompleteness theorem states that all consistent axiomatic formulations of number theory include undecidable propositions (Hofstadter 1989). "
 
 
Edit : de tout ça je comprend que le théorème de complétude indique que toute formule A d'un langage de S qui est vraie dans tout modèle de S, est prouvable dans S. Le théorème d'incomplétude dit qu'il exise des formules qui ne sont vraies dans certains modèles et fausses dans d'autres, donc qui ne sont pas prouvables ni infirmables (= indécidables).

 
La définition de proposition indécidable, au sens de Gödel, est évidemment donnée par Gödel lui-même dans son papier de 1931.
 
http://www.amazon.com/gp/product/0 [...] e&n=283155
 

 
Ce n'est pas en contradiction. Tu as commencé par dire que "..Gödel .. n'a certainement pas prouvé qu'il existait des énnoncés vrais mais improuvables. Ce qu'il a montré, c'est l'existence de proposition indécidables", or une proposition indécidable est précisement une proposition qui est improuvable (autant que sa négation). Gödel apporte la preuve en construisant un exemple de tel énoncé - vrai et improuvable. Puisque cet énoncé existe (et même une infinité de tels énoncés), le système est nécessairement incomplet.

Je reprend, après m'être replongé dans la doc. Ce que tu dis est vrai, et ce n'est pas en contradiction avec ce que je dis, à condition de bien préciser les mots. Si je prend la phrase :
 
"Une phrase de Gödel, c'est une proposition vraie dans le système formel mais qui ne peut pas être prouvée dans ce système", il faut comprendre que la notion de véracité est donnée par le modèle M du système formel S.
 
Il existe des modèles M de S dans laquelle la phrase de Gödel est vrai. Mais le théorème de complétude indique qu'il existe aussi des modèles M' dans lesquels G est fausse.
 
Dans un modèle M de S, on trouvera des propositions vraies dans S au sens de M, mais improuvables dans S. On pourrait aussi trouver un modèle M' dans lequel ce ne serait pas le cas.
 
Si je prend un exemple : le théorie des ensembles est un modèle M pour l'arithmétique (S). Wiles a montré que dans ce modèle M, le Th. de Fermat est vrai. Cependant, on ne sait pas si le Th. de Fermat est démontrable dans S uniquement.
 
Autre exemple : l'hypothèse du continu. On sait que HC n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles (qui sera notre système formel S ici). Il faut alors construire un modèle de la théorie des ensembles pour aller plus loin.
 
 
On est d'accord ?

 
non.
la proposition exhibée par goedel dans son article sur le th d'incompléteude est vraie dans tous modele de peano ,(c'est pour ca qu'il n'est pas si debile que ca de dire qu'elle est vraie) et n'est pourtant pas demontrable dans peano pour peu que peano soit consistant.

Mazette! un topic d'El Awrence
Ca va ma caille? => MP
 
Sinon pour le sujet du topic, j'ai pas d'avis, désolé

donc on peut tres bien dire que le th d'incompletude exprime le fait qu'il existe des propositions indémontrables dans peano et vraies.
le probleme est de s'accorder sur la définition de "vrai".

ok, j'avais pas lu ton post de 15h36, welkin.
 
Mais je ne suis toujours pas convaincu du fait que:
"une proposition P est indécidable dans S ssi il existe des modeles de S compatibles avec P et d'autres avec non(P)"

A ma connaissance, bien maigre, il s'agit du petit frére méconnu du théorème d'incomplétude, le théorème de "complétude de Godel":
 Si une proposition est vraie dans un système formel, (comprendre vérifiée dans tout les modéles de S) alors elle est démontrable dans S.
Ce qui, par contraposition, donnes:
 Si une proposition est indémontrable dans S, alors il existe deux modeles tels qu'elle soit vrai dans l'un et fausse dans l'autre.
 
Donc j'abonde dans le sens de Welkin.

Pour moi, le th de completude enonce que le calcul de predicats est complet.
je veux bien une ref ou ils l'énoncent et de ta facon.
dans ce cas, je me tairais.
 

 Ca mérite de chercher

je sens pointer une certaine ironie...
 
en prenant la éfinition du vrai de la theorie des modeles, je pense franchement avoir raison.
 
le truc évident, c'est "démontrable => absoluement vrai".
welkin nous dit "non demontrable => non absoluement vrai".
on obtiendrait "demontrable <=> absoluement vrai"
on se demande alors pourquoi tout le monde ferai la distinction entre vrai en theori des modeles et demontrable.

Yo !

 
On peut coder une symphonie de Bach sous forme d'un très grand nombre entier. Ce nombre existait avant qu'on le découvre. Est-ce que cette symphonie de Bach a toujours existée ?

Si on prend ce point de vue, rien n'est véritable invention, ni véritable création
L'intellect ne fait que découvrir des combinaisons déjà existantes...

Oui, c'est le principe des nombres univers (ex : 0,1234567891011121314...)

Pas besoin d'en passer par l'artifice du nombre : on peut tout aussi bien dire que chaque note composant la symphonie existait déjà, et donc Bach n'a fait que découvrir ces notes.
 
Mais tout ceci est de la pure branlette intellectuelle : que Bach ait "découvert" ou "inventé" sa suite de notes (son très grand nombre entier), personne avant lui n'avait eu l'idée de cette combinaison de notes, point-barre

Ca, on n'en sait rien, que ca soit sur terre ou ailleurs

Ailleurs on s'en tape, et sur Terre c'est quasiment sûr

On est sur un topic Maths ou un topic salon de thé ?

L'exemple de Bach est très mal choisi, c'est la cause de ce débat stéril
 
En effet, il ne faut pas oublier que les mathématiques n'ont pas vocation pour décrire TOUT le monde, et même en ce qui concerne les éléments qu'elles décrivent, les mathématiques ne peuvent le décrire TOTALEMENT.
 
Ainsi, il est mal venu de décrire un symphonie de Bach avec l'outil mathématique.

 
Oui, ceci est vrai, mais le fait qu'une proposition improuvable soit vraie dans un modèle et fausse dans un autre, n'est pas en contradiction avec le fait que chacun de ces modèles comporte des propositions vraies et improuvables.
 

 
 
Est-ce que tu pourrais préciser, donner un exemple ?
 
Tu dis : "il existe dans chacun de ces modèles des proposiitons vrais et improuvables". Je suppose que quand tu dis "propositions vrais" tu parles de propositions vrais pour tous les modèles de M ?
 
Mais sauf erreur de ma part, le théorème de complétude dit que si une proposition est vrai pour tout modèle de M, alors elle est prouvable dans M.

 
Non, ce sont des proposition vraies spécifiques à chaque modèle, et tous les modèles en ont.

Est-ce que tu peux m'expliquer en quoi ce n'est pas en contradiction avec le théorème de complétude ?
 

 
Où est la contradiction? Si une proposition est prouvable dans le système, elle est vraie dans tous ses modèles. Si  une proposition est vraie dans tous les modèles, elle est prouvable dans le système. Toutefois, le système est incomplet, parce qu'il contient des propositions improuvables (vraies dans certains modèles, fausses dans d'autres).

 
 
On est d'accord  

J'ai lu dernièrement un article trés bon qui expliquait que les mathématiques étaient liables à notre manière profonde de raisonner (i.e dans les profondeurs de la logique du cerveau). Plus on avance dans la recherche mathématique, plus on avance dans la compréhension de notre propre façon de penser. Les maths c'est donc un peu la poursuite de soi-même, non?
On peut donc intuiter que les maths sont intrinsèquement humain, et que par suite il est normal qu'ils collent bien à notre vision et description du monde qui nous entoure.

Voilà
 
C'est ce que je voulais dire, mais tu as trouvé une meilleure formulation

Oui, sauf que tout de même attention : ce n'est pas la seule façon de penser, les maths ne reflètent pas toute la logique de l'esprit.
Par exemple la pensée métaphorique ou par image ne colle pas avec les maths (elle est non rationnelle) et fait bien partie aussi de nos modes de penser.
 
M'enfin, je dis ça, ça n'a pas vraiment de rapport avec le sujet, donc bon  

Bonjour,
 
 
   
SVP, voulez-vous m’expliquer comment calculer une section d’une barre de fer ?
Voilà le problème : La Tour Eiffel a une masse de 8200 tonnes. Quelle serait la section d’une barre de fer ayant même masse et même hauteur (300m) que la Tour Eiffel ?
Sachant que la masse volumique de fer est de 7,8g/cm3.
Merci.